北师大版高中数学选修2-1全套教案

四种命题、四种命题的相互关系 (一)教学目标 ◆知识与技能:了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念,掌握四种命题的 形式和四种命题间的相互关系,会用等价命题判断四种命题的真假. ◆过程与方法:多让学生举命题的例子,并写出四种命题,培养学生发现问题、提出问题、分 析问题、有创造性地解决问题的能力;培养学生抽象概括能力和思维能力. ◆情感、态度与价值观:通过学生的举例,激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养他们的辨 析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力. (二)教学重点与难点 重点: (1)会写四种命题并会判断命题的真假; (2)四种命题之间的相互关系. 难点: (1)命题的否定与否命题的区别; 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:通过学生的举例,激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养他们的辨析能力以及培 养他们的分析问题和解决问题的能力. (三)教学过程 学生探究过程: 1.复习引入 初中已学过命题与逆命题的知识,请同学回顾:什么叫做命题的逆命题? 2.思考、分析 问题 1:下列四个命题中,命题(1)与命题(2) ( 3) (4)的条件与结论之间分别有什么关系? (1)若 f(x)是正弦函数,则 f(x)是周期函数. (2)若 f(x)是周期函数,则 f(x)是正弦函数. (3)若 f(x)不是正弦函数,则 f(x)不是周期函数. (4)若 f(x)不是周期函数,则 f(x)不是 正弦函数. 3.归纳总结 问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论.紧接结合此例给出四个命题的概念, (1) 和(2)这样的两个命题叫做互逆命题, (1)和(3)这样的两个命题叫做互否命题, (1) 和(4)这样的两个命题叫做互为逆否命题。 4.抽象概括 定义1:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和 条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做 原命题的逆命题. 让学生举一些互逆命题的例子。 定义2:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的 否定和结论的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另 一个命题叫做原命题的否命题. (2)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题; (3)分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假. 让学生举一些互否命题的例子。 定义3:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的 否定和条件的否定, 那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题. 其中一个命题叫做原命题, 另一个命题叫做原命题的逆否命题. 让学生举一些互为逆否命题的例子。 小结: (1) 交换原命题的条件和结论,所得的命题就是它的逆命题: (2) 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题就是它的否命题; (3) 交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题就是它的逆否命题. 强调:原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。 5.四种命题的形式 让学生结合所举例子,思考: 若原命题为“若 P,则 q”的形式,则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形 式? 学生通过思考、分析、比较,总结如下: 原命题:若 P,则 q.则: 逆命题:若 q,则 P. 否命题:若¬P,则¬q. (说明符号“¬”的含义:符号“¬”叫做否定符号. “¬p”表示 p 的否定;即不是 p;非 p) 逆否命题:若¬q,则¬P. 6.巩固练习 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假: (1) 若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等; (2) 若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除; (3) 若 x =1,则 x=1; (4) 若整数 a 是素数,则是 a 奇数。 7.思考、分析 结合以上练习思考:原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系? 通过此问,学生将发现: ①原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③原命题为真,它的逆否命题一定为真。 原命题为假时类似。 结合以上练习完成下列表格: 原 真 命 题 逆 真 假 真 命 题 否 命 题 逆 否 命 题 2 假 假 是具有相同的真假性. 由此会引起我们的思考: 真 假 由表格学生可以发现:原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,逆命题与否命题也总 一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢? 让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系. 学生通过分析,将发现四种命题间的关系如下图所示: 8.总结归纳 若 P,则 q. 原命题 互 互 否 互 否命题 互 若¬P,则¬q. (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性, 所以在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题. 9.例题分析 例 4: 证明:若 p + q =2,则 p + q ≤ 2. 分析:如果直接证明这个命题比较困难,可考虑转化为对它的逆否命题的证明。 将“若 p + q =2,则 p + q ≤ 2”视为原命题,要证明原命题为真命题,可以考虑 证明它的逆否命题“若 p + q >2,则 p + q ≠2”为真命题,从而达到证明原命题为真命题 的目的. 证明:若 p + q >2,则 p + q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 若 q,则 P. 互 逆 否 为 为 逆 逆 否 逆否命题 逆 若¬q,则¬P. 互 否 逆命题 由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下: = 2 1 1 1 2 2 2 2 [ (p -q) +(p +q) ]≥ (p +q) > ×2 =2 2 2 2 所以 p + q ≠2. 这表明,原命题的逆否命题

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