广东省龙川一中2013届高三上学期9月月考数学(理)试题


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广东省龙川一中 2013 届高三上学期 9 月月考数学(理)试题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1、 设全集 U 是实数集 R,若 ?U M ? {x | x 2 ? 4},N={x|1<x ? 3} ,则 M ? N =( A. {x|-2 ? x ? 1} C. {x|-2 ? x ? 2} B. {x|x ? 2} D. {x|1<x ? 2} ) )

2、 若复数 z ? ( x 2 ? 1 ) ? ( x ? 1 )i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A. ?1 B.0 C.1 D. ?1 或 1

? 3、 函数 y ? sin x sin( ? x) 的最小正周期是( ) 2 π A. B. ? C. 2 ? D. 4π 2 2 a 4、 设 a ? ? (1 ? 3 x 2 )dx ? 4 ,则二项式 ( x 2 ? )6 展开式中不含 x3 项的系数和是 .. 0 x
( ) B. 160 C. 161 D. ?161
)

A. ?160

5、函数 f(x)=log 2 |x|,g(x)=-x2+2,则 f(x)· g(x)的图象只可能是(

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6、 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (0,1) ,设 u ? a ? kb , v ? 2a ? b ,若 u // v ,则实数 k 的值是( ) 7 1 4 8 (A) ? (B) ? (C) ? (D) ? 2 2 3 3 S S 7、 在等差数列 ?an ? 中,a1 =-2 012 ,其前 n 项和为 S n ,若 12 ? 10 =2,则 S 2 012 12 10

的值等于( A. -2 011

) B. -2 012 C. -2 010 D. -2 013

8、若函数 y ? f ( x )( x ? R ) 满足 f ( x ? 1 ) ? ? f ( x ) ,且 x ? [-1,1] 时 f ( x ) ? 1 ? x 2 ,

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?lg x( x ? 0 ) ? 函数 g( x ) ? ? 1 ,则函数 h( x ) ? f ( x ) ? g( x ) 在区间[ ?5 , 4]内的零点的个 ?? x ( x ? 0 ) ?

数为( A.7

) B.8 C.9 D.10

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9、函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 在点 (1,) 处的切线方程_________; 2
r r r r 10、 已知向量 a ? ? x ? z ,1? , b ? ? 2, y ? z ? , 且 a ? b ,若变量 x,y 满足约束条件

? x ? ?1 ? ,则 z 的最大值为 ?y ? x ?3 x ? 2 y ? 5 ?
11、 设数列{ an }是公差不为 0 的等差数列, a1 =1 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, 则数列{ an }的前 n 项和 S n = 12 、 已 知 双 曲 线 为 大小为 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题;两题都选的只记第一题得 分。 ) 14.(几何证明选讲选做题)如图, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延 长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为 C , PC ? 2 3 ,若 。

x2 y 2 ? ? 1 的 渐 近 线 方 程 为 y ? ? 3x , 则 它 的 离 心 率 a 2 b2
5 , 5 cos( B ? C ) ? 3 ? 0 ,则角 B 的 2

. 13、 在 ?ABC 中, a ? 4 , b ?

?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径 AB ? __________
15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在直角坐标系中曲线 C 的极 坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? 4sin ? ,写出曲线 C 的普通方程__________

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足

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cos

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? A 2 5 ??? ???? , AB?AC =3. ? 2 5
(1) 求△ABC 的面积; (2) 若 c=1,求 a、sinB 的值.

17. (本小题满分 12 分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系 统) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 (Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

1 和p。 10

49 ,求 p 的值; 50

(Ⅱ) 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分 布列及数学期望 E? 。

18. (本小题满分 14 分)如图,在直四棱柱
ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 为平行四边形,且
AD ? 2 , AB ? AA1 ? 3 , ?BAD ? 60? , E 为 AB 的中点.

(Ⅰ) 证明: AC1 ∥平面 EB1C ; (Ⅱ)求直线 ED1 与平面 EB1C 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 14 分)在等比数列 {a n } 中, a 2 ?

1 1 , a3 ? a 6 ? .设 4 512

bn ? log 2 a2 2 ? log 2 a2 2 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和.
n n?1

(Ⅰ)求 an 和 Tn ; (Ⅱ)若对任意的 n ? N ? ,不等式 ?Tn ? n ? 2(?1) n 恒成立,求实数 ? 的取值范
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围.

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20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心为原点 O,点 F(1,0)是它的一个 ??? ??? 1 ? ? 焦点, 直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 A, 两点, B 当直线 l 垂直于 x 轴时, ? OB ? . OA 2 (I)求椭圆 C 的方程;
??? ??? ? ? ??? ? (II)已知点 P 为椭圆的上顶点,且存在实数 t 使 PA ? PB ? t PF 成立,求实

数 t 的值和直线 l 的方程。

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0), g ( x) ? ? x ? 2. (I)求函数 f(x)在点 M (e, f (e)) 处的切线方程; (II)设 F ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? f ?( x)(a ? 0), 讨论函数 F ( x) 的单调性; (III)设函数 H ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,是否同时存在实数 m 和 M (m ? M ) ,使得
1 对每一个 t ? [m, M ] ,直线 y ? t与曲线y ? H ( x)( x ? [ , c]) 都有公共点?若存 e

在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不存在,说明理由。

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龙川一中 12-13 学年度第一学期高三年级考试 (九月)

数学(理)答案
(1) 选择题(满分 40 分) D A B C C B B A 二、填空题(满分 30 分)
9、 答案】 【 2x-y=0 【解析】 函数的导数为 ‘( x) ? 3 x - 2 x ? 1 , 所以 f ' (1) ? 3 - 2 ? 1 ? 2 , f
2

即切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) ,整理得 2x-y=0。 10、 【答案】3 z=2x+y, 画出不等式组的可行域,如右图,目标函数变为: y ? ?2 x ? z ,作出 y=- 2x 的图象,并平移,图由可知,直线过 A 点时,在 y 轴上的截距最大,此时 z 的值最大:求出 A 点坐标(1,1) 【解析】由 a ? b 得( x ? z ,1) (2, y ? z )=0,即

r

r

zmax =2×1+1=3,

13、 【答案】

?
6

【解析】由 5 cos( B ? C ) ? 3 ? 0 得 5 cos A ? 3, cos A ?

3 ,所以 5

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sin A ?

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4 a b ,因为 a ? b ,所以 A ? B ,即 B 为锐角,由正弦定理知 ,所以 ? 5 sin A sin B 5 4 ? b sin A 2 5 1 ? sin B ? ? ? ,所以 B ? , a 4 2 6
14. 【答案】4

15. 【答案】 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

(1)解答题:
?2 5? 3 16、 (12 分)解: (1) cosA=2× ? ? 5 ? -1= 5 ,……………………………2 分 ? ? ? ??? ???? ??? ???? ? ? 3 而 AB?AC ?| AB |? AC | cosA= bc=3,∴bc=5……………………4 分 | 5 4 又 A∈(0,π ) ,∴sinA= ,………………………………………5 分 5 1 1 4 ∴S= bcsinA= ×5× =2. ………………………………………6 分 2 2 5
(2) ∵bc=5,而 c=1,∴b=5.…………………………………………………8 分 ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 -2bccosA=20,a= 2 5 ………………………………10 分
2

4 5? b sin A a b 5 ? 2 5 .……………12 分 ? 又 ,∴sinB= ? a 5 sin A sin B 2 5

(2) 由题意,? 可取 0,1,2,3, ;P( ? =0)= C( 3
0

1 3 1 1 27 1 1 2 )? ( ? ,P ? =1) C( ) 1 ? ) ( = 3 10 1000 10 10 1000

P( ? =2)= C( 3
2

1 1 2 243 1 3 729 3 1 0 )1? ) ? ( ( ,P( ? =3)= C( ) 1 ? ) ? ……………12 分 3 10 10 1000 10 10 1000

所以,随机变量 ? 的概率分布列为:

?

0

1

2

3

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P

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243 1000 729 1000
…………10 分

1 1000

27 1000

故随机变量 X 的数学期望为:E ? = 0 ?

1 27 243 729 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? 1000 1000 1000 1000 10

………12 分.

18、 (14 分)解(Ⅰ) 证明:连接 BC1 , B1C ? BC1 ? F 因为 AE ? EB , FB ? FC1 ,所以 EF ∥ AC1 , 因为 AC1 ? 面 EB1C , EF ? 面 EB1C 所以 AC1 ∥面 EB1C .

D1 A1

z

C1
B1

F D
C y

(Ⅱ)作 DH ? AB ,分别令 DH , DC , DD1 为

x 轴, y 轴, z 轴,建立坐标系如图
因为 ?BAD ? 60? , AD ? 2 ,

H A E

B

x

?3 ? 2 y ? 3z ? 0 ? 5 3 1 ? 化简得 ? ,令 y ? 1 ,则 n ? ( ,1, ? ) . 6 2 ?? 3x ? 5 y ? 0 ? ? 2 ? ???? ? ? ???? ? n ? ED1 9 30 设 ? ? n , ED1 ,则 cos ? ? ? ???? ? ? ? 70 n ? ED1
设直线 ED1 与面 EB1C 所成角为 ? ,则 cos ? ? cos(? ? 90 ) ? ? sin ?
?

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所以 sin ? ?

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9 30 9 30 ,则直线 ED1 与面 EB1C 所成角的正弦值为 . 70 70
2

19、 (14 分)解: (Ⅰ)设 {a n } 的公比为 q ,由 a3 a 6 ? a 2 ? q 5 ? ∴ a n ? a 2 ? q n?2 ? ( ) n .

1 5 1 1 得q ? , q ? 16 512 2

bn ? log 2 a2 2 ? log 2 a2
n

n?1

1 2 2= log

---------------------------------- 3 分

1 ( )2 n?1 2

2 ? log

1 ( )2 n?1 2

2

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴ Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? . ? )? (? 1 )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 ?
-------------------------------------6 分 (Ⅱ) ①当 n 为偶数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? 即 ? ? ( 2n ? 而 2n ?

(n ? 2)(2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 3 恒成立, n n
----------------------------------8 分

2 ? 3) min , n

2 2 ? 3 随 n 的增大而增大,∴ n ? 2 时 (2n ? ? 3) min ? 0 , n n
----------------------------------10 分

∴? ? 0; ②当 n 为奇数时,由 ?Tn ? n ? 2 恒成立得, ? ? 即 ? ? ( 2n ? 而 2n ?

(n ? 2)(2n ? 1) 2 ? 2n ? ? 5 恒成立, n n
-----------------------------------11 分

2 ? 5) min , n

2 2 2 ? 5 ? 2 2n ? ? 5 ? 9 ,当且仅当 2n ? ? n ? 1 等号成立, n n n
---------------------------------------13 分 ----------------------------------------14 分

∴? ? 9. 综上,实数 ? 的取值范围 (- ?, . 0 )

由①,②消去 a,得 2b4-b2-1=0.∴b2=1 或 b2=-

1 . 2

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x2 ? y2 ? 1. 2

当 b2=1 时,a2=2 .因此,椭圆 C 的方程为

(II)当直线斜率不存在时,易求 A(1,

2 2 ) ,B(1,- ) ,P(0,1) ,所以 2 2

??? ? ??? ? ??? ? 2 2 -1) PB =(1,- , -1) PF =(1,-1) , , PA =(1, 2 2
由 t 使 PA ? PB ? t PF ,得 t=2,直线 l 的方程为 x=1 当直线斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1) ,A=(x1,y1) ,B=(x2,y2) , 所以, PA =(x1,y1-1) PB =(x2,y2-1) PF =(1,-1) , , , 由 t 使 PA ? PB ? t PF ,得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? x1 ? x2 ? t ? x1 ? x2 ? t 即? ? ? y1 ? 1 ? y2 ? 1 ? ?t ? y1 ? y2 ? 2 ? t
因为 y1=k(x1-1) 2=k(x2-1) ,y ,所以,y1+y2=k(x1+x2-2) ,解得:k=-1 此时,直线 l 的方程为 y=-x+1,

? x2 2 4 ? ? y ?1 联立 ? 2 ,得 3x2-4x=0,t=x1+x2= , 3 ? y ? ?x ?1 ?

21、 (14 分)解析: (I)解: f '( x) =lnx+1(x>0) ,则函数 f '( x) 在点 M (e, f (e)) 处的斜 率为 f '(e) =2,f(e)=e,所以,所求切线方程为 y-e=2(x-e) ,即 y=2x-e (II) F ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x ? 1( x ? 0),
2

1 2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) F '( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? ? = ( x ? 0, a ? 0) , x x x
令 F '( x) =0,则 x=

1 1 或 , 2 a

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①当 0< a <2,即

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1 1 1 1 ? 时,令 F '( x) >0,解得 0<x< 或 x> a 2 2 a 1 1 令 F '( x) <0,解得 <x< 2 a 1 1 1 1 所以,F(x)在(0, )( ,+ ? )上单调递增,在( , )单调递减。 , 2 a 2 a 1 1 ②当 a =2,即 ? 时, F '( x) ≥0 恒成立, a 2 所以,F(x)在(0,+ ? )上单调递增。 1 1 ③当 a >2,即 ? 时, a 2 1 1 1 1 所以,F(x)在(0, )( ,+ ? )上单调递增,在( , )单调递减 , a 2 a 2
(III) H ( x) ? ? x ? 2 ? x ln x, H '( x) ? ln x. ,令 H '( x) =0,则 x=1, 当 x 在区间 ( , e) 内变化时, H '( x), H ( x) 的变化情况如下表:

1 e

x
H '( x)

1 e

1 ( ,1) e


1
0 极小值 1

(1, e)
+ 单调递增

e

H ( x)
又2?

2?

2 e

单调递减

2

2 1 ? 2, 所以函数H '( x) ? ( x ? [ , e]) 的值域为[1,2]。 e e

据经可得,若 ? 都有公共点。

?m ? 1, 1 ,则对每一个 t ? [m, M ] ,直线 y=t 与曲线 y ? H ( x)( x ? [ , e]) e ?M ? 2
1 e

并且对每一个 t ? (??, m) ? ( M , ??) ,直线 y ? t 与曲线 y ? H ( x)( x ? [ , e]) 都没有 公共点。 综 上 , 存 在 实 数 m=1 和 M = 2 , 使 得 对 每 一 个 t ? [m, M ] , 直 线 y=t 与 曲 线

1 y ? H ( x)( x ? [ , e]) 都有公共点。 e

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