椭圆焦点三角形面积公式在高考中的妙用

椭圆焦点三角形面积公式在高考中的妙用
定理 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)中,焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 是椭圆上任意一点, a2 b2

?F1 PF2 ? ? ,则 S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

y . P F1 O F2 x P

证明:记 | PF |? r1 , | PF2 |? r2 ,由椭圆的第一定义得 1

r1 ? r2 ? 2a,? (r1 ? r2 ) 2 ? 4a 2 .
在△ F1 PF2 中,由余弦定理得: r1 ? r2 ? 2r1r2 cos? ? (2c) 2 .
2 2

配方得: (r1 ? r2 ) ? 2r1r2 ? 2r1r2 cos? ? 4c .
2 2

即 4a ? 2r1r2 (1 ? cos? ) ? 4c .
2 2

? r1 r2 ?

2(a 2 ? c 2 ) 2b 2 ? . 1 ? cos? 1 ? cos?

由任意三角形的面积公式得:

S ?F1PF2 ?

1 sin ? r1 r2 sin ? ? b 2 ? ? b2 ? 2 1 ? cos?

2 sin

? S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

2 ? b 2 ? tan? . ? 2 2 cos2 2 2

?

cos

?

.

y2 x2 同理可证,在椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)中,公式仍然成立. a b

典题妙解
例1 若 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1 、 F2 是其焦点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,求 100 64

△ F1 PF2 的面积.

x2 y2 ? ? 1 中, a ? 10, b ? 8, c ? 6, 而 ? ? 60?. 记 | PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 . 解法一:在椭圆 100 64
? 点 P 在椭圆上, ? 由椭圆的第一定义得: r1 ? r2 ? 2a ? 20.
在△ F1 PF2 中,由余弦定理得: r1 ? r2 ? 2r1r2 cos? ? (2c) 2 .
2 2

1

配方,得: (r1 ? r2 ) 2 ? 3r1r2 ? 144.

? 400 ? 3r1r2 ? 144. 从而 r1 r2 ?
S ?F1PF2 ?

256 . 3

1 1 256 3 64 3 r1r2 sin ? ? ? ? ? . 2 2 3 2 3

解法二:在椭圆

x2 y2 ? ? 1 中, b 2 ? 64 ,而 ? ? 60?. 100 64
? 64 tan30? ? 64 3 . 3

? S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明了,两个解法的优劣立现! 例 2 已知 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上 的 点 , F1 、 F2 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 , 若 25 9


PF1 ? PF2 | PF1 | ? | PF2 |
A. 3 3

?

1 ,则△ F1 PF2 的面积为( 2
B. 2 3

C.

3

D.

3 3

解:设 ?F1 PF2 ? ? ,则 cos? ?

PF1 ? PF2 | PF1 | ? | PF2 |

?

1 ,? ? ? 60?. 2

? S ?F1PF2 ? b 2 tan
故选答案 A.

?
2

? 9 tan 30? ? 3 3.

例 3(04 湖北)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上. 若 P、 F1 、 16 9


F2 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为(
A.

9 5

B.

9 7 7

C.

9 4

D.

9 9 7 或 4 7

解:若 F1 或 F2 是直角顶点,则点 P 到 x 轴的距离为半通径的长
2 点 P 到 x 轴的距离为 h,则 S ?F1PF2 ? b tan

b2 9 ? ;若 P 是直角顶点,设 a 4
1 ? ( 2c ) ? h ? 7 h, 2

?
2

? 9 tan 45? ? 9 ,又 S ?F1PF2 ?

? 7h ? 9 , h ?

9 7 . 故答案选 D. 7
2

金指点睛
1. 椭圆

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆两个焦点 F1 、F2 的连线互相垂直, 则△ F1 PF2 的面积为 ( 49 24
B. 22 C. 28 D. 24



A. 20

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、F2 , P 是椭圆上一点, 2. 椭圆 当△ F1 PF2 的面积为 1 时,PF ? PF2 1 4
的值为( A. 0 3. 椭圆 ) B. 1 C. 3 D. 6

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为 F1 、F2 , P 是椭圆上一点, 当△ F1 PF2 的面积最大时, 1 ? PF2 PF 4
) B. 2 C. 4 D.

的值为( A. 0

?2

x2 2 4.已知椭圆 2 ? y ? 1 ( a >1)的两个焦点为 F1 、 F2 ,P 为椭圆上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? , a
则 | PF | ? | PF2 | 的值为( 1 )

A.1

B.

1 3

C.

4 3

D.

2 3

5. 已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴, F1 、 F2 为焦点,点 P 在椭圆上,直线 PF1 与 PF2 倾 斜角的差为 90 ? ,△ F1 PF2 的面积是 20,离心率为

5 ,求椭圆的标准方程. 3
1 ? ? , F1 PF2 △ 2 | PF1 | ? | PF2 | PF1 ? PF2

F 6. 已知椭圆的中心在原点, 1 、F2 为左右焦点, 为椭圆上一点, P 且
的面积是 3 ,准线方程为 x ? ?

4 3 ,求椭圆的标准方程. 3

参考答案
2 2 1. 解: ?F1 PF2 ? ? ? 90?, b ? 24 ,? S ?F1PF2 ? b tan

?
2

? 24 tan 45? ? 24 .

故答案选 D.
2 2. 解:设 ?F1 PF2 ? ? ,? S ?F1PF2 ? b tan

?
2

? tan

?
2

? 1 ,?

?
2

? 45?,? ? 90? , PF ? PF2 ? 0 . 1

故答案选 A.
2 3. 解: a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,设 ?F1 PF2 ? ? ,? S ?F1PF2 ? b tan

?
2

? tan

?
2



3

? 当△ F1 PF2 的面积最大时, ? 为最大,这时点 P 为椭圆短轴的端点, ? ? 120 ? , ? PF ? PF2 ?| PF | ? | PF2 | cos? ? a 2 cos120? ? ?2 . 1 1
故答案选 D. 4. 解: ?F1 PF2 ? ? ? 60? , b ? 1 , S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

? tan30? ?

3 , 3

又? S ?F1PF2 ?

1 3 | PF1 | ? | PF2 | sin ? ? | PF1 | ? | PF2 | , 2 4

?

4 3 3 ,从而 | PF1 | ? | PF2 |? . | PF1 | ? | PF2 |? 3 4 3
故答案选 C.

2 5. 解:设 ?F1 PF2 ? ? ,则 ? ? 90? . ? S ?F1PF2 ? b tan

?
2

? b 2 tan 45? ? b 2 ? 20 ,

又? e ?

c a2 ? b2 5 , ? ? a a 3

?1 ?

b2 5 20 5 ? ,即 1 ? 2 ? . 2 9 a 9 a

2 解得: a ? 45 .

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ? 1. ? 所求椭圆的标准方程为 45 20 45 20
6.解:设 ?F1 PF2 ? ? ,? cos? ?

1 ? ? , ? ? 120? . 2 | PF1 | ? | PF2 |

PF1 ? PF2

S ?F1PF2 ? b 2 tan
又?

?
2

? b 2 tan 60? ? 3b 2 ? 3 ,? b ? 1 .

a2 4 3 c2 ? b2 c2 ?1 1 4 3 3 ,即 . ? ? ?c? ? ? 3? c 3 c c c 3 3 3 . 3

?c ? 3或c ?

当c ?

3 时, a ? b 2 ? c 2 ? 2 ,这时椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1; 4

4

当c ?

x2 3 2 3 时, a ? b 2 ? c 2 ? ,这时椭圆的标准方程为 ? y2 ? 1; 4 3 3 3

但是,此时点 P 为椭圆短轴的端点时, ? 为最大, ? ? 60? ,不合题意.

x2 ? y2 ? 1. 故所求的椭圆的标准方程为 4

5


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