选修2-1第三章空间向量与立体几何教案2



题:空间向量的坐标表示

教学目标: 1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐 标运算; 2.会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 教学重点:空间向量的坐标运算 教学难点:空间向量的坐标运算 教学过程: 1、空间直角坐标系:
x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建

立了一个空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原点,向量
?? ? 通过每两个坐标轴的平面叫坐标 i, j, k 都叫坐标向量.

平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面。 (3)作空间直角坐标系 O ? xyz 时,一般使 ?xOy ? 135? (或 45? ) , ?yOz ? 90? ; (4) 在空间直角坐标系中, 让右手拇指指向 x 轴的正 方向,食指指向 y 轴的正方向,如果中指指向 z 轴的 正方向, 称这个坐标系为右手直角坐标系 规定立几中
王新敞
奎屯 新疆

建立的坐标系为右手直角坐标系 2、空间直角坐标系中的坐标:

王新敞
奎屯

新疆

如图给定空间直角坐标系和向量 a ,设 i, j, k 为坐 标 向 量 , 则 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 (a1, a2 , a3 ) , 使

?

?? ?

? ? ? ? ? 有序实数组 (a1, a2 , a3 ) 叫作向量 a 在空间 a ? a1i ? a2 j ? a3 k ,

直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 a ? (a1, a2 , a3 ) . 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A , 存在唯 一的有序实数组 ( x, y, z) ,使 OA ? xi ? yj ? zk ,有序实数
i O j A(x,y,z) z

?

??? ?

?

?

k

y



x

( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,

记 作 A( x, y, z) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标. 3、空间向量的直角坐标运算律 (1)若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,
? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , ? ? a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ,
x k i O j

?

?

z

? ?

A(a1,a2,a3)

B(b1,b2,b3) y

(2) 若 A( x1, y1, z1 ) , 则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . B( x2 , y2 , z2 ) , 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 三、数学运用 1、例 1 已知 a ? (1,?3,8), b ? (3,10,?4) ,求 a ? b, a ? b,3a 解: a ? b ? (4,7,4)
a ? b ? (?2,?13,12)

??? ?

3a ? (3,?9,24)

2、已知空间四点 A(?2,3,1), B(2,?5,3), C (10,0,10) 和 D(8,4,9) ,求 证:四边形 ABCD 是矩形 解: AB ? OB ? OA ? (4,?8,2) , DC ? (2,?4,1)
AB ? 2DC

所以 AB // DC ,AB ? DC , 所以四边形 ABCD 是矩形。 3、课堂练习

三、回顾总结 空间向量的坐标表示及其运算 四、布置作业 课 题:空间向量的数量积

1、夹角 定义: a, b 是空间两个非零向量,过空间任意一 点 O,作 OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a 与向量 b 的夹 角,记作 ? a, b ? 规定: 0 ?? a, b ?? ? 特别地,如果 ? a, b ?? 0 ,那么 a 与 b 同向;如果
? a, b ?? ? ,那么 a 与 b 反向;如果 ? a, b ?? 900 ,那么 a 与 b

垂直,记作 a ? b 。 2、数量积 ( 1 ) 设 a, b 是 空 间 两 个 非 零 向 量 , 我 们 把 数 量
| a ||b | cos ? a, b ? 叫作向量 a, b 的数量积,记作 a ? b ,即

a ? b = | a ||b | cos ? a, b ?

? ? ? ? a b ? a b2 ? a3b3 a ?b (2)夹角:cos a ? b ? ? ? ? 2 1 21 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3



(3)运算律
a ? b ? b ? a ; (? a) ? b ? ? (b ? a) ; a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c

(4)模长公式:若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 | a |?
? ? ? 2 2 2 a ? a ? a1 ? a2 ? a3

?

?

,| b |?

?

? ? 2 2 2 b ? b ? b1 ? b2 ? b3



(5)两点间的距离公式:若 A( x1, y1, z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则
??? ? ??? ?2 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2





d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2



(6) a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 三、数学运用 1、例 1 已知 A(3,1,3) , B(1, 0,5) ,求: (1)线段 AB 的中点坐标和长度; ( 2 )到 A, B 两点的距离相等的点 P( x, y, z) 的坐标
x, y, z 满足的条件
王新敞
奎屯 新疆

解 :( 1 ) 设

M

是线段

AB

的中点,则

1 3 OM ? (OA ? OB) ? (2,3, ) . 2 2

∴ AB 的中点坐标是 (2,3, 3 ) ,
2
AB ? (?2,4,3)

| AB |? (?2) 2 ? 4 2 ? (?3) 2 ? 29 .

(2)∵ 点 P( x, y, z) 到 A, B 两点的距离相等, 则
( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 3) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( z ? 0) 2

,

化简得: 4 x ? 8 y ? 6 z ? 7 ? 0 , 所以,到 A, B 两点的距离相等的点 P( x, y, z) 的坐标
x, y, z 满足的条件是 4 x ? 8 y ? 6 z ? 7 ? 0 .

点评:到 A, B 两点的距离相等的点 P( x, y, z) 构成的 集合就是线段 AB 的中垂面,若将点 P 的坐标 x, y, z 满 足的条件
4x ? 8 y ? 6z ? 7 ? 0

的系数构成一个向量

a ? (4,?8,6) ,发现与 AB ? (?2,4,3) 共线。

例 2 已知三角形的顶点是 A(1, ?1,1) , B(2,1, ?1) ,

C(?1, ?1, ?2) ,试求这个三角形的面积。
分析:可用公式 S ? | AB | ? | AC | ? sin A 来求面积 解:∵ AB ? (1, 2, ?2) , AC ? (?2,0, ?3) , ??? ? | AB |? 12 ? 22 ? ( ?2) 2 ? 3 ∴ ???? | AC |? (?2) 2 ? 0 ? (?3) 2 ? 13 , ??? ? ??? ? AB ? AC ? (1, 2, ?2) ? (?2,0, ?3) ? ?2 ? 6 ? 4 ,
??? ?
? 1 ??? 2 ????
王新敞
奎屯 新疆

??? ?



??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC 4 4 13 ? ??? ? ? ? ∴ cos A ? cos ? AB, AC ?? ??? , 39 | AB | ? | AC | 3 ? 13
??? ? ???? ??? ? ???? 13 ? 101 sin A ? sin ? AB, AC ?? 1 ? cos 2 ? AB, AC ? ? 39

∴所以, S?ABC ? 四、回顾总结 五、布置作业 课

? ???? 1 ??? 101 | AB | ? | AC | ? sin A ? . 2 2

题:直线的方向向量与平面的法向量

1、直线的方向向量 我们把直线

l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫

做直线 l 的方向向量 2、平面的法向量 如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α ,则称这个向量垂直于平面α ,记作 n ? ? ,那么 向量 n 叫做平面α 的法向量。 三、数学运用 1、例 1 在正方体 ABCD ? A B C D 中,求证: DB1 是平面
1 1 1 1

ACD1 的法向量

证:设正方体棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交 基底,建立如图所示空间坐标系 D ? xyz
A1 z D1 C1 B1

DB1 ? (1,1,1) , AC ? (?1,1,0) ,
DB1 ? AC ? 0 ,所以 DB1 ? AC
D C y B

???? ? ??? ? ? AD1和 AC交于点A ,所以 DB ? 平面 ACD
1

AD1 ? (?1,0,1) ,同理 DB1 ? AD1

A x

从而 DB1 是平面 ACD 的法向量。
1

例 2 空间坐标系内,设平面 ? 经过点 P( x0 , y 0 , z 0 ) ,
M ( x, y, z ) 为平面 ? 内任 平面 ? 的法向量为 e ? ( A, B, C) ,

意一点,求 x, y, z 满足的关系式。 解:由题意可得 PM ? ( x ? x0 , y ? y0 , z ? z0 )

因为 e ? PM ? 0 即 ( A, B, C ) ? ( x ? x0 , y ? y 0 , z ? z 0 ) ? 0 化简得 A( x ? x0 ) ? B( y ? y 0 ) ? C ( z ? z 0 ) ? 0 3、课堂练习 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, 如 ??? ? ??? ? ???? 果 AB ? (2, ?1, 4) , AD ? (4, 2,0) , AP ? (?1, 2, ?1)
王新敞
奎屯 新疆

(1)求证: AP 是平面 ABCD 的法向量; (2)求平行四边形 ABCD 的面积. (1)证明:∵ AP ? AB ? (?1, 2, ?1) ? (2, ?1, ?4) ? 0 ,
??? ? ??? ? AP ? AD ? (?1,2, ?1) ? (4,2,0) ? 0 ,
??? ? ??? ?

??? ?

∴ AP

? AB , AP ? AD ,

又 AB ? AD ? A ,所以 AP ? 平面 ABCD , ∴ AP 是平面 ABCD 的法向量. ( 2 )
??? ? | AB |? (2) 2 ? ( ?1) 2 ? ( ?4) 2 ? 21
??? ?



???? | AD |? 42 ? 22 ? 02 ? 2 5 , ??? ? ??? ? ∴ AB ? AD ? (2, ?1, ?4) ? (4, 2,0) ? 6 ,
??? ? ???? cos( AB , AD) ? ∴ 6 3 105 ? , 105 21 ? 2 5

9 32 ? ,(因为夹角为锐角) 105 35 ??? ? ??? ? ∴ S? ABCD ?| AB | ? | AD | sin ?BAD ? 8 6 .

∴ sin ?BAD ? 1 ?

四、回顾总结 1、直线得方向向量与平面法向量得概念;

2、求平面法向量得方法 五、布置作业


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