上海市16区2013届高三二模数学(文)试题分类汇编3:三角函数 Word版含答案

上海市 16 区 2013 届高三二模数学(文)试题分类汇编 3:三角函数
一、选择题 错误!未指定书签。 (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(文)试卷) 若
0 ? ? ? 2? , s in ? ? 3 cos ?

,则 ? 的取值范围是

【 (

】 )

A. ?

?? ? 3

,

? ?
? 2 ?

B. ?

?? ? 3

,

4? ? ? 3 ?

C. ?

??

? ,? ? ? 3 ?

D. ?

?? ? 3

,

3? ? ? 2 ?

错误!未指定书签。 (上海市闵行区 2013 届高三 4 月质量调研考试数学(文)试题) 设函
f ( x ) ? | s i n x | ? c o s 2x ,x ? ? ? ? ? ? , ,则函数 f ( x ) 的最小值是 ? 2 2 ? ? ?


9 8



A. ? 1 .

B.0.

C.

1 2

.

D.

.

错误!未指定书签。 (上海市静安、杨浦、青浦、宝山区 2013 届高三 4 月高考模拟数学(文) 试题)已知 ? ? (
?
2 , ? ) , sin ? ? 3 5

,则 tan( ? ?

?
4

) 的值等于

( D. ? 7 .



A.

1 7

.

B. ?

1 7

.

C. 7 .

错误!未指定书签。 (上海市黄浦区 2013 年 4 月高考(二模)模拟考试数学(文)试题)已

知 cos A. ?

?
2 24 25

?

4 5

,且 sin ? ? 0 ,则 ta n ? 的值为 B. ?
24 7

( C. ?
24 7



D.

24 7

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 上 海 市 虹 口 区 2013 届 高 三 ( 二 模 ) 数 学 ( 文 ) 试 卷 ) 若
?

?
2

? ? ?

?
2

,

?
3

?
2

? ? ?

?
2

,

m ? R

,







?

3

? sin ? ? m ? 0 , ? ?

? sin ? ? m ? 0 ,则 cos( ? ? ? ) 值为

A.

?1

B. 0

C.

1 2

D.1

错误!未指定书签。 (上海市虹口区 2013 届高三(二模)数学(文)试卷) 已知函数
y ? 2 s in( x ?

?
2

) c os ( x ?

?
2

) 与直线 y ?

1 2

相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依次记

为 M 1 , M 2 , M 3 ,,则 M 1 M
A. 6? B. 7?

13

等于
C . 12 ? D . 13 ?

错误!未指定书签。 (上海市奉贤区 2013 届高考二模数学(文)试题 )下列命题中正确的是

( A.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 互为反函数 B.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是增函数



C.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是奇函数 D.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是周期函数
二、填空题 错误!未指定书签。 (上海市徐汇、松江、金山 2013 届高三 4 月学习能力诊断数学(文)试 题)已知 ? ? ( ?
?
2 , 0 ) ,且 c o s ? ? 4 5

,则 sin 2 ? =___________.

错误!未指定书签。 (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(文)试题)

△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c ,若 A ?

?
3

, b ? 2 c ,则 C =________.

错误!未指定书签。 (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(文)试题)

若 sin ? ?

3 5

且 sin 2? ? 0 ,则 tan ? =_________.

错误!未指定书签。 (上海市浦东区 2013 年高考二模数学(文)试题 )方程 x cos x ? 0 在区

间 ?? 3,6? 上解的个数为______.
错误!未指定书签。 (上海市浦东区 2013 年高考二模数学(文)试题 )在 ?ABC 中,角 A、B、

C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? 2, b ? c ? 7, cos B ? ?

1 4

,则 b ? __________.

错误!未指定书签。 (上海市闵行区 2013 届高三 4 月质量调研考试数学(文)试题)设 ? A B C 的

三 个 内 角 A、 B 、 C 所 对 的 边 长 依 次 为 a、 b、 c , 若 ? A B C 的 面 积 为 S , 且
S ? a ? ( b ? c ) ,则
2 2

s in A 1 ? cos A

? ______________.

错误! 未指定书签。 (上海市黄浦区 2013 年 4 月高考 (二模) 模拟考试数学 (文) 试题) 在△ A B C

中, ? A ? 1 2 0 ? , A B ? 5 , B C ? 7 ,则

s in B s in C

的值为_____.
2

错误!未指定书签。 (上海市奉贤区 2013 届高考二模数学(文)试题 )函数 f ( x ) ? 2 sin

x的

最小正周期是_____________
错误!未指定书签。 (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(文)试题) (文)已知
cos(? ? ? ) ? 3 5 , sin ? ? ? 5 13

,且 ? ? (0,

?
2

), ? ? ( ?

?
2

,0) ,则 sin ? ? _____.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 上 海 市 长 宁 、 嘉 定 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 函数 (
f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

) 的最小正周期是__________.

三、解答题 错误!未指定书签。 (上海市徐汇、松江、金山 2013 届高三 4 月学习能力诊断数学(文)试题)

在 ? A B C 中 , a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边 ,且 s in A c o s C ? c o s A s in C ?

3 2

,若

b ?

7,

? A B C 的面积 S ? A B C ?

3 4

3 ,求 a ? c 的值.

错误!未指定书签。 (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(文)试 题)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
?
2

已知函数 f ( x ) ? A cos( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ?

? ? ? 0 )的图像与 y 轴的交点

为 ( 0 , 1 ) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x 0 , 2 ) 和
( x 0 ? 2? ,? 2 )

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若锐角 ? 满足 cos ? ?
1 3

,求 f ( 2 ? ) 的值.

第 19 题

错误!未指定书签。 (上海市闵行区 2013 届高三 4 月质量调研考试数学(文)试题)本题共有 2

个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 如图,在半径为 2 0 c m 的半圆形( O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 A B C D ,其中点 A 、 B 在直径上,点 C 、 D 在圆周上. (1)请你在下列两个小题中选择一题作答即可: ...... ①设 ? B O C ? ? ,矩形 A B C D 的面积为 S ? g (? ) ,求 g (? ) 的表达式,并写出 ? 的范 围. ②设 B C ? x ( c m ) ,矩形 A B C D 的面积为 S ? f ( x ) ,求 f ( x ) 的表达式,并写出 x 的范 围. (2)怎样截取才能使截得的矩形 A B C D 的面积最大?并求最大面积. D C

O A B

错误!未指定书签。 (上海市静安、杨浦、青浦、宝山区 2013 届高三 4 月高考模拟数学(文)试 题)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于
C ,

?
3

,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点

过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是 OA 的中点,求 PC ; (2)设 ? COP ? ? ,求△ POC 周长的最大值及此时 ? 的值.

错误!未指定书签。 (上海市黄浦区 2013 年 4 月高考(二模)模拟考试数学(文)试题)本题

共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知复数 z 1 (1)若 2 z 1
? s in x ? ? i

, z2

? (s in x ?

3 co s x ) ? i (? , x ? R

,i 为虚数单位).

? z2i

,且 x ? (0, π ) ,求 x 与 ? 的值;
???? ???? ? ? ???? ? ???? ? ? OZ2

(2)设复数 z 1 , z 2 在复平面上对应的向量分别为 O Z 1 , O Z 2 ,若 O Z 1
f (x)

,且 ?

? f (x)

,求

的最小正周期和单调递减区间.

错误! 未指定书签。 上海市虹口区 2013 届高三 ( (二模) (文) 数学 试卷) ? ABC 中,角 A , B , C 在

所对的边长分别为 a , b , c ,向量 m ? ( 2 sin B , 且m ? n ? 1 . (1)求角 B ;

2 cos B ) , n ? ( 3 cos B ,

? cos B ) ,

(2)若 a , b , c 成等差数列,且 b ? 2 ,求 ? ABC 的面积.

错误!未指定书签。 (上海市奉贤区 2013 届高考二模数学(文)试题 )位于 A 处的雷达观测

站,发现其北偏东 45°,与 A 相距 20

2

海里的 B 处有一货船正以匀速直线行驶,20 分
0 0

钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东 4 5 ? ? ? ?0 ? ? ? 45
cos ? EAC ? ? 2 13 13

? 的 C 处, AC

? 5 13 .在

离观测站 A 的正南方某处 E,

(1)求 cos ? ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时);



B

C θ A

E

(上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(文)试题)(本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,

第 2 小题满分 6 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对应的边 a , b , c 成等比数列. (1)求证: 0 ? B ? (2)求 y ?
?
3

; 的取值范围.

1 ? sin 2 B sin B ? cos B

上海市 16 区 2013 届高三二模数学(文)试题分类汇编 3:三角函数参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 二、填空题
24 25

B; B; D ; C D ; C

错误!未找到引用源。 A

?

错误!未找到引用源。

?
6 3 4

错误!未找到引用源。 ? 错误!未找到引用源。4; 错误!未找到引用源。4;

错误!未找到引用源。 4 ; 错误!未找到引用源。
3 5

;

错误!未找到引用源。 ? ; 错误!未找到引用源。 (文) 错误!未找到引用源。 ? 三、解答题 错误!未找到引用源。解:由条件可知 s in ( A ? C ) ?
3 2 3 2
? S ?ABC ? 1 2
2

33 65

,

即 s in B ?

,
3 4 3. ? ac ? 3.

a c s in B ?

由余弦定理 b

? a
2

2

? c

2

? 2 ac cos B ,得 b ? ( a ? c ) ? 2 a c ? 2 a c c o s B ,
2 2

于是, 7 ? ( a ? c ) ? 2 ? 3 (1 ?

1 2

). ? a ? c ? 4

错误!未找到引用源。 [解](1)由题意可得 A ? 2
T 2 ? 2 ? 即 T ? 4? , ? ? 1 2

f ( x ) ? 2 cos(

1 2

x ? ? ) , f (0 ) ? 1

由 cos ? ?

1 2

且?

?
2 1 2

? ? ? 0 ,得 ? ? ? x ?

?
3

函数 f ( x ) ? 2 cos(

?
3

)

(2)由于 c o s ?

?

1 3

且 ? 为锐角,所以 sin ? ?
?
3 ) ? 2 (cos ? cos
1? 2 3

2 3

2

f ( 2 ? ) ? 2 cos( ? ?

?
3

? sin ? sin

?
3

)

? 2?(

1 3

?

1 2

?

2 3

2

?

3 2

) ?

6

错误!未找到引用源。

(文) [解]
? ?

①由 ? B O C ? ? ,得 O B ? 2 0 c o s ? , B C ? 2 0 s in ? ,其中 ? ? ? 0 ,

? ?

? 理 2 分,文 3 分 2 ?

所以 S ? g (? ) ? A B ? B C ? 2 O B ? B C ? 8 0 0 s in ? c o s ? ? 4 0 0 s in 2 ?
? ?

即 g (? ) ? 4 0 0 s in 2 ? , ? ? ? 0 ,

? ?
? 2 ?
2

文理 4 分

②连接 O C ,则 O B ?

400 ? x

(0 ? x ? 20)

理 2 分,文 3 分

所以 S ? f ( x ) ? A B ? B C ? 2 x 4 0 0 ? x 2 ( 0 ? x ? 2 0 ) 即 f ( x ) ? 2 x 400 ? x 2 (0 ? x ? 20) . (2)①由 S ? g (? ) ? 4 0 0 s in 2 ? 得当 sin 2? ? 1 即当 ? ? 此时 B C ? 2 0 s in
?
4
2 当 B C 取 1 0 2 c m 时,矩形 A B C D 的面积最大,最大面积为 4 0 0 c m .文理 2 分

文理 4 分

?
4

时, S 取最大值 4 0 0 c m .理 4 分,文 5 分
2

? 10

2cm ,

② f ( x) ? 2 x 400 ? x ? 2 x (400 ? x ) ? x ? (400 ? x ) ? 400 ,
2 2 2 2 2
2 2 2 当且仅当 x ? 4 0 0 ? x ,即 x ? 1 0 2 时, S 取最大值 4 0 0 c m .理 4 分,文 5 分

2 当 B C 取 1 0 2 c m 时,矩形 A B C D 的面积最大,最大面积为 4 0 0 c m .文理 2 分

错误!未找到引用源。本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

解:(1)在△ POC 中, ? OCP ?

2? 3

, OP ? 2 , OC ? 1

由 OP

2

? OC

2

? PC

2

? 2 OC ? PC cos

2? 3

得 PC

2

? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ?

?1? 2

13

.

(2)∵ CP ∥ OB ,∴ ? CPO ? ? POB ?
OP sin ? PCO

?
3

?? ,

在△ POC 中,由正弦定理得

?

CP sin ?

,即
sin

2 2? 3

?

CP sin ?

∴ CP ?

4 3

sin ? ,又

OC sin(

?
3

? ??)

CP sin 2? 3

? OC ?

4 3

sin(

?
3

??) .

记△ POC 的周长为 C (? ) ,则 C (? ) ? CP ? OC ? 2 ?
4 ? 3 1 c o s? ? s in ? ? 2 3 ? 2 ? ? ?? 2 ? ? ?

4 3

sin ? ?

4 3

sin(

?
3

??)? 2

=

4

? ? ? s in ? ? ? ?? 2 3 ? 3 ?
3

∴? ?

?
6

时, C (? ) 取得最大值为

4 3

? 2.

错误!未找到引用源。本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

解:(1)由 2 z 1 ∴?

? z2i

,可得 2 s in

x ? 2 ? i ? 1 ? (s in x ?

3 c o s x )i

,又 ? , x ? R ,

? 2 s in x ? 1, ? ? 2 ? ? s in x ? ? 3 cos x,

又 x ? (0, π ) ,

π ? , ? x ? 故? 6 ? ? ? 1, ?

5π ? x ? , ? ? 6 或? ?? ? ? 1 . ? 2 ?
3 c o s x , ? 1)

(2) O Z 1 由O Z1 又?
?
???? ?

???? ?

???? ? ? (s in x , ? ), O Z 2 ? (s in x ?

, ,

???? ? ? OZ2

,可得 s in

x (s in x ?

3 c o s x) ? ? ? 0

? f (x)

,故
?

f ( x ) ? s in

2

x ?

3 s in x c o s x

1 ? cos 2 x 2

3 2

s in 2 x ? s in ( 2 x ?

π 6

)?

1 2



f (x)

的最小正周期 T

? π

,

又由 2 k π 故

?
f (x)

?

π 2

? 2x ?

π 6

? 2 kπ ?

3π 2 ?

(k ? π 3

Z),可得 k π
5π 6

?

π 3

? x ? kπ ?

5π 6

,

的单调递减区间为 [ k π
! 未 找
2 sin B ?

, kπ ?

] (k ? Z )






2


B ?1







:(1) ,

m ?n ? 1

, ?

3 cos B ? 2 cos

,

3 sin 2 B ? cos 2 B ? 2

sin( 2 B ?

?
6

) ?1,

又 0 ? B ? ? ,? ?

?
6

? 2B ?

?
6

?

11 ? 6

,? 2 B ?

?
6

?

?
2

,? B ?

?
3

(2)? b ? 2 , 2 b ? a ? c ,? a ? c ? 4 . 又b
2

? a

2

? c

2

? 2 ac ? cos B ,? 4 ? a

2

? c

2

? 2 ac ? cos

?
3

,即 4 ? a ? c ? ac
2 2

将 a ? c ? 4 代入得 a 2 ? 4 a ? 4 ? 0 ,得 a ? 2 ,从而 c ? 2 ,三角形为等边三角形
? S? ?

1 2

ac sin B ?

3








2 13 13


, ? sin ? EAC ?


1 ? cos
2


? EAC ?


3 13 13





(1)? cos ? EAC ? ?

3? ? 3? ? cos ? ? cos ? ? ? EAC ? ? cos ? cos ? EAC 4 ? 4 ?

? sin

3? 4

? sin ? EAC

? ?

2 2

? (?

2 13 13
2

)?

2 2

?

3 13 13

?

5

26 26

(2)利用余弦定理 BC

? AB

2

? AC

2

? 2 AB ? AC ? cos ? ? 125 , ? BC ? 5

5

该船以匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 5 5 海里,
5 1 3 5

该船的行驶速度 v ?

? 15

5 (海里/小时)

错误!未找到引用源。 (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分)

解:(1)由已知, b 2 ? ac ,所以由余弦定理,
a ?c ?b
2 2 2

得 cos B ?

?

a ? c ? ac
2 2

2ac

2ac

由基本不等式 a 2 ? c 2 ? 2ac ,得 cos B ?
? ? . , 1? .因此, 0 ? B ? 3 ?2 ?
?1

2ac ? ac 2ac

?

1 2

所以 cos B ? ?

(2) y ?

1 ? sin 2 B sin B ? cos B

?

(sin B ? cos B ) sin B ? cos B

2

? sin B ? cos B ?

?? ? 2 sin ? B ? ? , 4? ?

由(1), 0 ? B ?

?
3

,所以

?
4

? B?

?
4

?

7? 12

,所以 sin ? B ?
?

?

??

? 2 ? , 1? , ??? 4? ? 2 ? ?

所以, y ?

1 ? sin 2 B sin B ? cos B

的取值范围是 ? , 1

2

?


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