高一数学《三角函数、数列》单元试卷

高一数学《三角函数、数列》单元试卷
一.选择题(共 15 小题) 1.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 2.在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 A=60°,c=5,a=7,则△ ABC 的面积等于( A. B. C.10 D.10





3.已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边依次为 a,b,c,外接圆半径为 1,且满足 面积的最大值为( A. ) B. C. D.

,则△ ABC

4.在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos2B=( A. B.

) C.

D.

5.△ ABC 中,sinA,sinB,sinC 成等差数列,且 tanC=2 A. B. C.

,则 的值为(

) D.

6. 若钝角△ ABC 三内角 A、 B、 C 的度数成等差数列, 且最大边长与最小边长的比为 m, 则 m 的取值范围是 ( A.(2,+∞) B.(0,2) C.[1,2] D.[2,+∞)



7. 如图, 要测量河对岸 A、 B 两点间的距离, 今沿河岸选取相距 40 米的 C、 D 两点, 测得∠ ACB=60°, ∠ BCD=45°, ∠ ADB=60°,∠ ADC=30°,则 AB 的距离为( )

A.20

B.20

C.40

D.20

8.下列关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列 列;其中真命题是( A.p1,p2 ) B.p3,p4 C.p2,p3 ) D.23 D.p1,p4 是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数

9.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A.138 B.135 C.95

1

10.已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n﹣1)+1+am(n﹣1)+2+…+am(n﹣1)+m,

cn=am(n﹣1)+1?am(n﹣1)+2?…?am(n﹣1)+m,
A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm C. 数列{cn}为等比数列,公比为

(m,n∈N ) ,则以下结论一定正确的是( B. 数列{bn}为等比数列,公比为 q2m D. 数列{cn}为等比数列,公比为

*



11.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 A. 或5 B. 或5 C.

的前 5 项和为( D.



12.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则 an=( ) n﹣1 n﹣1 A.(﹣2) B.﹣(﹣2 ) C.(﹣2)n 13.数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为( A.3690 B.3660 C.1845
2 n

D.﹣(﹣2)n ) D.1830 ) D.6

14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( A.9 B.8 C.7 15.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( ﹣ A.2n 1 B. C. )

D.

二.解答题(共 6 小题) 16.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, (1)若 ac=2,求 a+c 的值; (2)求 的值. .

2

17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ )求 B 和 C; (Ⅱ )若 ,求△ ABC 的面积.





18.在△ ABC 中,∠ A、∠ B、∠ C 所对的边长分别为 a、b、c,设 a、b、c 满足条件 b +c ﹣bc=a 和 = + ∠ A 和 tanB 的值.

2

2

2

,求

3

19.给定常数 c>0,定义函数 f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列 a1,a2,a3,…满足 an+1=f(an) ,n∈N . (1)若 a1=﹣c﹣2,求 a2 及 a3; * (2)求证:对任意 n∈N ,an+1﹣an≥c; (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1;若不存在,说明理由.

*

4

20.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn 且 求 数列{cn}的前 n 项和 Rn. (λ 为常数) .令 cn=b2n(n∈N )


5

21.已知等比数列{an}的公比为 q=﹣ . (1)若 a3= ,求数列{an}的前 n 项和;

(Ⅱ )证明:对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列.

6

高一数学《三角函数、数列》单元试卷 参考答案与试题解析
一.选择题(共 15 小题) 1. (2013?陕西)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,再由两角和的正弦公式、诱导公式求得
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sinA=1,可得 A=

,由此可得△ ABC 的形状.

解答: 解:△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ∵ bcosC+ccosB=asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA, 即 sin(B+C)=sinAsinA,可得 sinA=1,故 A= ,故三角形为直角三角形,

故选 B. 点评: 本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、 诱导公式的应用, 根据三角函数的值求角, 属于中档题. 2. (2013?聊城一模)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 A=60°,c=5,a=7,则△ ABC 的面积 等于( ) A. B. C.10 D.10

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理. 计算题.

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利用余弦定理 a =b +c ﹣2accosA 可求得 b,即可求得△ ABC 的面积. 解:∵ △ ABC 中,A=60°,c=5,a=7, 2 2 2 ∴ 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA, 即 49=b +25﹣2×5b× , 解得 b=8 或 b=﹣3(舍) . ∴ S△ABC= bcsinA= ×8×5× =10 .
2

2

2

2

故选 C. 点评: 本题考查余弦定理与正弦定理的应用,求得 b 是关键,考查分析与运算能力,属于中档题. 3. (2012?武清区一模)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边依次为 a,b,c,外接圆半径为 1,且满足 ,则△ ABC 面积的最大值为 ( A. ) B. C. D.

考点: 正弦定理;同角三角函数间的基本关系.

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7

专题: 计算题. 分析: 利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边, 利用正弦定理化简已知的等式右边, 整理后利用 两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据 sinC 不为 0,可得出 cosA 的值,然后利用余弦定理 表示出 cosA,根据 cosA 的值,得出 bc=b +c ﹣a ,再利用正弦定理表示出 a,利用特殊角的三角函数 值化简后,再利用基本不等式可得出 bc 的最大值,进而由 sinA 的值及 bc 的最大值,利用三角形的面 积公式即可求出三角形 ABC 面积的最大值. 解答: 解:由 r=1,利用正弦定理可得:c=2rsinC=2sinC,b=2rsinB=2sinB, ∵ tanA= ∴ ,tanB= 变形为: , = = ,
2 2 2

∴ sinAcosB=cosA(2sinC﹣sinB)=2sinCcosA﹣sinBcosA, 即 sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC=2sinCcosA, ∵ sinC≠0,∴ cosA= ,即 A= ,

∴ cosA=
2 2 2 2 2

= ,
2 2 2

∴ bc=b +c ﹣a =b +c ﹣(2rsinA) =b +c ﹣3≥2bc﹣3, ∴ bc≤3(当且仅当 b=c 时,取等号) , ∴ △ ABC 面积为 S= bcsinA≤ ×3× 则△ ABC 面积的最大值为 . = ,

故选 D 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦函数公式,诱导公式,三 角形的面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 4. (2012?东莞二模)在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos2B=( A. B. C. ) D.

考点: 正弦定理;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: 2 利用正弦定理求得 sinB= ,再由二倍角公式可得 cos2B=1﹣2sin B 的值.
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解答:

解:∵ 在△ ABC 中,a=15,b=10,A=60°,由正弦定理可得 再由二倍角公式可得 cos2B=1﹣2sin B=1﹣2× = ,
2

,解得 sinB=



故选 C. 点评: 本题主要考查正弦定理、二倍角公式的应用,属于中档题. 5.△ ABC 中,sinA,sinB,sinC 成等差数列,且 tanC=2 A. B. C.

,则 的值为(

) D.

考点: 正弦定理;等差数列的通项公式.

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8

专题: 计算题;等差数列与等比数列;解三角形. 分析: 2 2 2 根据同角三角函数基本关系,算出 cosC= .再根据余弦定理 c =b +a ﹣2abcosC 的式子及 2b=a+c,化 简整理得到关于 b、c 的等式,解之即可得到 的值. 解答: 解:∵ tanC=2 ∴ cosC= >0,得 C 为锐角 =

∵ sinA,sinB,sinC 成等差数列,即 2sinB=sinA+sinC ∴ 根据正弦定理,得 2b=a+c 由余弦定理,得 c =b +a ﹣2abcosC 即 c =b +(2b﹣c) ﹣2b(2b﹣c)× 化简得 ∴= 故选:C 点评: 本题给出三角形中角 C 的正切,在已知三边成等差数列的情况下求 的值,着重考查了等差数列、正余 弦定理等知识,属于中档题. 6. (2005?辽宁)若钝角△ ABC 三内角 A、B、C 的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比为 m,则 m 的 取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(0,2) C.[1,2] D.[2,+∞) 考点: 余弦定理;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 设三角形的三边从小到大依次为 a,b,c,因为钝角△ ABC 三内角 A、B、C 的度数成等差数列得到 B 2 2 2 为 60°,然后利用余弦定理表示出 cosB 得到一个关系式,根据三角形为钝角三角形得到 a +b ﹣c <0, 把求得的关系式代入不等式即可求得最大边 c 与最小边 a 比值即 m 的范围. 解答: 解:设三角形的三边从小到大依次为 a,b,c, 因为三内角的度数成等差数列,所以 2B=A+C,则 A+B+C=3B=180°
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2

2

2

2

2

2

b﹣

2

bc=0,可得

b=

c

故可得 B=60°,根据余弦定理得:cosB=cos60°= = 于是 b =a +c ﹣ac, 2 2 2 又因为△ ABC 为钝角三角形,故 a +b ﹣c <0, 于是 2a ﹣ac<0,即 >2 则 m= 即 m∈(2,+∞)
2 2 2 2

故选 A 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质及钝角三角形三边的平方关系, 灵活运用余弦定理化简求值, 是一道 中档题. 7. (2009?惠州模拟)如图,要测量河对岸 A、B 两点间的距离,今沿河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ∠ ACB=60°,∠ BCD=45°,∠ ADB=60°,∠ ADC=30°,则 AB 的距离为( )

9

A.20

B.20

C.40

D.20

考点: 解三角形的实际应用;正弦定理;三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: 先根据∠ ACB 和∠ ADB 相等判断出 ABCD 四点共圆.根据已知求得∠ BDC=90°,进而判断出 BC 是圆的 直径.进而推断出∠ CAB=90°,在 Rt△ BCD 中,利用 BC=cos45°CD 求得 BC,进而在 Rt△ ACB 中,利用 AC=sin30°?BC 求得 AC,最后根据 AB=tan60°?AC 求得 AB 的长. 解答: 解:∵ ∠ ACB 和∠ ADB 相等. ∴ ABCD 四点共圆. ∴ ∠ BDC=∠ ADC+∠ ADB=90°. 则 BC 是圆的直径. 则∠ CAB=90°. ∵ ∠ BCD=45°,∠ CDB=90°, ∴ BC=cos45°CD=40 ∵ ∠ ACB=60°,∠ CAB=90°, ∴ AC=sin30°?BC=20 . ∴ AB=tan60°?AC=20 故选 D. 点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生综合分析问题和解决实际问题的能力,属于中档题.
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8. (2013?辽宁)下列关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列; p3:数列 是递增数列;

p4:数列{an+3nd}是递增数列; 其中真命题是( ) A.p1,p2 B.p3,p4

C.p2,p3

D.p1,p4

考点: 等差数列的性质;命题的真假判断与应用. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 对于各个选项中的数列,计算第 n+1 项与第 n 项的差,看此差的符号,再根据递增数列的定义得出结 论. 解答: 解:∵ 对于公差 d>0 的等差数列{an},an+1﹣an=d>0,∴ 命题 p1:数列{an}是递增数列成立,是真命题. 对于数列数列{nan},第 n+1 项与第 n 项的差等于 (n+1)an+1﹣nan=nd+an+1,不一定是正实数, 故 p2 不正确,是假命题.
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对于数列

,第 n+1 项与第 n 项的差等于



=

=

,不一定

是正实数, 故 p3 不正确,是假命题. 对于数列数列{an+3nd},第 n+1 项与第 n 项的差等于 an+1+3(n+1)d﹣an﹣3nd=4d>0, 故命题 p4:数列{an+3nd}是递增数列成立,是真命题. 故选 D.
10

点评: 本题主要考查等差数列的定义,增数列的含义,命题的真假的判断,属于中档题. 9. (2013?浙江模拟)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A.138 B.135 C.95 D.23 )

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前 n 项和,根据 a2+a4=4,a3+a5=10 我们构造关于基 本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差) ,进而代入前 n 项和公式,即可求 解. 解答: 解:∵ (a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6, ∴ d=3,a1=﹣4,
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∴ S10=10a1+

=95.

故选 C 点评: 在求一个数列的通项公式或前 n 项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可以求出 其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未 知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式. 10. (2013?福建)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n﹣1)+1+am(n﹣1)+2+…+am(n﹣1)+m,cn=am(n﹣1)+1?am * (m,n∈N ) ,则以下结论一定正确的是( ) (n﹣1)+2?…?am(n﹣1)+m, m A.数列{bn}为等差数列,公差为 q B. 数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C. D. 数列{cn}为等比数列,公比为 数列{cn}为等比数列,公比为

考点: 等比关系的确定;等差关系的确定. 专题: 压轴题;等差数列与等比数列. 分析: ① ,当 q=1 时,bn=mam(n﹣1) ,bn+1=mam(n﹣1)+m=mam(n﹣1)=bn,此
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时是常数列,可判断 A,B 两个选项 ② 由于等比数列{an}的公比为 q,利用等比数列的通项公式可得 , = ,

得出 解答:

即可判断出 C,D 两个选项.

解:①

,当 q=1 时, bn=mam(n﹣1) ,bn+1=mam(n﹣1)+m=mam(n﹣1)=bn,

此时是常数列,选项 A 不正确,选项 B 正确; 当 q≠1 时, ,

=

,此时

,选项 B 不正确,

又 bn+1﹣bn=

,不是常数,故选项 A 不正确,

11

② ∵ 等比数列{an}的公比为 q,∴





=





=

=

=

,故 C 正确 D 不正确.

综上可知:只有 C 正确. 故选 C. 点评: 熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前 n 项和公式是解题的关键. 11. (2010?天津)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 和为( A. ) 或5 B. 或5 C. D. 的前 5 项

考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等比数列求和公式代入 9s =s 求得 q,进而根据等比数列求和公式求得数列 3 6
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的前 5 项和.

解答: 解:显然 q≠1,所以 所以 是首项为 1,公比为 的等比数列, ,

前 5 项和



故选 C 点评: 本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质, 属于中等题. 在进行等比数列运算时要注意约 分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法的应用. 12. (2010?江西)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则 an=( ﹣ ﹣ n A.(﹣2)n 1 B.﹣(﹣2n 1) C.(﹣2) 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的性质,由 a5=﹣8a2 得到
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) D.﹣(﹣2)
n

等于 q ,求出公比 q 的值,然后由 a5>a2,利用等比数列的

3

通项公式得到 a1 大于 0,化简已知|a1|=1,得到 a1 的值,根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到 an 的值即可.

12

解答: 解:由 a5=﹣8a2,得到 =q =﹣8,解得 q=﹣2,
3

又 a5>a2,得到 16a1>﹣2a1,解得 a1>0,所以|a1|=a1=1 n﹣1 n﹣1 则 an=a1q =(﹣2) 故选 A 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前 n 项和的公式化简求值,是一道中档题. 13. (2012?黑龙江)数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为( ) A.3690 B.3660 C.1845 D.1830 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97,变形可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,…利用 数列的结构特征,求出{an}的前 60 项和. 解答: 解:由于数列{an}满足 an+1+(﹣1)n an=2n﹣1,故有 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5, a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97. 从而可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,… 从第一项开始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2, 从第二项开始,依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项,以 16 为公差的等差数列.
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n

{an}的前 60 项和为 15×2+(15×8+

)=1830,

故选 D. 点评: 本题主要考查数列求和的方法,等差数列的求和公式,注意利用数列的结构特征,属于中档题. 14. (2007?广东)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ﹣9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( A.9 B.8 C.7 D.6 考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 先利用公式 an=
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2



求出 an,再由第 k 项满足 5<ak<8,求出 k.

解答: 解:an=

= ∵ n=1 时适合 an=2n﹣10,∴ an=2n﹣10. ∵ 5<ak<8,∴ 5<2k﹣10<8, ∴ <k<9,又∵ k∈N+,∴ k=8, 故选 B. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,解题时要注意公式 an= 的合理运用.

13

15.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( ﹣ A.2n 1 B. C.

) D.

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 直接利用已知条件求出 a2,通过 Sn=2an+1,推出数列是等比数列,然后求出 Sn. 解答: 解:因为数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,a2=
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所以 Sn﹣1=2an,n≥2,可得 an=2an+1﹣2an,即:



所以数列{an}从第 2 项起,是等比数列,所以 Sn=1+ 故选 B. 点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,前 n 项和的求法,考查计算能力. 二.解答题(共 6 小题)

=

,n∈N+.

16. (2013?泗阳县模拟) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 a, b, c 成等比数列, (1)若 ac=2,求 a+c 的值; (2)求 的值.



考点: 正弦定理;同角三角函数基本关系的运用;余弦定理. 专题: 计算题. 2 分析: (1)先由 a,b,c 成等比数列,得到 b =ac,再由余弦定理,求出结果. (Ⅰ )首先对所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后,等比数 列的性质及正弦定理化简得到一个关系式,和 sinB 的值代入即可求出值; 2 2 2 2 2 2 解答: 解: (1)因 a,b,c 成等比数列,所以 b =ac,再由余弦定理得 b =a +c ﹣2accosB,代入可得 a +c =5, 2 2 2 则(a+c) =a +c +2ac=9,所以 a+c=3.
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(2)化简
2

=
2

又因 b =ac,则由正弦定理得 sin B=sinAsinC,代入上式, 有 = = .

点评: 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简求值, 灵活运用余 弦定理及等比数列的性质化简求值,是一道中档题. 17. (2013?临沂二模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 . (Ⅰ )求 B 和 C; (Ⅱ )若 ,求△ ABC 的面积.



14

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (I)由正弦定理,将题中等式化成

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,结合



用两角差的正弦公式展开,化简整理得 sin(B﹣C)=1.根据角 B、C 的取值范围,结合特殊三角函数 的值,即可算出 . ,算出 ,根据正弦定理的面积公式得到

(II)由(I)的结论,结合正弦定理 = 解答: 解: (Ⅰ )∵ ∴ 由正弦定理,得 展开,得

,利用诱导公式和二倍角的正弦公式即可算出△ ABC 的面积. , .…(1 分) ,…(2 分)

化简得 sinBcosC﹣cosBsinC=1,即 sin(B﹣C)=1.…(3 分) ∵ ∴ 又∵ 解之得: (Ⅱ )由(Ⅰ )得 ,可得 .…(5 分) ,∴ , .…(6 分) , ,…(4 分)

由正弦定理

,得

.…(8 分)

∴ △ ABC 的面积为 = 点评: 本题给出△ ABC 中 =

…(9 分) .…(12 分)

,并给出边角关系式,求角 B、C 的大小并依此求三角形的面积.着重考查了

三角形面积公式、诱导公式、二倍角的三角函数公式和利用正弦定理解三角形等知识,属于中档题. 18. (2005?天津)在△ ABC 中,∠ A、∠ B、∠ C 所对的边长分别为 a、b、c,设 a、b、c 满足条件 b +c ﹣bc=a 和 = + ,求∠ A 和 tanB 的值.
2 2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据余弦定理表示出 cosA,把已知条件 b2+c2﹣bc=a2 代入化简后,根据特殊角的三角函数值及 cosA 大
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于 0 即可得到∠ A;利用三角形的内角和定理和∠ A 表示出∠ C 与∠ B 的关系,然后根据正弦定理得到 与
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相等,把∠ C 与∠ B 的关系代入到

中,利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简

后得到一个关于 cotB 的方程, 求出方程的解即可得到 cotB 的值, 根据同角三角函数的关系即可得到 tanB 的值. 解答: 解:由 b +c ﹣bc=a ,根据余弦定理得 cosA= 因此,在△ ABC 中,∠ C=180°﹣∠ A﹣∠ B=120°﹣∠ B. 由已知条件,应用正弦定理 + = = = = = cotB+ ,
2 2 2

=

= >0,则∠ A=60°;

解得 cotB=2,从而 tanB= . 所以∠ A=60°,tanB= . 点评: 此题考查学生灵活运用余弦、正弦定理化简求值,灵活运用三角形的内角和定理、两角差的正弦函数公 式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道中档题. 19. (2013?上海)给定常数 c>0,定义函数 f(x)=2|x+c+4|﹣|x+c|.数列 a1,a2,a3,…满足 an+1=f(an) ,n∈N . (1)若 a1=﹣c﹣2,求 a2 及 a3; * (2)求证:对任意 n∈N ,an+1﹣an≥c; (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,…,an,…成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1;若不存在,说明理由. 考点: 数列的函数特性;等差关系的确定;数列与函数的综合. 专题: 压轴题;等差数列与等比数列. * 分析: (1)对于分别取 n=1,2,an+1=f(an) ,n∈N .去掉绝对值符合即可得出;
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*

(2)由已知可得 f(x)=

,分三种情况讨论即可证明;

(3)由(2)及 c>0,得 an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.分以下三种情况讨论:当 a1<﹣c﹣4 时, 当﹣c﹣4≤a1<﹣c 时,当 a1≥﹣c 时.即可得出 a1 的取值范围. 解答: 解: (1)a2=f(a1)=f(﹣c﹣2)=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2, a3=f(a2)=f(2)=2|2+c+4|﹣|2+c|=2(6+c)﹣(c+2)=10+c.

(2)由已知可得 f(x)=

当 an≥﹣c 时,an+1﹣an=c+8>c; 当﹣c﹣4≤an<﹣c 时,an+1﹣an=2an+3c+8≥2(﹣c﹣4)+3c+8=c; 当 an<﹣c﹣4 时,an+1﹣an=﹣2an﹣c﹣8>﹣2(﹣c﹣4)﹣c﹣8=c. * ∴ 对任意 n∈N ,an+1﹣an≥c; (3)由(2)及 c>0,得 an+1≥an,即{an}为无穷递增数列. 又{an}为等差数列,所以存在正数 M,当 n>M 时,an≥﹣c,从而 an+1=f(an)=an+c+8,由于{an}为等 差数列, 因此公差 d=c+8. ① 当 a1<﹣c﹣4 时,则 a2=f(a1)=﹣a1﹣c﹣8, 又 a2=a1+d=a1+c+8,故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8,即 a1=﹣c﹣8,从而 a2=0, 当 n≥2 时,由于{an}为递增数列,故 an≥a2=0>﹣c,
16

∴ an+1=f(an)=an+c+8,而 a2=a1+c+8,故当 a1=﹣c﹣8 时,{an}为无穷等差数列,符合要求; ② 若﹣c﹣4≤a1<﹣c,则 a2=f(a1)=3a1+3c+8,又 a2=a1+d=a1+c+8,∴ 3a1+3c+8=a1+c+8,得 a1=﹣c,应 舍去; ③ 若 a1≥﹣c,则由 an≥a1 得到 an+1=f(an)=an+c+8,从而{an}为无穷等差数列,符合要求. 综上可知:a1 的取值范围为{﹣c﹣8}∪ [﹣c,+∞) . 点评: 本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法,考查了 推理能力和计算能力. 20. (2013?山东)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn 且 (λ 为常数) .令 cn=b2n(n∈N )求数列{cn}的前 n 项和 Rn.


考点: 等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出等差数列的首项和公差,由已知条件列关于首项和公差的方程组,解出首项和公差后可得数 列{an}的通项公式;
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(2)把{an}的通项公式代入

,求出当 n≥2 时的通项公式,然后由 cn=b2n 得数列{cn}的通

项公式,最后利用错位相减法求其前 n 项和. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 a2n=2an+1,取 n=1,得 a2=2a1+1,即 a1﹣d+1=0① 再由 S4=4S2,得 联立① 、② 得 a1=1,d=2. 所以 an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)把 an=2n﹣1 代入 所以 b1=T1=λ﹣1, 当 n≥2 时, = . ,得 ,则 . ,即 d=2a1②

所以





Rn=c1+c2+…+cn=





③ ﹣④ 得:

=

所以



17

所以数列{cn}的前 n 项和



点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了数列的求和,训练了错位相减法,考查了学生的计算能力,属 中档题.

21. (2012?陕西)已知等比数列{an}的公比为 q=﹣ . (1)若 a3= ,求数列{an}的前 n 项和;

(Ⅱ )证明:对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 考点: 等比数列的前 n 项和;等差关系的确定. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 2 (1)由 a3= =a1q ,以及 q=﹣ 可得 a1=1,代入等比数列的前 n 项和公式,运算求得结果.
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(Ⅱ )对任意 k∈N+,化简 2ak+2﹣(ak +ak+1)为 +ak+1)=0,故 ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 解答: 解: (1)由 a3= =a1q ,以及 q=﹣ 可得 a1=1.
2

(2q ﹣q﹣1) ,把 q=﹣ 代入可得 2ak+2﹣(ak

2

∴ 数列{an}的前 n 项和 sn=

=

=



(Ⅱ )证明:对任意 k∈N+,2ak+2﹣(ak +ak+1)=2a1 q
2

k+1





=

(2q ﹣q﹣1) .

2

把 q=﹣ 代入可得 2q ﹣q﹣1=0,故 2ak+2﹣(ak +ak+1)=0,故 ak,ak+2,ak+1 成等差数列. 点评: 本题主要考查等差关系的确定,等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式的应用,属于中档题.

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