2013届高中数学第一轮总复习 第4章第27讲三角函数的图象与性质(二)课件 文_图文

三角函数图象的变换
【例1】 1 ? 5 已知函数y= sin(2x+ )+ ,x ? R. 2 6 4 ?1? 求它的振幅、周期、初相;

? 2 ? 用"五点法"作出它的简图; ? 3? 该函数的图象可由y=sinx( x ? R )的
图象经过怎样的变换得到?

1 ? 5 1 【解析】1? y= sin(2x+ )+ 的振幅为A= , ? 2 6 4 2 2? ? 周期为T= =?,初相为?= . 2 6

? 2 ? 令x1=2x+

?
6



1 ? 5 1 5 则y= sin(2x+ )+ = sinx1+ . 2 6 4 2 4 列出下表,并描出图象,如图.

x -π/12 π/6 x1=2x+ π/2 0 π/6 0 1 y=sinx1 y=1/2sinx1 5/4 7/4 +5/4

5π/12 π 0

3π/2 3π/2 -1

11π/12 2π 0

5/4

3/4

5/4

? 3? 方法1:将函数的图象依次作如下变换:
函数y=sinx的图象 ??????? ? 函数y=sin( x+ )的图象 ??????????? ? 6 函数y=sin(2x+ )的图象 ??????????? ? 6 5 向上平移 个单位长度 1 ? 4 函数y= sin(2x+ )的图象 ??????? ? 2 6 1 ? 5 函数y= sin(2x+ ) ? 的图象. 2 6 4
向左平移 个单位长度 6

?

?

1 各点的横坐标变为原来的 ( 纵坐标不变 ) 2

?

1 各点的纵坐标变为原来的 ( 横坐标不变 ) 2

方法2: 函数y=sinx的图象 ??????????? ? 函数y=sin(2x)的图象 ??????? ?
12 向左平移 1 各点的横坐标变为原来的 ( 纵坐标不变 ) 2

?

个单位长度

函数y=sin(2x ?

?
6

)的图象 ??????? ?

5 向上平移 个单位长度 2

5 函数y=sin(2x ? )+ 的图象 6 2 ??????????? ? 5 函数y=sin (2x ? )+ 的图象 6 4
1 各点的纵坐标变为原来的 ( 横坐标不变 ) 2

?

?

已知函数y=Asin(ωx+φ)的解析式画 图,要注意定义域以及利用一些简单的性 质,基本初等函数的图象是基础.基本方 法有:(1)五点法;(2)变换法.有关变换法 需注意两点:①周期变换、相位变换、振 幅变换可按任意次序进行;②在不同的变 换次序下平移变换的量可能不同.在方法1 中图象向左平移π/6个单位长度,而在方法 2中图象向左平移π/12个单位长度.

【变式练习1】 给出下列八种图象的变换方法: ①将图象上的所有点的横坐标变为原来的 1/2(纵坐标不变); ②将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍 (纵坐标不变); ③将图象向上平移1个单位长度; ④将图象向下平移1个单位长度; ⑤将图象向左平移π/3个单位长度;

⑥将图象向右平移π/3个单位长度; ⑦将图象向左平移2π/3个单位长度; ⑧将图象向右平移2π/3个单位长度. 请用上述变换中的三种变换,将函数y=sinx 的图象变成y=sin(x/2+π/3)-1的图象,那 么这三种变换正确的标号是 ②─④─⑦(或④─②─⑦;②─⑦─④;⑤─ ______________________________________ ②─④;⑤─④─②;④─⑤─②) ______________________________________ (要求按变换先后顺序填上你认为正确的标 号即可).

求三角函数的解析式
【例2】 如图为函数y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0) 的图象的一段,求其解 析式.

【解析】方法1: (五点法--平衡点法) 5? ? T 由图可知,其振幅为A= 3.由于 - = , 6 3 2 5? ? 2? 所以周期为T=2( - )=?,所以?= =2. 6 3 T 此时解析式为y= 3sin(2x+? ). 以点( , 为"五点法 "作图的第一个零点, 0) 3 ? 2? 则有2 +?=0,故?=- . 3 3 2? 所以所求函数的解析式为y= 3sin(2x- ). 3

?

方法2: (五点法 ? ?最值点法) 以上同方法1,此时解析式为y= 3 sin(2 x+? ). 7? 以点( ,3)为"五点法 "作图的第二个点, 12 7? ? 2? 则有2 +?= ,故?=- . 12 2 3 2? 所以所求函数的解析式为y= 3 sin(2 x- ). 3

方法3: (变换法) 以上同方法1,此时解析式为y= 3 sin(2 x+? ). 由图象可知所求函数图象是由函数y= 3 sin 2 x的图象向右平移 个单位长度而得到的. 3 所以所求函数的解析式为 2? y= 3 sin(2 x+ )= 3 sin( 2 x ? ). 3 3

?

?

本题由图象观察出最值与周期,就可求出A 与ω,再由图象过某点,运用待定系数法求出φ. 其中找最高点或最低点比较简便. 已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式, 一般情况下,A与ω易分别根据振幅与周期求出, 难 点 在 于 求 φ. 求 A 、 ω 、 φ 的 本 质 是 待 定 系 数 法.基本方法有:(1)五点法,包括平衡点法与最 值点法.在运用平衡点法时,要特别注意分清是 第几个平衡点.(2)变换法,即通过弄清已知图象 是由哪个图象变换得到而求出待定系数.

【变式练习2】 将函数y=sin? x ?? ? 0 ?的图象沿x轴向左 平移 个单位长度,平移后的图象如右 6 图所示.则平移后的图象所对应的函数 解析式是  __________________

?

【解析】将函数y=sin? x ?? ? 0 ?的图象沿x轴向左 平移

?

个单位长度得到y=sin? ( x+ ), 6 6

?

即y=sin(? x+

??
6

)的图象.

将点( , 代入y=sin(? x+ 0) ),得sin( ?+ ) 3 6 3 6 =0,所以 ?=2k? +? ( k ? Z),?=4k+2( k ? Z). 2 ? 2? ? 由图知T ? , 即 ? ,所以? ? 6. 3 ? 3 又? ? 0,所以?=2.故y=sin(2x+ ). 3

?

??

?

??

?

?

三角函数图象的 综合应用
【例3】 2 的图象与y轴交于点(0,3),且在该点处切线 的斜率为-2. 如图,函数y=2cos(? x+? )( x ? R,0 ? ? ?

?

)

?1? 求? 和?的值; ? 2 ?已知点A(
?
2 ,,点P是该函数图象上一点, 0)

3 点Q ( x0,y0 )是线段PA的中点.当y0= , 2 x0 ? [ ,? ]时,求x0的值. 2

?

3 【解析】1?当x=0时,由y= 3,得cos?= . ? 2 ,所以?= . 2 6 因为y? |x=0 =-2?sin(? x+? ) |x=0 =-2, 且?= , 6 所以?=2,所以y=2cos(2x+ ). 6 又0 ? ? ?

?

?

?

?

? 2 ?因为A(

?
2

,0),Q( x0,y0 )是线段PA的中点,

3 ? 且y0= , 所以P (2x0- ,3). 2 2 又点P在y=2cos(2x+ )的图象上, 6 5? 3 所以cos(4x0- )= . 6 2 ? 7? 5? 19 因为 ? x0 ? ?,所以 ? 4x0- ? ?, 2 6 6 6 5? 11? 5? 13? 从而4x0- = 或4x0- ? , 6 6 6 6 2? 3? 即x0= 或 . 3 4

?

本题利用点在函数的图象 上,求出θ的值,然后利用图象 的几何意义,求出x0的值.

【变式练习3】 设函数f ? x ?=sin(2x+? )(-? ? ? ? 0), y=f ? x ?的图象的一条对称轴是直线x= . 8 ?1? 求?的值;

?

? 2 ? 求函数y=f ? x ?的单调递增区间; ? 3? 证明:直线5x-2y+c=0与函数y=f ? x ?
的图象不相切.

【解析】1?因为直线x= 是函数y=f ? x ? ? 8 的图象的一条对称轴, 所以sin(2 ? +? )= ? 1, 8 所以 +?=k?+ (k ? Z). 4 2

?

?

?

?

3? 因为-? ? ? ? 0,所以?=- . 4

3? 3? ? 2 ?由?1? 知?=- ,因此y=sin(2x- ). 4 4 ? 3? ? 由题意,k?- ? 2x- ? 2k?+ (k ? Z), 2 2 4 2 ? 5? 所以k?+ ? x ? k?+ (k ? Z). 8 8 3? 所以函数y=sin(2x- )的单调递增区间为 4 ? 5? [k?+ ,k?+ ](k ? Z). 8 8

3? ? 3? 证明:因为 | y? | = | 2cos(2x- ) |? 2, 4 所以曲线y=f ? x ?的切线的斜率的取值范围 为[-2, 2]. 5 5 又直线5x-2y+c=0的斜率为 ,而 ? 2, 2 2 3? 所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x- ) 4 的图象不相切.

1.函数y=2sin( x+ ),若对任意x ? R, 2 5 都有f ? x1 ? ? f ? x ? ? f ? x2 ? 成立,则 | x1- 2 x2 | 的最小值为_______________   2.已知f ? x ?=sin( x+ ),g ? x ?=cos( x- 2

?

?

?

?

2 ? 向左平移 个单位长度 __________________________得到. 2

),则f ? x ?的图象可由g ? x ?的图象

3.若动直线x=a与函数f ? x ?=sinx和g ? x ?= cosx的图象分别交于M 、N 两点,则 MN

2 的最大值为______________
【解析】因为 MN = | sina-cosa | = | 2sin(a- ) | , 4 所以 MN 的最大值为 2.

?

4.将函数f ? x ?的图象上每一点的横坐标变 为原来的2倍,再向左平移 个单位长度, 2 1 所得到的曲线是y= sinx的图象,试求函 2 数y=f ? x ?的解析式.

?

1 【解析】问题即是将y= sinx的图象先 2 ? 1 向右平移 个单位长度,得到y= sin 2 2 ( x- )的图象;再将所得图象上各点 2 1 1 的横坐标变为原来的 ,得y= sin(2x 2 2 ? 1 - ),即y=- cos2x的图象,这就是 2 2 所求函数f ? x ?的解析式.

?

2 为奇函数,且其图象上相邻的一个最高点和 最低点之间的距离为2 10.

  5.已知函数f ? x ?=sin(? x+? )(? ? 0, ? ?

?

)

?1? 求函数f ? x ?的解析式; ? 2 ? 求f ?1?+f ? 2 ?+f ? 3?+?+f ?102 ?的值.

【解析】1?因为f ? x ? 为奇函数,所以sin(-? x+? ) ? =-sin(? x+? ),即2cos? xsin?=0对x ? R恒成立, 2 因为f ? x ?的图象上相邻的一个最高点和最低 点之间的距离为2 10, T 设f ? x ?的最小正周期为T,则 = 40 ? 4=6, 2 所以T=12,故?= . 6 因此,函数解析式为f ? x ?=sin 所以sin?=0.又 ? ?

?

,所以?=0.

?

?
6

x.

? 2 ?因为函数f ? x ?的周期为12,且 f ?1?+f ? 2 ?+?+f ?12 ?=0,
又102=8 ? 12+6, 所以f ?1?+f ? 2 ?+f ? 3?+?+f ?102 ? =f ?1?+f ? 2 ?+f ? 3?+f ? 4 ?+f ? 5 ?+f ? 6 ? =2+ 3.

1.三角函数图象的变换规律和方法 由y=sinx→y=sin(x+φ),此步骤只是平 移(φ>0,向左平移φ个单位长度;φ<0,向右 平 移 - φ 个 单 位 长 度 ) , 而 由 y = sinx→y = sin(ωx+φ)可有两条思路: ①y=sinx→y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ); ②y=sinx→y=sinωx→y=sin(ωx+φ).

注意区分它们之间的异同.但无论哪一 条路径,切记每一次变换都是对x而言的.如 y=sin2x的图象向右平移 个单位长度,得到 6 的应是y=sin2( x- )的图象,而不是y=sin(2x 6 - )的图象;又y=sin( x+ )的图象上各点的 6 6 x 横坐标变为原来的2倍,得到的应是y=sin( ? 2 ? 1 ? )的图象,而不是y=sin ( x+ )的图象. 6 2 6

?

?

?

?

2.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的简 图,主要还是先找出对确定曲线形状起关键作用 的五个点.这五个点应该是使函数取得最大值、 最小值的点以及曲线与x轴相交的点.找出它们 的方法是换元法,即设X=ωx+φ,由X取0、 π /2、π、 3π /2 、2π来确定对应x的值.图象变化 的目的,在于揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与 正弦曲线的关系,而不是要求按图象变化规律来 画图,这样可以借助函数y=sinx的性质研究函数 y=Asin(ωx+φ)的性质.


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