江苏省扬州中学2012-2013学年高一下学期期末调研测试 数学 Word版(附答案)

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2012—2013 学年度第二学期高一数学期末试卷
2013.6 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. 求值 sin 75 ?
0





2. 已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 与 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a 2 ? 1 ? 0 平行,则实数 a 的取值是 ▲ . 3. 在 ?ABC 中,若 b ? c ? a ? bc ,则 A ?
2 2 2

▲ ▲

. . ▲ .

4. 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 在两坐标轴上的截距之和为

5. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于 6. 若 x ? y ? 1 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为 7. 若数列 {an } 满足 a1 ? 1, ▲ . ▲

an ?1 n ,则 a8 ? ? an n ?1



?x ? y ? 2 ? 0 y ? 8. 若实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?
( 9. 若 sin





?

1 +?) = ,则 sin 2? ? 4 3

▲ .
2 2

10. 光线从 A(1,0)出发经 y 轴反射后到达圆 x ? y ? 6x ? 6 y ? 17 ? 0 所走过的最短路程 为 ▲ .

11. 函数 y ? 2sin x ? sin(

?
3

? x) 的最小值是





12. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,给出下列结论: ①若 A ? B ? C ,则 sin A ? sin B ? sin C ; ②若

sin A cos B cos C ? ? ,则 ?ABC 为等边三角形; a b c

③必存在 A, B, C ,使 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C 成立;
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④若 a ? 40, b ? 20, B ? 25? ,则 ?ABC 必有两解. 其中,结论正确的编号为 ▲ (写出所有正确结论的编号) .

13. 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,M 是直线 l : x ? 3 上的动点, 过点 F (1, 0) 作 OM 的 垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于点 P(m, n) .则 m, n 满足的关系式为 14. 已知等比数列 {an } 中 a1 ? 1 , a4 ? 8 ,在 an 与 an ?1 两项之间依次插入 2 ▲
n ?1



个正整数,得

到数列 {bn } , 即:a1 ,1, a2 , 2,3, a3 , 4,5,6,7, a4 ,8,9,10,11,12,13,14,15, a5 , ??? . 则数列 {bn } 的前 2013 项之和 S2013 ? ▲ (用数字作答).

二、解答题(本大题共 6 题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 已知二次函数 y ? f ( x) 图像的顶点是(—1,3) ,又 f (0) ? 4 ,一次函数 y ? g ( x) 的图 像过(—2,0)和(0,2) 。 (1)求函数 y ? f ( x) 和函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)求关于 x 的不等式 f ( x) ? 3g ( x) 的解集;

16. (本题满分 14 分) 已知 cos ? ? ? ,sin(? ? ? ) ? (1)求 cos 2 ? 的值; (2)求 sin ? 的值.

1 3

7 ? ? , ? ? (0, ), ? ? ( , ? ) . 9 2 2

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17. (本题满分 15 分) 若等比数列 {an } 的前 n 项和 S n ? a ? (1)求实数 a 的值; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Rn . 18. (本题满分 15 分) 如图,某海域内的岛屿上有一直立信号塔 AB ,设 AB 延长线与海平面交于点 O.测量船在点 O 的正东方向点 C 处,测得塔顶 A 的仰角为 30 ? ,然后 测量船沿 CO 方向航行至 D 处, 当 CD ? 100( 3 ?1) 米 时,测得塔顶 A 的仰角为 45? . (1)求信号塔顶 A 到海平面的距离 AO ; (2)已知 AB ? 52 米,测量船在沿

1 . 2n

A

B O
D

CO 方向航行的过程中,设 DO ? x ,则当 x 为何值时,
使得在点 D 处观测信号塔 AB 的视角 ? ADB 最大.

C

19. (本题满分 16 分) 已知圆 O : x ? y ? r (r ? 0) 与直线 x ? y ? 2 2 ? 0 相切.
2 2 2

y B x O C

(1)求圆 O 的方程; (2)过点 (1,

3 ) 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 , 3

求直线 l 的方程;

A

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(3)设圆 O 与 x 轴的负半轴的交点为 A ,过点 A 作两条斜率 分别为 k1 , k 2 的直线交圆 O 于 B, C 两点,且 k1k2 ? ?2 , 试证明直线 BC 恒过一个定点,并求出该定点坐标.

20. (本题满分 16 分)

? a ?1 ? 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N 都有 Sn ? ? n ? 成立. ? 2 ?
*

2

(1)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (2)记数列 bn ? an ? ?, n ? N * , ? ? R ,其前 n 项和为 Tn . ①若数列 {Tn } 的最小值为 T6 ,求实数 ? 的取值范围; ②若数列 {bn } 中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是 “封闭数列” . 试 问 : 是 否 存 在 这 样 的 “ 封 闭 数 列 ” {bn } , 使 得 对 任 意 n ? N , 都 有 Tn ? 0 , 且
*

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? .若存在,求实数 ? 的所有取值;若不存在,请说明理 12 T1 T2 T3 T 18 n
由.

高一数学期末试卷参考答案
一、填空题 1.

2013.6

6? 2 4

2.-1

3.

? 3
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4. ?

1 2

5. 2

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6.

1 2

7.

1 8

8.

3 2
2 2

9. ?

7 9

10. 4

11. ? 3 二、解答题

12. ①④

13. m ? n ? 3

14. 2007050

15.解: (Ⅰ)设 f ( x) ? a( x ? 1)2 ? 3 ,∵ f (0) ? 4 ,解得 a ? 1 ∴函数解析式为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 , 又 ????????????? 4 分 ??????????????? 8 分

x y ? ? 1,∴ g ( x) ? x ? 2 ?2 2
2

(Ⅱ)由 f ( x) ? 3g ( x) 得 x ? x ? 2 ? 0

? x ? 2 或 x ? ?1

???? 13 分

∴不等式 f ( x) ? 3g ( x) 的解集为 x x ? 2或x ? ?1 16⑴由条件 cos ? ? ? , ? ? ( ⑵因为 cos ? ? ? , ? ? ( 因为 ? ? (0,

?

?

??????????? 14 分 ???6 分

1 3

?

7 , ? ) 得 cos 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? ; 2 9

1 3

?
2

, ? ) ,所以 sin ? ?

2 2 , 3

???8 分 ???9 分

?

? ? 3? ), ? ? ( , ? ) ,所以 ? ? ? ? ( , ) , 2 2 2 2
7 4 2 ,所以 cos(? ? ? ) ? ? , 9 9

又 sin(? ? ? ) ?

???11 分

所以 sin ? ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? 17⑴当 n=1 时, a1 ? S1 ? a ?

1 .??14 分 3
???2 分

1 2 1 1 1 ) ? (a ? n ?1 ) ? n n 2 2 2

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (a ? 则 a1 ?

???5 分 ???7 分

1 1 ? a ? ? a ?1; 2 2 n 1 2 3 n ⑵ n ? an ? n ,则 Rn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n 2 2 2 2 2 2 3 n 2 Rn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 2 2 2 n?2 ②-①得: Rn ? 2 ? n . 2
?

① ②

???10 分 ???11 分 ???15 分
?

18⑴由题意知,在 ?ACD 中, ?ACD ? 30 , ?DAC ? 15 , 所以

???2 分

CD AD ? ,得 AD ? 100 2 , ? sin15 sin 30?

?5 分

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?

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在直角 ?AOD 中, ?ADO ? 45 ,所以 AO ? 100 (米) ; ???7 分 ⑵设 ?ADO ? ? , ?BDO ? ? ,由⑴知, BO ? 48 米, 则 tan ? ?

100 48 , tan ? ? , x x

???9 分

100 48 ? tan ? ? tan ? x x ? 52 x ,??11 分 tan ?ADB ? tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 100 ? 48 x 2 ? 4800 x x
所以 tan ?ADB ?

52 52 13 3 , ? ? 4800 60 4800 x? 2 x? x x

???13 分

当且仅当 x ?

4800 即 x ? 40 3 亦即 DO ? 40 3 时, x
???14 分 ???15 分

tan ?ADB 取得最大值,
此时点 D 处观测信号塔 AB 的视角 ? ADB 最大.

19⑴由题意知, d ?

2 2 1 ? ( ?1)
2 2

? 2 ? r ,所以圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ; ???4 分

⑵若直线 l 的斜率不存在,直线 l 为 x ? 1 ,此时直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,符合题 意, ???5 分

若直线 l 的斜率存在,设直线为 y ?

3 ? k ( x ? 1) ,即 3kx ? 3 y ? 3 ? 3k ? 0 , 3

由题意知,圆心到直线的距离为 d ? 则直线 l 为 x ? 3 y ? 2 ? 0 .

| 3 ? 3k | 9k ? 9
2

? 1 ,所以 k ? ?

3 , 3
???7 分 ???8 分

所以所求的直线为 x ? 1 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 . ⑶由题意知, A(?2, 0) ,设直线 AB : y ? k1 ( x ? 2) ,

? y ? k1 ( x ? 2) 4k12 ? 4 2 2 2 2 则? 2 ,得 (1 ? k1 ) x ? 4k1 x ? (4k1 ? 4) ? 0 ,所以 xA ? xB ? , 2 1 ? k12 ? x ? y ? 4???
所以 xB ?

4k1 2 ? 2k12 2 ? 2k12 4k1 , ,即 y ? B ( , ) B 1 ? k12 1 ? k12 1 ? k12 1 ? k12
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???11 分

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?2 2k12 ? 8 ?8k1 因为 k1k2 ? ?2 ,用 代替 k1 ,得 C ( , ), k1 4 ? k12 4 ? k12
4k1 ?8k1 ? 2 ?8k1 1 ? k1 4 ? k12 2k12 ? 8 ? ( x ? ) 所以直线 BC 为 y ? 4 ? k12 2 ? 2k12 2k12 ? 8 4 ? k12 ? 1 ? k12 4 ? k12

???12 分

???14 分

3k1 2k1 3k1 2 ?8k1 3k1 2k12 ? 8 即 y? x? ? (x ? ) , ? (x ? ) ,得 y ? 2 2 2 2 2 2 2 ? k1 2 ? k1 2 ? k1 3 4 ? k1 2 ? k1 4 ? k1
所以直线 BC 恒过定点 (?
2

2 , 0) . 3

???16 分

? a ?1 ? 2 2 20⑴法一:由 Sn ? ? n ? 得: 4Sn ? an ? 2an ?1 ①, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ? 1 ②, ? 2 ?
②-①得

4an?1 ? an?12 ? an2 ? 2an?1 ? 2an ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an )(an?1 ? an )
由题知 an?1 ? an ? 0 得 an?1 ? an ? 2 , 又 S1 ? a1 ? ( 得 a1 ? 1
2

???2 分

a1 ? 1 2 ) ? 4a1 ? a12 ? 2a1 ? 1 2

an ? 2n ?1

Sn ? n2 ;

???4 分

法二:由 Sn ? ?

a1 ? 1 2 ? an ? 1 ? ? 得: S1 ? a1 ? ( 2 ) 得 a1 ? 1 ? S1 ? 2 ?

2 n ? 2 时 2 Sn ? an ? 1 ? Sn ? Sn?1 ? 1 得 ( Sn -1) ? Sn?1 即

Sn ? Sn?1 ? 1

所以

Sn ? n

? Sn ? n 2 ;

???4 分

⑵①由 bn ? 2n ?1 ? ?

?Tn ? n2 ? ?n 最小值为 T6 即
11 ? 13 ? ? ? ? ? ? [?13, ?11] ;???8 分 2 2 2
*

Tn ? T6 ? n2 ? ?n ? T6 ? 36 ? 6? 则

②因为 {bn } 是“封闭数列” ,设 bp ? bq ? bm ( p, q, m ? Z ,且任意两个不相等 )得

2 p ? 1 ?? ? 2 q ?1 ? ?
*

?2 m

? 1 ??

? ?

? 2 m(

? 为奇数??9 分 p? q ? ) 1 ? ,则

由任意 n ? N ,都有 Tn ? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? 12 T1 T2 T3 Tn 18

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1 1 11 7 ? ? ? ? ? ? 11 ,即 ? 的可能值为 1,3,5,7,9, 12 T1 18 11
1 1 1 1 ?( ? ) n( n ? ? ) n n?? ?

???11 分

又 Tn ? n2 ? ?n >0, 因为

???12 分 ???15 分

检验得满足条件的 ? =3,5,7,9, 即存在这样的“封闭数列” {bn } ,使得对任意 n ? N * ,都有 Tn ? 0 , 且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? , 12 T1 T2 T3 Tn 18
???16 分

所以实数 ? 的所有取值集合为 {3,5,7,9} .

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