3.2.2直线的两点式方程(公开课)

1、理解直线方程的两点式、截距
式的形式特点和适用范围; 2、能正确利用直线的两点式、截

距式公式求直线方程。

y2 ? y1 k ? tan? (? ? 90 ) ? ( x2 ? x1 ) x2 ? x1
0

方程名称
点斜式 斜截式

已知条件

直线方程

应用范围
K存在

P( x0 , y0 )及k y ? y0 ? k ?x ? x0 ?
k,b

y ? kx ? b

K存在

两点确定一条直线!那么经过两个定点的直线的方程
能否用“公式”直接写出来呢?

思考1

已知直线l过A(3,-5)和B(-2,5),如何求直

线l的方程. 解:∵直线l过点A(3,-5)和B(-2,5)

5 ? ? ?5 ? ? kl ? ? ?2 ?2 ? 3
将A(3,-5),k=-2代入点斜式,得 y-(-5) =-2 ( x-3 ).

思考2 设直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(其中
x1≠x2,y1≠y2),你能写出直线l的点斜式方程吗?
当x1 ? x2时,k ? y2 ? y1 x2 ? x1

取P 1 ( x1 , y1 ), 代入点斜式方程得, y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1

y1 ? y2时,化成比例式:

y ? y1 x ? x1 ? . y2 ? y1 x2 ? x1

直线的两点式方程 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其中x1≠x2, y1≠y2 )的直线方程叫做直线的两点式方程,简称两点式.

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.

特别地

当x1=x2时,直线l的方程是 x=x1;
当y1=y2时,直线l的方程是 y=y1 .

练习1.求经过下列两点的直线方程:

(1) P , 1), P , ? 3);(2) A(0, 5), B(5,0). 1 (2 2 (0
y ?1 x ? 2 y ?5 x 解:() 1 ? ( ; 2) ? . 4 2 ?5 5

例1

三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边

所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.

y

. A

.
C

解:过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为:

O

.M

.

x B 这就是BC边所在直线的方程.

y ?2 x?0 ? ?3 ? 2 3 ? 0 整理得, 5 x ? 3 y ? 6 ? 0.

中点坐标公式
以P ( 1 x1,y1 ), P 2 ( x2 , y2 )为端点的 x1 ? x2 y1 ? y2 线段的中点坐标为( , ). 2 2

设BC的中点为M ,则M 的坐标为(

3 ? 0 ?3 ? 2 3 1 , ),即( , ? ) . 2 2 2 2

3 1 y ?0 x?5 过A( ?5, 0), M ( , ? )的直线方程为 ? , 1 3 2 2 ? ?0 ?5 2 2 整理得x ? 13 y ? 5 ? 0. 这就是BC边上的中线所在的直线的方程.

思考3.

已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为

B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
将A(a,0),B(0,b)代入两点式得: y l B(0,b) A(a,0) O x

y?0 x?a ? b?0 0?a

x y 即 ? ? 1. a b

直线的截距式方程

直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线
方程的截距式方程.

x y ? ? 1. a b
在x轴上 的截距 在y轴上 的截距

截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.

练习2.求下列直线的方程:
(1)在X轴上的截距是2,在Y轴上的截距是3;

(2)在X轴上的截距是-5,在Y轴上的截距是6;

练习3.根据下列条件,求直线的方程: (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2; (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2.
x y 解: (1)由b ? 5, 知a ? ?3,故直线方程为 ? ? 1; ?3 5 (2)由a ? 5, 知b ? 3或b ? 7, x y x y 故直线方程为 ? ? 1, 或 ? ? 1. 5 3 5 7

例3

求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相等的

直线方程.
分析:截距均为0时,设方程为y=kx, y

截距不为0,设截距式求解.

o

x

解:(1)当截距均为0时,设方程为y=kx,
4 把P(-5,4)代入上式得 k ? ? , 5 4 即直线方程为 y ? ? x. 5 x y (2)当截距均不为0时,设直线方程为 ? ? 1, a a

把P(-5,4)代入上式得 a ? ?1. 直线方程为 ? x ? y ? 1,

即 x ? y ? 1 ? 0.
4 综上直线方程为 y ? ? x 或 5

x ? y ? 1 ? 0.

方程名称

已知条件

直线方程

应用范围 K存在 K存在
不能垂直于x轴

点斜式 P( x0 , y0 )及k y ? y0 ? k ?x ? x0 ?
斜截式 两点式 截距式

k,b
P 1 ( x1 , y1 )
P2 ( x2 , y2 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x.y轴截距

x y ? ?1 a b

和 y轴 不能垂直于x轴和
y轴,不能过原点

作业:
? ?

?
?

P100 1 (4)(5)(6) 4 9


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