高中数学高考高三理科一轮复习资料 选修4-4-1 坐标系_图文

高中数学 选修4-4-1 坐标系 考纲点击 1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况. 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐 标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别, 能进行极坐标 和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在 极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角 坐标系中的方程. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 1.极坐标的概念 (1)极坐标系: 如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做①______,从 O 点引一条射线 Ox,叫做②______,选定一个单位长度和角及 其正方向(通常取逆时针方向),这样应确定了一个平面极坐标 系,简称为③__________. (2)极坐标: 对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示 以 Ox 为始边、OM 为终边的角度,ρ 叫做点 M 的④______,θ 叫做点 M 的⑤______,有序实数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标, 记作 M(ρ,θ). 当点 M 在极点时,它的极径⑥____ ,极角 θ 可以取⑦ ______. (3)点与极坐标的关系: 平面内一点的极坐标可以有无数对,当 k∈Z 时,(ρ,θ), (ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示⑧________,而用平面 直角坐标表示点时,每一个点的坐标是唯一的. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,或者-π<θ≤π,那么,除极点 外,平面内的点和极坐标就一一对应了. 2.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x 轴的 正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的 单位长度,如图所示. (2)互化公式: 设 M 是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是(x, y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),于是极坐标与直角坐标的互 化公式如表: 点M 直角坐标(x,y) 极坐标(ρ,θ) ρ2=? ______________ tanθ=? ______________ 互化公式 ? ?x=⑨ ? ? ?y=⑩ 在一般情况下,由 tanθ 确定角时,可根据点 M 所在的象限取最 小正角. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 圆心在极点, 半 径为 r 的圆 圆心为(r,0),半 径为 r 的圆 ? π? 圆心为?r,2?, ? ? 半径为 r 的圆 极坐标方程 ?__________________ ?__________________ ?__________________ 续表 答案:①极点 ②极轴 ③极坐标系 ④极径 ⑤极角 ⑥ρ=0 ⑦任意值 ⑧同一个点 ⑨ρcosθ ⑩ρsinθ ? x2+y2 ? π π? y ? x (x≠0) ? ρ = r(0≤θ < 2π) ? ρ = 2rcosθ ?-2≤θ<2? ? ? ?ρ=2rsinθ(0≤θ<π) ?ρcosθ=a ?ρsinθ=a(0<θ<π) ?ρsin(α-θ)=asinα 考点自测 1.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ =-1 的交点的坐标为__________. ? ?x=ρcosθ, 解析: 由极坐标方程与普通方程的互化式 ? ? ?y=ρsinθ 知,这两条曲线的普通方程分别为 x2+y2=2y,x=-1.解得 ? ? ? ?x=-1, ?x=ρcosθ, 3π? ? 由? 得点(-1,1)的极坐标为? 2, 4 ?. ? ? ? ? ?y=1. ?y=ρsinθ ? 3π? 答案:? 2, 4 ? ? ? 2.在极坐标系中,已知两点 PQ 的长度为__________. ? ? 5π? π? P?5, 4 ?,Q?1,4?,则线段 ? ? ? ? π 解析:P,Q 在过极点且与极轴成4角的直线上,它们位于 极点的两侧,因此 PQ=5+1=6. 答案:6 3 . 直 角 坐 标 方 程 x2 + y2 - 8y = 0 的 极 坐 标 方 程 为 __________. 解析:因为 x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以原方程可化为 ρ2 -8ρsinθ=0. 所以 ρ=0 或 ρ=8sinθ. 经检验,得所求的极坐标方程为 ρ=8sinθ. 答案:ρ=8sinθ 4.极坐标方程 __________. ? π? ρ = 6cos ?θ-3? 的 直 角 坐 标 方 程 为 ? ? π π 解析:原方程可化为 ρ=6cosθcos +6sinθsin , 3 3 方程两边同乘 ρ,得 ρ2=3ρcosθ+3 3ρsinθ, 由 ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y, 得所求的直角坐标方程为 x2+y2-3x-3 3y=0. 答案:x2+y2-3x-3 3y=0 5 . 在 极 坐 标 系 中 , 圆 ρ = 2cosθ 的 圆 心 的 极 坐 标 是 π __________,它与方程 θ=4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐 标是__________. π 解析:圆心的极坐标为(1,0),半径为 1,θ= 与圆的交点 4 ? π? 的极坐标为? 2,4?. ? ? ? π? 答案:(1,0),? 2,4? ? ? 说考点 拓展延伸串知识 疑点清源 1.极坐标系与直角坐标系在满足极点、极轴分别与原点、x 轴正半轴重合时,可用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 将直角坐标方程化 y 2 2 2 为极坐标方程;反之;利用 ρ =x +y ,tanθ=x(x≠0)可以将 直角坐标方程化为极坐标方程. 2.求解与极坐标有关的问题,应注意先化为直角坐标后 解决较为方便. 3.求解与极坐标有关的问题,主要有两种方法:一是直 接利用极坐标求解,求解时可与数形结合思想结合在一起应 用;二是转化为直角坐标后,用直角坐标求解,使用后一种时 应

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