人教高中数学:必修四 1.3 三角函数的诱导公式-课件.ppt(共29张PPT)_图文

一切立体图形中最美的是球形, 一切平面图形中最美的是圆形。
——— 毕达哥拉斯学派
圆是第一个最简单、最完美的图形。
—— 布龙克尔

一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么:

(1)正弦sinα= y

y P(x,y)

(2)余弦cosα= x

(3)正切tanα= y x

O

x

问题探究
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系? 终边关于x轴对称
3.角?-α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称
4.角?+α与α的终边 有何位置关系?
终边关于原点对称

终边相同的角的同一三角函数值相等
s? i? n 2 k ? ( )? s? i(k n ? Z )
? ? ? co ? 2 s k) ( ? co (k ? s Z )
(公式一)
? ? ? ta? n 2 k( )? ta(k n ? Z )

二、思考: 已知任意角?的终边与单位圆相交于点P?x,y?,
请同学们思考回答点 P关于原点、x轴、y轴对称
的三个点的坐标是什么?
点P?x,y?关于原点对称点 P1??x,?y? ,关于
x轴对称点 P3 ?x,? y? ,关于 y 轴对称点 P2??x, y?

探究1

形如 ???的三角函数值与 ? 的三角函数值之间
的关系

r ?1

sin?? y
? c o s? x
tan? ? y x
sin (???)??y co s(???)?? x
tan(???)??y?y
?x x

公式二

??? ?
s in (?? ?)? ? s in ? c o s (?? ?)? ? c o s ? ta n (?? ?)? ta n ?

探究2
我们再来研究角?与 ??的三角
函数值之间的关系

r ?1

公式三

? sin??y c o s? xta n ? ? y

x

sin(??)??y

cos(??)?x

?

tan(??)??y??y

xx

??

公式三

sin (? ?)?? sin ?

c o s(? ?)?c o s?

ta n (? ?)? ? ta n ?

探究3

sin(? ? ?) ? ?sin? cos(? ? ?) ? ?cos? tan(? ? ?) ? tan?

sin(??) ? ? sin? cos(??) ? cos ? tan (??) ? ?tan ?

由 上 面 两 组 公 式 的 推 导 方 法 , 你 能 同 理 推 导 出

角 ?? ?与 ?的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 吗 ?

r ?1

公式四

? sin??y c o s? xta n ? ? y

x

sin(???)?y

co s(?? ?)?? x
tan(???)? y ??y
?x x
公式四

??? ?

s in (?? ?)? s in ?

c o s (?? ?)? ? c o s ? ta n (?? ?)? ? ta n ?

公式一:
sin(? ? k ? 2?) ? sin? cos(? ? k ? 2?) ? cos ? tan( ? ? k ? 2?) ? tan ?
(k ? Z)
公式三:

公式二: sin(???) ? ?sin? cos?( ??) ? ?cos? tan(???) ? tan?
公式四:

sin(??) ? ? sin? cos(??) ? cos ? tan( ??) ? ? tan ?

s in(? ? ?) ? s in? cos (? ? ?) ? ?cos? tan(? ? ?) ? ?tan?

三.发现规律:
公式一、二、三、四,都叫做诱导公式.
2k???(k?z)、??、???的三角函数值,
等于?的同名三角函数值前面加上把 ?看作
锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变,符号看象限”

小结

1、通过例题,你能说说诱导公式的作用以及化任 意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路吗?

任意负角的 用公式 三角函数 三或一

锐角的三 角函数

用公式 二或四

任意正角的 三角函数
用公式一
0~2?的
三角函数

上述过程体现了由未知到已知的化归思想。

四.例题分析

例1.求下列三角函数值

(1)co2s2?5?co1s8?(?04?5)??co4s5 ?? ? 2

2

(2)sin11?
3

?sin(4?

??)
3

?

? sin

?
3

??

3 2

(3)sin?(16?)??
3

sin

16? 3

??si n5(?? ?) 3

?

?(?s in?) 3

?

3 2

(4)co?s2(0?4)?0co2s04?0?co5? s3(6 ?? 0 24 ?)0
?co2s4?0 ?co1s8 ?(?0 6?0 ) ??co6s0 ? ? ? 1
2

练习反馈

填写下表

? ? ? 2? 33

sin? ? 3 3

2

2

co?s

1 2

?1 2

4? 5? 7?

3

33

?3 ?3

3

2

22

?1

1

1

2

2

2

co1s8(0? 0?)?sin?? (360)0 例2 化简:sin??(?180)0?co?s1(80? 0?)

练习反馈

(1)已知: tan??3,求 2cos(???)?3sin(???)的值. 4cos(??)?sin(2???)

(2)已知cos( ? +? )= 3 ,

6

3

求cos( 5? -? )的值.
6

探索研究 已知任意角?的终边与单位圆相交于点P?x,y?,
请同学们思考回答点 P关于直线 y?x 对称的
点的坐标是什么?

y 1 P′(y,x)

公式五 :

-1

? P(x,y) 1

sin(π 2



)

?

cosα

,

0

x

cos(π 2



)

?

sinα

.

-1

公式 六 :

sin(π 2



)

?

cosα

,

π 2



的正弦(余弦)函数

值 , 分 别 等 于 α 的 余 弦( 正 弦 )

函 数 值 , 前 面 加 上 一 个把 α 看

cos(π 2



)

?

?sinα

.

成 锐 角 时 原 函 数 值 的 符号 。

总结:
1.公式五,六口诀: 函数名改变,符号看象限;

11
公式五 :

公式 七 :

sin(π 2



)

?

cosα

,

cos(π 2



)

?

sinα

.

sin(

3π 2



)

?

?cosα

,

cos(

3π 2



)

?

?sinα

.

公式 六 :

公式 八 :

sin(π 2



)

?

cosα

,

sin(

3π 2



)

?

?cosα

,

cos(π 2



)

?

?sinα

.

cos(

3π 2



)

?

sinα

.

.

诱导公式记忆 口诀:

奇变偶不变

符号看象限
? 注意: 看成锐角,原函数值的符号

例题与练习
例3 、证明:i( n3(21π?) α s?)?c o s α ; ( 2 ) c3o2π s?(α ?)?s i n α .

例题与练习

1 求下列三角函数值

2 (1)sin(-12000) (1) ? 3

(2)cos(47?/6)

2

(2) 3 2

2 求三角式sin(-12000)·cos(12900)+cos(-10200)· 3 sin(-10500)+tan9450
2

3 计算 cos(?/5)+ cos(2?/5)+

4 cos(3?/5)+ cos(4?/5)

0

例题与练习

练习1 已知sin(?/4+?)=1/2,则sin(3?/4-?)的

值是 1/2



2 已知cos (750+?)=1/3, 求cos(1050-?)+cos(2850-?) 0

例题与练习

1 已知角?的终边上的一点P(3a,4a) (a<0)

2 则cos(5400-?)的值是3/5



2 cos(?-8?/3)+cos(?+13?/3)= 0 .

例题与练习

例4 化简
sik s n ? i1 k [ )? ? n(? ? ? ? ()]??c co o k k ?? s s ? 1 ? )( [ ? )? (?](k? Z )

练习1 求sin(2n?+2?/3)·cos(n?+4?/3)的值(n?Z)

当n为奇数时,?

3 4

当n为偶数时,4 3

2 化简 cos[(4n+1)?/4+x]+ cos[(4n-1)?/4-x]

当n为奇数时,原式=-2cos(?/4+x) 当n为偶数时,原式=2cos(?/4+x)

小结

2、你能概括以下研究诱导公式的思想方法吗?

圆的对称性

角的终边 的对称性

对称点的 数量关系

角之间的 数量关系

诱导公式
“对称是美的基本形式”

作业
P27 第2题
P28 第7题


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