山西省忻州一中2013届高三第一次月考数学(理)试题

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忻州一中 2013 届高三第一次月考 数学(理)试题
注意事项: 1.满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2.交卷时只交试卷和机读卡,不交试题,答案写在试题上的无效。 一.选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用 2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | x 2 ? 2 x ? 0} , B
? { x | y ? lg ( x ? 1)} ,则 ( C U A ) ? B

等于

(A). { x | x ? 2 或 x ? 0} (B). { x | 1 ? x ? 2} (C). { x | 1 ? x ? 2} (D). { x | 1 ? x ? 2} 2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(-∞,0),当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)”的函数是 (A).f(x)=-x+1 (B) f(x)=2x (C). f(x)=x2-1 (D).f(x)=ln(-x)

3.下列命题中为真命题的是 (A).命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 (B).命题“x>1,则 x2>1”的否命题 (C).命题 “若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 (D).命题“若 x2>x,则 x>1”的逆否命题 4.命题“所有能被 2 整除的整数是偶数”的否定是 (A).所有不能被 2 整除的整数都是偶数 (B).所有能被 2 整除的整数都不是偶数 (C).存在一个不能被 2 整除的整数都是偶数 (D).存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 5.若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 ① ab ? 1; ② a ? b ?
2



③a2

?b ? 2
2

3 3 ; ④a ? b ? 3 ; ⑤1

?

1 b

? 2

a

所有正确命题是 (A). ①②③ (B). ①②④

(C). ①③⑤

(D). ③④⑤

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f?2x? 6.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是 lnx (A).(0,1) 7.函数 y ? a x ?
1 a

(B).[0,1)

(C).[0,1)∪(1,4]

(D).[0,1]

( a ? 0 , a ? 1) 的图象可能是

8.对于函数 f(x)=a sinx+bx+c(其中 a,b R,c Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1)所得出的正确结果一定不 . 可能是 .. (A).4 和 6 (B).1 和 2 (C).2 和 4 (D). 3 和 1

9.命题 p : ? x ? R , 使得 3 x ? x ;命题 q :若函数 y ? f ( x ? 1) 为奇函数,则函数 y ? f ( x ) 的图像关于点 (1, 0 ) 成中心对称. (A). p ? q 真 (B). p ? q 真 (C). ? p 真 (D). ? q 假 时,

10.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对 x

,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 x

f(x)= 围是 (A).(1, 2)

,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-

(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范

(B).(

, 2)

(C).(1,



(D).(2,+

/ 11.函数 f(x)是定义在 ? 0 , ?? ? 上的非负可导函数,且满足 xf ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,对任意正数 a、b,若 a< b,则

必有 (A). af ?b ? ? bf ? a ? (B). bf ? a ? ? af ?b ? (C). af ? a ? ? f ?b ? (D). bf ?b ? ? f ? a ?

高三数学(理科)第一次月考试题

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2 12.已知 R 上可导函数 f (x ) 的图象如图所示,则不等式 ( x ? 2 x ? 3 ) f ? ( x ) ? 0 的解集为

(A). ( ?? , ? 2 ) ? (1, ?? ) (B). ( ?? , ? 2 ) ? (1, 2 ) (C) ( ?? , ? 1) ? ( ? 1, 0 ) ? ( 2 , ?? ) (D). ( ?? , ? 1) ? ( ? 1,1) ? ( 3 , ?? )

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.若正实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 14.与直线 2x-y-4=0 平行且与曲线 y ? 5 x 相切的直线方程是 15.已知函数 f ( x ? 2 ) ? ?
?1 ? x 2 , ? 2
?x



x ? 2, x ? 2,

则 f (1 ) =



,

16.函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1]则 b-a 的最小值为________. 三.解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的 相应位置上) 17.(本题满分 12 分) A ? { x
1 32 ? 2
?x

? 4} , B ? x x

?

2

? 3 mx ? 2 m

2

? m ?1? 0 .

?

(1)当

时,求 A 的非空真子集的个数;

(2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围. 18.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? lo g 1
2

ax ? 2 x ?1

( a 为常数).

(1)若常数 a ? 2 且 a ? 0 ,求 f ( x ) 的定义域; (2)若 f ( x ) 在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围 19.(本题满分 12 分)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图像恒在 y=2x+m 的图像上方,试确定实数 m 的范围. .

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20.(本题满分 12 分) 已知函数 (1)求 h(a); (2)是否存在实数 m、n 同时满足下列条件: ①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[m,n]时,值域为 21.(本题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? a x ? ln x , x ? (0 , e ], g ( x ) ?
ln x x

,

; 函数 g(x)=

的最小值为 h(a).

,

]?若存在,求出 m、n 的值;若不存在,说明理由。

,其中 e 是自然常数, a ? R .

(1)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?
1 2



(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3 ,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做的第一题得分。 22.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? x ? ?1 ? ? 在直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?1 ? ? 3 5 4 5
2 sin( ? ?

t
t 为参数).若以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极

t

轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ? ? (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

?
4

).

高三数学(理科)第一次月考试题

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忻州一中 2012??2013 学年第一次月考 高三数学 参考答案

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解:化简集合 A= ?x ? 2 ? x ? 5 ? ,集合 B ? ? x ( x ? m ? 1)( x ? 2 m ? 1) ? 0 ? . ………….3 分

( 1 ) ? x ? N ,? A ? ?0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 ? , 即 A 中 含 有 6 个 元 素 , ? A 的 非 空 真 子 集 数 为 2 6 ? 2 ? 62 个. .6 分

(2)(2m+1)-(m-1)=m+2 ①m= -2 时, B
? ? ? A ;…………7



② 当 m< - 2 时 , (2m+1)<(m - 1) , 所 以 B= ? 2 m ? 1, m ? 1 ? , 因 此 , 要 B ? A , 则 只 要
?2m ? 1 ? ?2 3 ? ? ? m ? 6 ,所以 m 的值不存在;…………8 分 ? 2 ? m ?1? 5

③当 m>-2 时, (2m+1)>(m-1),所以 B=(m-1,2m+1),因此,要 B ? A ,则只要

高三数学(理科)第一次月考答案

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?m ? 1 ? ?2 ? ? 1 ? m ? 2 .…………10 分 ? ?2m ? 1 ? 5

综上所述,m 的取值范围是:m=-2 或 ? 1 ? m ? 2 . 18.解:(1)由
ax ? 2 x ?1 ? 0 , 2 a

…………12 分

当 0 ? a ? 2 时,解得 x ? 1 或 x ? 当 a ? 0 时,解得
2 a

,………2 分

? x ? 1 .………4 分 2 a

故当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 的定义域为{ x | x ? 1 或 x ? 当 a ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 { x | (2)令 u ?
ax ? 2 x ?1 2 a

}

? x ? 1 }.……6 分

ax ? 2 x ?1
? a?

,因为 f ( x ) ? lo g 1 u 为减函数,故要使 f ( x ) 在(2,4)上是减函数,
2

u ?

a?2 x ?1

在(2,4)上为增函数且为正值. ……8 分

?a ? 2 ? 0 ? ? 1 ? a ? 2 .………10 分 故有 ? 2a ? 2 u m in ? u ( 2 ) ? ? 0 ? ? 2 ?1

故 a ? [1, 2 ) .………12 分 19. 解(1)设 f(x)=ax2+bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1) +b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2x,………2 分 即 2ax+a+b=2x,
? ? ?2a=2, ?a=1, ∴? ………4 分? ……5 分∴f(x)=x2-x+1. ………6 分 ?a+b=0, ?b=-1, ? ?
2 2

(2)由题意得 x -x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.即 x -3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立.……8 分 3 设 g(x)=x2-3x+1-m,其图像的对称轴为直线 x= , 2

2

2

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∴g(x)在[-1,1]上递减.即只需 g(1)>0,………10 分即 12-3×1+1-m>0,解得 m<-1. 所以 m 的取值范围为 m∈(-∞,-1).………12 分 20. 解:⑴ 则 ,

, 2分

+3



;……3 分



时,



4分



时,

;……5 分

∴h(a)=

………6 分

⑵ 假设满足条件的 m、n 存在,

, 是减函数………8 分

,在(3,+

h(a)的定义域为[m,n]时,值域为

,

]



10 分

,



,

很显然矛盾。

∴满足题意的 m、n 不存在。………12 分
' 21.解: (1)? f ( x ) ? x ? ln x , f ( x ) ? 1 ?

1 x

?

x ?1 x



1分 3分

' ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,

' 当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? 0 ,

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f (x)

在(0,1)单调递减;在(1,e)单调递增.∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ;

4分

(2)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上的最小值为 1 、∴ f ( x ) ? 0, f ( x ) m in ? 1 , 令h(x) ? g (x) ?
h ( x ) 在 (0, e] 上

1 2

?

ln x x

?

1 2

, h'(x) ? 6分

1 ? ln x x
2

' ,当 0 ? x ? e 时, h ( x ) ? 0 ,

单调递增,
1 e ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 1 2

∴ h ( x ) m ax ? h ( e ) ?

? 1 ? f ( x ) m in ,

7分

在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?



8分
1 x ax ? 1 x

' (3)假设存在实数 a ,使 f ( x ) ? a x ? ln x , x ? (0, e ] 有最小值 3 , f ( x ) ? a ?

?

' ① 当 a ? 0 时,? x ? (0, e ] ? f ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递减,

f ( x ) m in ? f ( e ) ? a e ? 1 ? 3 、解得 a ?
1 a f ( x ) m in ? f ( 1 a 1 a
'

4 e

(舍) ,所以,此时 f ( x ) 无最小值.
1 a

9分

②当 0 ?

? e 时, f ( x ) 在 ( 0 ,

1 a

) 上单调递减,在 (

, e ] 上单调递增、

) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e ,满足条件.
2

10 分

③ 当

? e 时,? x ? (0, e ],? f ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( 0 , e ] 上单调递减, 4 e

f ( x ) m in ? f ( e ) ? a e ? 1 ? 3 ,解得 a ?

(舍) ,所以,此时 f ( x ) 无最小值. 12 分

11 分

2 综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e ] 时 f ( x ) 有最小值 3 .

22.(1) 由 ? ?

2 sin( ? ?
2

?
4

) 得: ? ? cos ? ? sin ?

两边同乘以 ? 得: ?
2 2

? ? cos ? ? ? sin ?

∴x ? y ? x ? y ? 0

即(x ?

1 2

) ? (y ?
2

1 2

)

2

?

1 2

4 6分

2 (2)将直线参数方程代入圆 C 的方程得: 5 t ? 21 t ? 20 ? 0

?
21 5

? t1 ? t 2 ?

, t1t 2 ? 4

8分
41 5

?| MN | ? t 1 ? t 2 ?

(t1 ? t 2 ) ? 4 t1t 2 ?
2

10 分

23. (1)当 a ? 1 时,原不等式可化为 x ? 3 ? x ? 7 ? 10 ,
? ? 2 x ? 4 ( x ? 3) ? x ? 3 ? x ? 7 ? ?10 ( ? 3 ? x ? 7 ) , ?2 x ? 4( x ? 7) ?
?

3分

? 当 x ? ? 3 时,由 ? 2 x ? 4 ? 10 得x ? ? 3 ;

当 x ? 7 时,由 2 x ? 4 ? 10 得x ? 7 , ? 原不等式的解集为 ?x x ? ? 3或x ? 7 ?.

5分


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