2016年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)答案

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试题类型:A

2016 年深圳市高三第二次调研考试

理科数学试题答案及评分参考
注意事项: 1. 本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。

第 Ⅰ卷
一.选择题 (1) D; (2)B; (3)C; (4)C; (5)A; (6)A; (7)C; (8)B; (9)D; (10)C; (11)B (12)D 二.填空题: (13) 6π ; 三.解答题: (17) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , an 是 S n 和 1 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . 解:(Ⅰ)由已知得 Sn ? 1 ? 2an , 当 n ? 2 时, S n ?1 ? 2 ? an ?1 ? 1? , ① ② (14)

π (或 45? ); 4

(15) 180 ;

(16) 6 ? 1 .

( ① - ②可得 an ? 2an ? 2an? , 1 n ? 2, n ? N *)
即 an ? 2an?1 ,所以

an ?2 an ?1

…………………4 分

在①式中令 n ? 1 ,可得 a1 ? 1 , ∴数列 {an } 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列
n ?1 ∴ an ? 2 ;

…………………6 分

n ?1 (Ⅱ)由 an ? bn ? n ? 2 得

理科数学试题第 1 页(共 12 页)

Tn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? L ? an ? bn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? L ? n ? 2n ?1 2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? L ? ? n ? 1? ? 2n ?1 ? n ? 2n

?Tn ? 20 ? 21 ? 22 ? L ? 2n ?1 ? n ? 2n 1 ? 2n ? n ? 2n 1? 2 ? 2n ? 1 ? n ? 2n ?
∴ Tn ? ? n ? 1? ? 2 ? 1 .
n

………………12 分

[命题意图]本题考查等差数列、等比数列的基础知识,涉及到简单的 S n 与 an 的关系及错位 相减法求数列的前 n 和等基本方法,考查学生的等价转化、运算求解能力。 (18) (本小题满分 12 分) 某市在对学生的综合素质评价中,将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级,其中 不小于 80 分为“优秀” ,小于 60 分为“不合格” ,其它为“合格” . (Ⅰ)某校高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解性别对该综合素质评价结果的影响,采 用分层抽样的方法从高一学生中抽取了 45 名学生的综合素质评价结果, 其各个等级的频数统计如下 表: 等级 男生(人) 女生(人) 优秀 合格 不合格

15 15

x

5 y

3

根据表中统计的数据填写下面 2 ? 2 列联表,并判断是否有 90% 的把握认为“综合素质评价测 评结果为优秀与性别有关”? 男生 优秀 非优秀 总计 女生 总计

(Ⅱ)以(Ⅰ)中抽取的 45 名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率, 且每名学生是否“优秀”相互独立,现从该市高一学生中随机抽取 3 人. (ⅰ)求所选 3 人中恰有 2 人综合素质评价为“优秀”的概率; (ⅱ)记 X 表示这 3 人中综合素质评价等级为“优秀”的个数,求 X 的数学期望.
理科数学试题第 2 页(共 12 页)

参考公式: 临界值表:

K2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P ( K 2 ? k0 )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

3.841

解:(Ⅰ)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 ∴ x ? 25 ? 20 ? 5 , y ? 20 ? 18 ? 2

m 45 , m ? 25 . ? 500 500 ? 400
…………………2 分

男生 优秀 非优秀 总计

女生

总计 30 15 45 ………………4 分

15 10
25

15

5
20

而k ?

45 ? (15 ? 5 ? 10 ?15) 2 9 ? ? 1.125 ? 2.706 , 30 ?15 ? 25 ? 20 8
……………6 分

所以没有 90% 的把握认为“测评结果为优秀与性别有关” .

(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知等级为“优秀”的学生的频率为 机抽取 1 名学生,该生为“优秀”的概率为

15 ? 15 2 ? ,所以从该市高一学生中随 45 3

2 . 3

记“所选 3 名学生中恰有 2 人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件 A ,则事件 A 发生的概 率为

2 2 4 P( A) ? C32 ? ( )2 ? (1 ? ) ? 3 3 9
(ⅱ)由题意知,随机变量 X ~ B(3, ) .

……………………….9 分

2 3

理科数学试题第 3 页(共 12 页)

所以随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ? 3 ?

2 ? 2. 3

………………12 分

[命题意图]考查抽样方法,独立性检验,独立重复试验的概率,二项分布及其期望,考查学 生读取统计图表,利用统计量进行决策的能力和意识。 (19) (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB ,侧面 ABB1 A1 是 边长为 2 的正方形.点 E , F 分别在线段 AA1 , A1 B1 上, 且 AE ?

1 3 , A1F ? , CE ? EF . 2 4

(Ⅰ)证明:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ; (Ⅱ)若 CA ? CB ,求直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值. 解:(Ⅰ)取线段 AB 中点 M ,连接 EM . 在正方形 ABB1 A1 中, AM ? 1, A1E ? 在 Rt?EAM 和 Rt?FA1 E 中, 又 ?EAM ? ?FA1E ?

B1

3 . 2

C1

F

A1

AE AM 2 ? ? , A1 F A1 E 3
B

π ,所以 2
C

E

Rt?EAM ∽ Rt?FA1 E ,

M

A

??AEM ? ?A1FE ,
从而 ?AEM ? ?A1EF ? ?A1FE ? ?A1EF ? 所以 ?FEM ?

π , 2
………2 分

π ,即 EF ? EM . 2

又 EF ? CE , ME I CE ? E , , 所以 EF ? 面CEM .

Q CM ? 面CEM ,
?CM ? EF .
………4 分

在等腰三角形 ?CAB 中, CM ? AB ,又 AB 与 EF 相交,知

?CM ? 面AB1 .

理科数学试题第 4 页(共 12 页)

Q CM ? 面ABC , ?面ABB1 A1 ? 面ABC .

………6 分

(Ⅱ) 在等腰三角形 ?CAB 中,由 CA ? CB , AB ? 2 知 CA ? CB ? 2 ,且 CM ? 1. 记线段 A1 B1 中点为 N ,连接 MN ,由(Ⅰ)知, MC , MA , MN 两两互相垂直. 以 M 为坐标原点,分别以 MC , MA , MN 为 正交基底建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz ,则

uuu u r uuu r uuuu r

C1

B1 z N F A1

1 1 C (1, 0 ,0) , E (0 ,1, ) , F (0 , , 2) , A(0 ,1, 0) , C1 (1, 0 , 2) . ………8 分 2 4 r uuu r r r uuu r 设平面 CEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 n ? CE , n ? EF ,即
1 ? ?x ? y ? z ? 0 , ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 , ? 2 ?? ? ? y ? 2z . ?? 3 y ? 3 z ? 0 ? ? 4 2
r

B

E

M
x
C

A

y
………10 分

取 z ? 2 ,则 y ? 4 , x ? 5 ,从而得到平面 CEF 的一个法向量 n ? (5 , 4 , 2) .

uuuu r AC1 ? (1 , ? 1 , 2) ,记直线 AC1 与平面 CEF 所成角为 ? ,

uuuu r r uuuu r r | AC1 ? n | | 5 ? 4 ? 4 | 30 r r ? ? 则 sin ? ?| cos ? AC1 , n ?|? uuuu . 18 | AC1 | ? | n | 45 ? 6
故直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值为

30 . 18

………12 分

[命题意图]考查线线垂直、线面垂直、面面垂直,利用空间向量进行空间角的计算,考查空间 想象、推理论证与分析问题和解决问题的能力。 (20) (本小题满分 12 分) 过抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点,且 A , B 两点的纵坐
2

标之积为 ?4 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知点 D 的坐标为 (4, 0) ,若过 D 和 B 两点的直线交抛物线 C 的准线于 P 点,求证:直 线 AP 与 x 轴交于一定点.

理科数学试题第 5 页(共 12 页)

y
A
O

F
B

P

D

x

解: (Ⅰ)由于抛物线的焦点坐标为 F (

p p ,0) ,故可设直线 AB 的方程为 x ? my ? , 2 2

? y 2 ? 2 px, ? 由方程组 ? p 消去 x ,并整理,得 ? x ? my ? , ? 2

y 2 ? 2 pmy ? p 2 ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

………………………………2 分

y1 y2 ? ? p 2 ,
∴ ? p ? ?4 ,
2

由 p ? 0 可得, p ? 2 , ∴抛物线 C 的方程为 y ? 4 x?
2
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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……………………………………………4 分

(Ⅱ)解法一: 依题意,直线 BD 与 x 不垂直, ∴ x2 ? 4 , ∴直线 BD 的方程可表示为

y?

y2 (x ? 4 ) , x2 ? 4



……………………………………………6 分

∵抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 , ②

? 由 ①,②联立方程组可求得 P 点坐标为 ? ?1, ?
由(Ⅰ)可得 y1 y2 ? ?4 , ∴ y2 ?

?

5 y2 ? ?, x2 ? 4 ?

?4 , y1
理科数学试题第 6 页(共 12 页)

从而 P 点坐标可化为 ? ?1,

?

?

5 y1 ? ? ,……………………………………………8 分 1 ? y12 ?

∴直线 AP 的斜率为

k AP

5 y1 ? y1 1 ? y12 4y ? ? 2 1 , ?1 ? x1 y1 ? 1

∴直线 AP 的方程可表示为

y ? y1 ?

4 y1 ( x ? x1 ) , y12 ? 1

……………………………………………10 分

令 y ? 0 ,可求得

x ? x1 ?

y12 ? 1 1 2 y12 ? 1 1 ? y1 ? ? , 4 4 4 4
1 4
…………………………………12 分

( , 0) ∴直线 AP 与 x 轴交于定点 .

解法二:直线 AP 与 x 轴交于定点 M .………………………………………2 分 ( , 0) 证明如下: 依题意,直线 BD 与 x 不垂直, ∴ x2 ? 4 , ∴直线 BD 的方程可表示为

1 4

y?

y2 (x ? 4 ) , x2 ? 4



……………………………………………6 分

∵抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 , ②

? 由 ①,②联立方程组可求得 P 点坐标为 ? ?1, ?
由(Ⅰ)可得 y1 y2 ? ?4 , ∴ y2 ?

?

5 y2 ? ?, x2 ? 4 ?

?4 , y1

从而 P 点坐标可化为 ? ?1,

?

?

5 y1 ? ? ,……………………………………………9 分 1 ? y12 ?

理科数学试题第 7 页(共 12 页)

∴ P 、 M 两点的连线斜率为

k PM

5 y1 ?0 1 ? y12 4y ? ? 2 1 ,………………10 分 1 y1 ? 1 ?1 ? 4

A 、 M 两点的连线斜率为

k AM ?

y1 ? 0 4y ? 2 1 ………………………11 分 1 y1 ? 1 x1 ? 4

∴ kPM ? k AM ∴ P 、 A 、 M 三点共线, 即直线 AP 与 x 轴交于定点 M . ( , 0)

1 4

…………………………………12 分

[命题意图]考查直线与抛物线的位置关系,考查考生等价转换和方程的思想方法,考查学生的 运算求解能力。 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ax 2 1 ,直线 y ? x 为曲线 y ? f ( x ) 的切线. x e e

(Ⅰ)求实数 a 的值; ( Ⅱ )用 min ?m, n? 表示 m , n 中的最小值,设函数 g ( x) ? min{ f ( x) , x ? } ( x ? 0) ,若函数

1 x

h( x) ? g ( x) ? cx 2 为增函数,求实数 c 的取值范围.
解:(Ⅰ)对 f ( x) 求导得 f '( x) ? a ? 设直线 y ?

2 x ? e x ? x2 ? e x x(2 ? x) . …………………………………….1 分 ? a? x 2 (e ) ex

1 x 与曲线 y ? f ( x ) 切于点 P( x0 , y0 ) ,则 e

?1 ax0 2 x ? , ? ? e 0 e x0 ,解得 a ? x0 ? 1 . ? ? 1 ? a ? x0 (2 ? x0 ) ? e x0 ?e
所以 a 的值为 1 . (Ⅱ)记函数 F ( x) ? f ( x) ? ( x ? ) ? 对函数 y ? F ( x ) 求导得 F '( x) ? …………………………………3 分

1 x

x2 1 ? x ? , x ? 0 ,下面考察函数 y ? F ( x ) 的符号. x e x
……………………………………4 分

x(2 ? x) 1 ?1 ? 2 , x ? 0 . x e x

理科数学试题第 8 页(共 12 页)

当 x ? 2 时, F '( x) ? 0 恒成立. 当 0 ? x ? 2 时, x(2 ? x) ? [

…………………………………….5 分

x ? (2 ? x) 2 ] ? 1, 2 x(2 ? x) 1 1 1 1 1 从而 F '( x) ? ?1 ? 2 ? x ?1 ? 2 ? 1 ?1 ? 2 ? ? 2 ? 0 . x e x e x x x

……………………..7 分

? F '( x) ? 0 在 (0 , ? ? ) 上恒成立,故 y ? F ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上单调递减.

Q F (1) ?

1 4 3 ? 0 , F (2) ? 2 ? ? 0 , ? F (1) ? F (2) ? 0 . e e 2

又曲线 y ? F ( x ) 在 [1 , 2] 上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知

?惟一的x0 ? (1, 2) ,使 F ( x0 ) ? 0 . ? x ? (0 , x0 ) , F ( x) ? 0 ; x ? ( x0 , ? ?) , F ( x) ? 0 .
? 1 x ? , 0 ? x ? x0 , 1 ? ? x ? g ( x) ? min{ f ( x) , x ? } ? ? 2 x ?x , x ? x0 . ? ? ex ? 1 x ? ? cx 2 , 0 ? x ? x0 , ? ? x 2 从而 h( x) ? g ( x) ? cx ? ? 2 ? x ? cx 2 , x ? x . 0 ? ? ex 1 ? 1 ? 2 ? 2cx , 0 ? x ? x0 , ? ? x …………………………………………9 分 ? h '( x) ? ? x (2 ? x ) ? ? 2cx , x ? x0 . ? ? ex
2 由函数 h( x) ? g ( x) ? cx 为增函数, 且曲线 y ? h( x ) 在 (0 , ? ? ) 上连续不断知 h '( x) ? 0 在 (0 , x0 )



( x0 , ? ?) 上恒成立.
(1)当 x ? x0 时,

2? x 在 ( x0 , ? ?) 上恒成立. ex 2? x x ?3 记 u ( x) ? x , x ? x0 ,则 u '( x) ? x , x ? x0 . e e 2c ?
当 x 变化时, u '( x) , u ( x) 变化情况列表如下:

x(2 ? x) ? 2cx ? 0 在 ( x0 , ? ?) 上恒成立,即 ex

理科数学试题第 9 页(共 12 页)

x
u '( x ) u ( x)

( x0 , 3)
?


3

(3 , ? ? )

0
极小值

?


? u( x)min ? u( x)极小 =u(3) ? ?
故“ 2c ?

2? x 1 1 在 ( x0 , ? ?) 上恒成立”只需 2c ? u( x)min ? ? 3 ,即 c ? ? 3 . x e e 2e 1 (2)当 0 ? x ? x0 时, h '( x) ? 1 ? 2 ? 2cx ,当 c ? 0 时, h '( x) ? 0 在 (0 , x0 ) 上恒成立. x 1 2 综合(1),(2)知,当 c ? ? 3 时,函数 h( x) ? g ( x) ? cx 为增函数. 2e 1 故实数 c 的取值范围是 (?? , ? 3 ] . ……………………………………12 分 2e
[命题意图]考查导数的几何意义,利用导数研究函数性质,包括单调性、极值、最值等,考查 学生等价转化、函数与方程的思想方法与分析问题、运算求解的能力。

1 . e3

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 为圆 O 的直径, C 在圆 O 上, CF ? AB 于 F ,点 D 为线段 CF 上任意一点,延 长 AD 交圆 O 于 E , ?AEC ? 30o . (Ⅰ)求证: AF ? FO ; (Ⅱ)若 CF ? 3 ,求 AD ? AE 的值.

C

E

D A
F O

B

(Ⅰ)证明:连接 OC , AC , ∵ ?AEC ? 30o ,∴ ?AOC ? 2?AEC ? 60o , 又 OA ? OC , ∴△ AOC 为等边三角形, ∵ CF ? AB , ∴ CF 为△ AOC 中 AO 边上的中线, ∴ AF ? FO ; (Ⅱ)解:连接 BE , ∵ CF ? 3 ,△ AOC 为等边三角形, 可求得 AF …………5 分

C

E B

? 1, AB ? 4 ,
A

D F O

∵ AB 为圆 O 的直径,∴ ?AEB ? 90o ,
理科数学试题第 10 页(共 12 页)

∴ ?AEB ? ?AFD , 又∵ ?BAE ? ?DAF ,∴△ AEB ∽△ AFD , ∴

AD AF ? , AB AE
………..10 分

即 AD ? AE ? AB ? AF ? 4 ?1 ? 4

【说明】考察圆周角与圆心角的关系,简单的相似三角形等知识,考察学生推理与证明、运算求 解能力. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重合.若曲 线 C 的参数方程为 ?

π? ? x ? 3 ? 2 cos ? ? ( ? 为参数),直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin ? ? ? ? ? 1 . 4? ? ? y ? 2sin ?

(Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)由直线 l 上一点向曲线 C 引切线,求切线长的最小值. 解: (Ⅰ)圆 C 的直角坐标方程为 ? x-3? ? y 2 ? 4 ,
2

又 x ? y ? ? , x ? ? cos ? , y ? ? sin ?
2 2 2

∴圆 C 的极坐标方程为 ? ? 6? cos ? +5 ? 0
2

……………..5 分

(Ⅱ)由直线 l 的极坐标方程 2 ? sin ? ? ?

? ?

π? ? ? 1 变形可得 4?

? sin ? ? ? cos ? ? 1
∴ l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 设直线 l 上点 P ,切点 A ,圆心 C ? 3, 0 ? ,
2 2 2 则有 PA ? PC ? AC ,

当 PC 最小时,有 PA 最小, 而 PC ?

3 ?1 2

?2 2,
8? 4 ? 2.
…………10 分

所以 PA ?

PC 2 ? 4 ?

即切线长的最小值为 2 .

[命题意图]本题旨在考查圆的参数方程,极坐标方程,直线的极坐标方程,参数方程与普通方 程,极坐标方程与直角坐标方程的相互转化。考查数形结合的思想,考查等价转化与运算求解的能

理科数学试题第 11 页(共 12 页)

力. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 若关于 x 的不等式 | x ? 2 | ? | x ? 3 |?| m ? 1| 有解,记实数 m 的最大值为 M . (Ⅰ)求 M 的值; (Ⅱ)正数 a , b , c 满足 a ? 2b ? c ? M ,求证:

1 1 ? ? 1. a?b b?c

解: (Ⅰ)由 x ? 2 ? x ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 5 , 若 x ? 2 ? x ? 3 ? m +1 有解, 应满足 m +1 ? 5 , 解得 ?6 ? m ? 4 ,所以 M ? 4 . (Ⅱ)由正数 a , b , c 满足 a ? 2b ? c ? 4 ,知 …………………5 分

1 1 1 1 ? ? 1 ? = ? ?? ? ? a ? b ? ? ?b ? c ?? ? ? ? a?b b?c 4 ? a?b b?c ?
1? a?b b?c ? 1? a?b b?c ? 当且仅当 a ? c , a ? b ? 2 时取等号. = ?1+1+ ? 2 ? 2 ? ? ?? ? ? =1. 4? b?c a?b ? 4? b ? c a ? b ? ?
………………………10 分 [命题意图]考查绝对值不等式的性质,基本不等式,考查推理论证,运算求解的能力。 (命题人:丁家顺 何明志 刘锋,审稿:李志敏)

理科数学试题第 12 页(共 12 页)


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