2013各地解析分类汇编直线圆、圆锥曲线

各地解析分类汇编:直线圆、圆锥曲线
1 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】已知两条直线 y ? ax ? 2 和
3 x ? ( a ? 2 ) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于(

) D.-1 或 3

A.1 或-3 【答案】A

B.-1 或 3

C.1 或 3

【 解 析 】 因 为 直 线 y ? ax ? 2 的 斜 率 存 在 且 为 a , 所 以 ? ( a ? 2 ) ? 0 , 所 以
3 x ? ( a ? 2 ) y ? 1 ? 0 的斜截式方程为 y ?

3 a ? 2

x?

1 a ? 2

, 因为两直线平行, 所以

3 a ? 2

? a



1 a ? 2

? ? 2 ,解得 a ? ? 1 或 a ? 3 ,选 A.

2 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】在平面直角坐标系 xOy 中,直线
3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x
2

? y

2

? 4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于

A. 3 3 【答案】B

B. 2 3

C. 3

D.1

【解析】圆心到直线的距离 d ?

?5 3 ? 4
2 2

?1 , 所 以 R ?d
2

2

? (

AB 2

)

2

,即

A B ? 4 ( R ?
2 2

d ) ? 4 ( ? 4
2

1? ) 1 2 ,所以 A B ?

12 ? 2

3 ,选 B.

3 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x -2y 十 2=0 平行,则 tan 2 ? 的值 A.
4 5

B.

4 3

C.

3 4

D.

2 3

【答案】B 【 解 析 】 直 线 的 斜 率 为
2? 1
1 2

, 即 直 线 l 的 斜 率 为 k ? t a? ? n

1 2

, 所 以

ta n 2 ? ?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2

?

2 ? 1 ? 4 ,选 B. 1 2 3 3 1? ( ) 2 4
2 2

4 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】直线 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x ? y ? 1 所截得的弦长为 ( A.
1 2

) B.1 C.
2 2

D.

2

1

【答案】D 【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 为
d ? 1 2
2 2 2 2

?

2 2

, 则 弦 长 为

2

r ?d
2

2

? 2 1? (

)

2

? 2?

?

2 ,选 D.

5 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】 直线 a x ? y ? 3 ? 0 与圆
( x ? 1)
2

? ( y ? 2)

2

? 4 相交于 A 、 B 两点且 A B ? 2

3 ,则 a ? __________________

【答案】0 【 解析】圆 的圆心 为 M (1, 2 ) , 半径 r ? 2 。 因为 A B ? 2 3 , 所以圆 心到直 线的距离
AB ) 2
a ? 2 a ? 1 ? a ? 1 ,解得 a ? 0 。
2 2

d ?

r ?(
2

2

?

4 ? ( 3)

2

? 1 ,即

a?2?3 a ?1
2

? 1 ,所以 a ? 1 ?

a ? 1 ,平方得
2

6【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的焦距为

16

9

A.10 【答案】D

B.5

C. 7

D. 2 7

2 2 2 2 2 【解析】由题意知 a ? 16, b ? 9 ,所以 c ? a ? b ?7 ,所以 c ?

7 ,即焦距为

2c ? 2

7 ,选 D.

7 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 文 】 已 知 点 F 1 , F 2 分 别 是 双 曲 线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、 右焦点, F 1 且垂直于 x 过

轴的直线与双曲线交于 A ,B 两 )
2)

点,若 ? A B F 2 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( A. ( 2 ? 1, ? ? ) 【答案】C B. ( 3 ? 1, ? ? ) C. (1 ?
2 , ?? )

D. (1, 1 ?

【解析】 由题设条件可知△ABC 为等腰三角形,只要∠AF2B 为钝角即可,所以有

b

2

? 2c ,

a

2

2 2 2 即 b ? 2 a c ,所以 c ? a ? 2 a c ,解得 e ? 1 ?

2 ,选 C.

8【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲 线x ?
2

y

2

? 1 的离心率是





m

A.

3 2

B. 5

C.

3 2

或 5

D.

3 2



5 2

【答案】C 【解析】因为 m 是 2 和 8 的等比中项,所以 m ? 1 6 ,所以 m ? ? 4 ,当 m ? 4 时,圆锥曲
2

线为椭圆 x ?
2

y

2

? 1 ,离心率为

3 2

,当 m ? ? 4 时,圆锥曲线为双曲线 x ?
2

y

2

? 1,

4

4

离心率为 5 ,所以综上选 C.
x a
2 2

2 2

【 9 山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】 已知双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的两条渐近线均与 C : x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线离心率等于

A.

3 5

5

B.

6 2

C.

3 2

D.

5 5

【答案】A 【解析】圆的标准方程为 ( x ? 3 ) ? y ? 4 ,所以圆心坐标为 C ( 3, 0 ) ,半径 r ? 2 ,双曲线
2 2

的渐近线为 y ? ?

b a

x ,不妨取 y ?

b a

x ,即 b x ? a y ? 0 ,因为渐近线与圆相切,所以

圆心到直线的距离 d ?

3b a ?b
2 2

? 2 , 即 9b

2

? 4 (a ? b ), 所 以 5 b
2 2

2

? 4a

2



b

2

?

4 5

a

2

? c ? a ,即
2 2

9 5

a

2

? c ,所以 e
2

2

?

9 5

,e ?

3 5

5

,选 A.
2

10 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】 直线 l 过抛物线 y

? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点,

且交抛物线于 A , B 两点,交其准线于 C 点,已知 | AF |? 4 , CB ? 3 BF ,则 p ? ( A.
2



B.

4 3

C.

8 3

D.

4

【答案】C
3

【 解 析 】 过 A,B 分 别 作 准 线 的 垂 线 交 准 线 于 E,D. 因 为

| AF | ? 4 , CB ? 3 BF

,所以

A E ? 4 , C B ? 3 B F ,且 B F ? B D ,设 B F ? B D ? a ,则 B C ? 3 a ,根据三角形的
BD AE CB AC GF AE CF AC

相似性可得

?

,即

a 4

=

3a 3a ? a ? 4

,解得 a ? 2 ,所以

?

,即

p 4

=

3a ? a 3a ? a ? 4

?

4a 4a ? 4

,所以 p ?

4a a ?1

?

8 3

,选 C.

11 【山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】 过椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0 )

? 的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F 2 为右焦点,若 ? F1 P F 2 ? 6 0 ,则椭圆的离心

率为 ( ) A.
2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

【答案】B 【解析】由题意知点 P 的坐标为(-c,
b a
2

),或(-c,-

b a

2
? ) ,因为 ? F1 P F 2 ? 6 0 ,那么

2c b
2

?

3 ? 2ac ?

3 b ,这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为

2

3 3

,选 B

a

12 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】 已知抛物线方程为 y ? 4 x , 直线 l 的
2

方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d 1 ,P 到直线 l 的距离为
d 2 ,则 d 1 ? d 2 的最小(

)
2 2 5 2 2 5 2 2

A.

5 2

2

? 2

B.

5

?1

C.
4

? 2

D.

?1

【答案】D 【解析】因为抛物线的方程为 y ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1, 0 ) ,准线方程为 x ? ? 1 。因为点
2

P 到 y 轴 的 距 离 为 d1 , 所 以 到 准 线 的 距 离 为 d1 ? 1 , 又 d1 ? 1 ? P F , 所 以
1? 0 ? 4 2
5 2 2 5 2
x
2

d1 ? d 2 ? d1 ? 1

? d2 1 ?

?P F ? d 1 ? 2 ,焦点到直线的距离 d ?

?

5 2

?

5 2

2

,而

PF ? d2 ? d ?

,所以 d 1 ? d 2 ? P F ? d 2 ? 1 ?

2

? 1 ,选 D.

13 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】 已知椭圆:

?

y b

2 2

? 1( 0 ? b ? 2 ) ,

4

左右焦点分别为 F1, F 2 ,过 F 1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若 | BF 2 | ? | AF 2 | 的最大值为 5,则 b 的值是 A.1 【答案】D 【解析】由题意知 a ? 2 ,所以 | B F 2 | ? | A F 2 | ? A B ? 4 a ? 8 因为 | B F 2 | ? | A F 2 | 的最大值 为 5 , 所 以 AB 的 最 小 值 为 3 , 当 且 仅 当 AB ? x 轴 时 , 取 得 最 小 值 , 此 时
3 2 3 2

B. 2

C.

3 2

D. 3

A(? c,

), B ( ? c , ?

) ,代入椭圆方程得

c

2

?

9 4b
2

? 1 ,又 c

2

? a ? b
2

2

?4 ? b ,所以
2

4
b
2

4?b 4

2

?

9 4b
2

? 1 ,即 1 ?

?

9 4b
2

? 1 ,所以

b

2

?

9 4b
2

2 ,解得 b ? 3 ,所以 b ?

3 ,选 D.

4

4

14 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】抛物线 y 为 【答案】 ? 4 【解析】在抛物线中 2 p ? 1 6 , p ? 8 ,所以准线方程为 x ? ?
p 2

2

? 16 x 的准线

? ?4 。
2

15 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】 以抛物线 y

? 8 x 的顶点为中心,

焦点为右焦点,且以 y ? ? 3 x 为渐近线的双曲线方程是___________________
y
2

【答案】 x ?
2

?1

3

5

【解析】抛物线的焦点为 ( 2 , 0 ) ,即双曲线的的焦点在 x 轴,且 c ? 2 ,所以双曲线的方程
x a
2 2

可设为

?

y b

2 2

? 1 ,双曲线的渐近线为 y ? ?

b a

x ? ?

3 x ,得

b a

?

3 ,所以 b ?

3a ,

b

2

? 3a

2

即 ? c ? a , 4a
2 2

2

? c

2

所以 a ? 4,

2

? 1, b

2

? 3, 所以双曲线的方程为 x ?
2

y

2

? 1。

3

16 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】如图 4,椭圆的中心在坐标原 点, F 为左焦点, A 、 B 分别为长轴和短轴上的一个顶点,当 F B ? A B 时,此类椭圆称 为“黄金椭圆” .类比“黄金椭圆” ,可推出“黄金双曲线”的离心率为 .

【答案】

1? 2

5

【解析】由图知, ( a
e ? 1? 2 5

? c)
5 2

2

? (b

2

? c ) ? c
2

2

,整理得 c 2

? ac ? a

2

? 0

,即 e 2

? e ?1? 0

,解得

,故 e

?

1?


2

17 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的 动点, P 在 y 轴上的射影是 M, A 的坐标是 点 点 (4, , a) 则当 | a | ? 4 时,| P A | ? | P M | 的最小值是 【答案】 a 2 ? 9 ? 1 【解析】当 x ? 4 时, y ? 4 ? 4 ? 1 6 ,所以 y ? ? 4 ,即 y ? 4 ,因为 | a |? 4 ,所以点 A
2



6

在抛物线的外侧,延长 PM 交直线 x ? ? 1 ,

由抛物线

的定义可知 P N ? P M ? 1 ? P F ,当,三点 A , P , F 共线时, | P A | ? | P F | 最小,此 时
A


F ?

|P

A| ?
4?
2

|? P
? a )
2

F |
?
2

, A 又F 焦
2









F(

1
2

, , 0 所) 以

(

1

? , 9 a P M ? 1 ? P A的 最 小 值 为 即

a ? 9 ,所以

PM ?

P A的最小值为

a ? 9 ?1。

18 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】 (本小题满分 12 分)设 F1, F 2 分
x a
2 2

别是椭圆:

?

y b

2 2

( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点,过 F 1 倾斜角为 45 的直线 l 与该椭圆相交于

?

P, Q 两点,且 | PQ | ?

4 3

a .

(Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)设点 M ( 0, 1 ) 满足 | MP | ? | MQ | ,求该椭圆的方程。 ? 【 答 案 】 解 : Ⅰ ) 直 线 PQ 斜 率 为 1 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? x ? c , 其 中 (
c ? a ?b
2 2

.????2 分

设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ) ,则 P , Q 两点坐标满足方程组
?y ? x ? c 2 ? 2a c ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 ? x 2 ? 化简得 ( a ? b ) x ? 2 a cx ? a ( c ? b ) ? 0 ,则 , ?x y 2 2 a ?b ? 2 ? 2 ?1 b ?a
a c a
2 2 2

x1 x 2 ?

?b
2

2

?b

.

因为,所以

| PQ | ?

2 | x 2 ? x1 |?

2 [( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ] ?

2

4 3

a

.??????6 分

7



4 3

a ? a

4 ab
2

2 2

?b

,故 a ? 2 b ,

2

2

所以椭圆的离心率 e ?

c a

?

a

2

?b a

2

?

2 2

. ????????8 分

(Ⅱ) PQ 的中点为 N ( x 0 , y 0 ) , (1) x 0 ? 设 由 知

x1 ? x 2 2

?

? a c a
2

2

?b

2

? ?

2 3

c, y0 ? x0 ? c ?

c 3

.

由 | MP | ? | MQ | 得 k MN ? ? 1 . ????????10 分 即
y0 ? 1 x0 ? ? 1 ,得 c ? 3 ,从而 a ? 3

2,b ? 3

.故椭圆的方程为

x

2

?

y

2

? 1 ????12 分

18

9

19 【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 文科】 (本小题满分 12 分)

如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x2=4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【答案】 (I)由 ?
?y ? x?b ?x
2

? 4y

得 x 2 ? 4 x ? 4b ? 0

(? )

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? ( ? 4 ) ? 4 ? ( ? 4 b ) ? 0 ,解得 b ? ? 1 …………5 分
2

(II)由(I)可知 b ? ? 1 ,故方程( ? )即为 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,将其代入 x ? 4 y ,得
2

y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距 离等于圆 A 的半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方程为 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 4 …….12 分
2 2

20 【山东省兖州市 2013 届高三 9 月入学诊断检测 文】 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) .

8

(1)若椭圆的长轴长为 4,离心率为

3 2

,求椭圆的标准方程;

(2)在(1)的条件下,设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B, 且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; 【答案】 (1)椭圆 C:
x
2

? y

2

? 1 ???6 分

4

21 【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试 文】 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
3 。
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

6 3

,短轴一个端到右焦点的距离为

(1)求椭圆 C 的方程: (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 面积的最大值。 【答案】
3 2

,求△AOB

9

22 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考文】 (本小题满分 12 分)已知定点 A (1, 0 ) 和定 直线 x
? ? 1 上的两个动点 E

、 F ,满足 AE

? AF

,动点 P 满足 EP

// OA , FO // OP

(其中 o 为

坐标原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B (0 , 2 ) 的直线 l 与(1)中轨迹 C 相交于两个不同的点 M 、 N ,若 AM 直线 l 的斜率的取值范围. 【答案】解: (1)设 P ( x , y ), E ( ? 1, y 1 ), F ( ? 1, y 2 )( y 1 、 y 2 均不为 0)
? AN ? 0

,求

10

由 EP // OA 得 y 1 ? y , 即 E ( ? 1, y ) ????????????2 分 由 FO // OP 得 y 2 ? ?
y x , 即 F ( ? 1, ?
y x ) ????????????4 分

由 AE ? AF 得 AE ? AF ? 0 ? ( 2 , ? y 1 ) ? ( 2 , y 2 ) ? 0 ? y 1 y 2 ? ? 4 ? y 2 ? 4 x ( x ? 0 ) ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y
2

? 4 x ( x ? 0 ) ????????6 分
2 2

(2)设直线 l 的方程 y ? kx ? 2 ( k ? 0 ), M (
? y ? kx ? 2 ?y
2

y1 4

, y 1 ), N (

y2 4

, y2 )

联立得 ?

? 4x
4 k

消去 x 得 ky

2

? 4y ? 8 ? 0

? y1 ? y 2 ?

, y1 y 2 ?

8 k

, ????????????8 分 1 2

且 ? ? 16 ? 32 k ? 0 即 k ?
y1 4
? y1 y 2 16
2 2
2

.
2 2 2

? AM ? AN ? (

? 1, y 1 ) ? (

y2 4

? 1, y 2 ) ? (

y1 4

? 1 )(

y2 4

? 1) ? y 1 y 2

?

1 4

( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ? 1

2

2

?

4 k
2

?

1 16 16 8 k ? 12 ( 2 ? )? ?1? 4 k k k k
? 0 , ? ? 12 ? k ? 0 .

??????????10 分 ????????????12 分
x a
2 2

? AM ? AN

23 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考文】 椭圆 C :

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的 右 焦 点 为 F , 椭 圆 C 与 x 轴 正 半 轴 交 于 A 点 , 与 y 轴 正 半 轴 交 于 B (0 ,2 ) , 且
BF ? BA ? 4 2 ? 4 ,过点 D ( 4 , 0 ) 作直线 l 交椭圆于不同两点 P , Q

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的斜率的取值范围; (3)若在 x 轴上的点 M ( m , 0 ) ,使 MP ? MQ ,求 m 的取值范围。 【答案】解:? b ? 2
? BF ? BA ? 4
A ( a ,0 ) F ( 0 ,0 ) B (0 ,2 )

2 ? 4 ,? ac ? 4

2

11

a

2

? c
2

2

? 4 ? a
2

4

? 4a

2

? 32 ? 0 ,

(a

? 8 )( a

? 4) ? 0
2 2

? a

2

? 8

c

2

? 4 ,?

x

?

y

?1

8

4

(2) ? x 2

? y ? k (x ? 4) ? 2 2 2 2 , (1 ? 2 k ) x ? 16 k x ? 32 k y ? ?1 ? 8 4 ?
2 2

2

?8 ? 0

? ? ? 0 ,? (16 k )

? 4 (1 ? 2 k )( 32 k
2

2

? 8) ? 0

8k

4

? 4k

2

? 8k

4

? 1 ? 2k

2

? 0 ,2k

2

? 1 ,?

2 2

? k ?

2 2

(3)? MP ? MQ ,? M 在 PQ 中垂线上, PQ 中点 N ( 中垂线

8k

2 2

1 ? 2k

,

? 4k 1 ? 2k
2

)

PQ

24 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考文】 (本题 12 分)如图所示,已知椭圆 C 1 和 抛物线 C 2 有公共焦点 F (1, 0 ) , C 1 的中心和 C 2 的顶点都在坐标原点, 过点 M ( 4 , 0 ) 的直
12

线 l 与抛物线 C 2 分别相交于 A , B 两点 (Ⅰ)写出抛物线 C 2 的标准方程; (Ⅱ)若 AM ?
1 2 MB ,求直线 l 的方程;

(Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C 2 上,直线 l 与椭圆 C 1 有公共点,求 椭圆 C 1 的长轴长的最小值。

【答案】解: (1)

(2)设

(3)

13

椭圆设为

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25 【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试文】 (本题满分 12 分)已知椭圆的中心在 原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 , (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 【答案】解: (1)设椭圆方程为
?a ? 2b 2 ?a ? 8 ? ? 解得 ? 则? 4 1 2 ?b ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ? b ?a

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

x
∴椭圆方程为

2

?

y

2

?1

8
1 2

2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m ; 又 KOM=
1 2
1 ? y ? x ? m ? ? 2 2 ? x ? 2 mx ? 2 m 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 8 2 ?

? l 的方程为:

y ?

x ? m

2

? 4 ? 0

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

14

? ? ? (2m )

2

? 4(2m

2

? 4) ? 0,

解得 ? 2 ? m ? 2 , 且 m ? 0

(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 则k1 ?
y1 ? 1 x1 ? 2 ,k2 ? y2 ? 1 x2 ? 2
2

由 x 2 ? 2 mx ? 2 m 2 ? 4 ? 0 可得 而 k1 ? k 2 ?
1 2
y1 ? 1 x1 ? 2 ? y2 ? 1 x2 ? 2 ?

x1 ? x 2 ? ? 2 m , x1 x 2 ? 2 m

? 4

( y 1 ? 1 )( x 2 ? 2 ) ? ( y 2 ? 1 )( x 1 ? 2 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

( ?

x 1 ? m ? 1 )( x 2 ? 2 ) ? (

1 2

x 2 ? m ? 1 )( x 1 ? 2 )

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) x 1 x 2 ? ( m ? 2 )( x 1 ? x 2 ) ? 4 ( m ? 1 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) 2m
2

?

?

? 4 ? ( m ? 2 )( ? 2 m ) ? 4 ( m ? 1 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

?

2m

2

? 4 ? 2m

2

? 4m ? 4m ? 4

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

? 0

? k1 ? k 2 ? 0

故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 26 【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)文】 (本小题满分 12 分)已知直线
y ? ? x ? 1 与椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 相交于 A 、 B 两点.

(1)若椭圆的离心率为
??? ?

2 2

,焦距为 2,求线段 A B 的长;
?1 ?2 2 ? ? 2 ?

(2)若向量 O A 与向量 O B 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e ? ? 时,求椭圆长轴长的最大值. 【答案】解: (Ⅰ) e
则b ? a
2

??? ?

,

?

2 2

, 2 c ? 2 ,? a ?

2 ,c ? 1 ,

? c

2

?1,

?椭圆的方程为

x

2

? y =1

,

2

15

?x ? y =1 , ? 2 联立 ? 2 消 去 y 得 : 3 x ? 4 x ? 0 ,设 A ( x 1, y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ? y ? ? x ? 1, ?
2



则A? 分)

? 4 ? 3

, ?

1? 4 ? , B ( 0 , 1), ? A B ? 3? 3

2

.

?????????????????(6

(Ⅱ)设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2

, y2 )

. ,

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? O A ? O B ,? O A ?O B = 0 ,即 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0

?x y ? 2 ? 2 ? 1, 2 2 2 2 2 2 由 ?a 消 去 y 得 ( a ? b ) x ? 2 a x ? a (1 ? b ) ? 0 b ? y ? ? x ? 1, ?
2 2



由 ? = (?2a )
2

2

? 4a (a
2

2

? b )(1 ? b ) ? 0
2 2

,整理得 a 2

? b

2

?1,

又 x1 ? x 2 ?

2a a
2

2 2

? b

, x1 x 2 ?

a (1 ? b )
2 2

a

2

? b

2

, ,

? y y 2 ? ( ? x 1 ? 1)( ? x 2 ? 1) ? x 1 x 2 ? ( x 1 + x 2 ) +1
1

由 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 得 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0



?

2 a (1 ? b )
2 2

a

2

? b

2

? a

2a
2

2 2

? b

?1? 0



整理得:a

2

? b

2

? 2a b
2

2

? 0,

?b

2

? a

2

? c
1

2

? a

2

? a e ,代 入 上 式 得
2 2

2a

2

?1?

1? e

2

,? a

2

?

1 ? 1 ? , ?1 ? 2 ? 2 ? 1? e ?
2

?

1 2

≤ e≤

2 2

,?
3 4

1 4

≤ e ≤
4 3

1 2



?

1 2

≤1? e ≤
2

,?



1 1? e
2

≤ 2,

?

7 3

≤1?

1 1? e
3 2
2

≤ 3


2

?

7 6

≤ a ≤

2

,适 合 条 件 a

? b

2

? 1,

由此得

42 6

≤ a≤

6 2

,?

42 3

≤ 2a ≤

6



故长轴长的最大值为 分)

6

.

??????????????????????(12

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