吉林省舒兰市第一高级中学2018届高三上学期第四次月考数学文试题 含解析 精品

2017—2018 学年度上学期质量监测 高三数学(文) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设全集 A. 【答案】B 【解析】 所以 故选 B 2. 一个棱锥的三视图如图所示 (尺寸的长度单位为 ) , 则该棱锥的全面积是( ) (单位: ) = 则 故 即A , 则 x<1,所以 , B. , C. ,则 D. ( )

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全 等的三棱锥,由图中数据知此两面皆为等腰三角形,高为 2,底面边长为 2,故它们的面积皆 为 ,由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高,由等面积法可以算出,此二高线 ,将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高,由勾股定理可以算出,此

的长度相等,为 斜高为

,同理可求出侧面底边长为 ,可求得此两侧面的面积皆为 ,故此三棱锥的全面积为

故选 A

3. 已知 A. 【答案】A B.

的面积为 , C.

, D.

,则

(

)

【解析】根据面积公式△ABC 的面积 S= AB?ACsin∠BAC= ?AB?2? = ,∴AB=1 又根据余弦定理 BC2=AB2+AC2-2?AB?AC?cos∠BAC=1+4-2×1×2× =3,∴BC=

根据正弦定理 ∵三角形内角和为 180°,∠BAC=60°∴排除∠ACB=150°∴∠ACB=30° 故选 A 4. 等差数列 A. 90 【答案】B 【解析】试题分析:由于 是等差数列,所以根据等差数列的性质可知, ,故选 B. 考点:1、等差数列的性质;2、等差数列的前 项和. 5. 设双曲线 ( A. ) B. C. D. 的渐近线与抛物线 B. 45 中,前 项的和为 ,若 C. 30 D. , ,那么 等于 ( )



相切,则该双曲线的离心率等于

【答案】D 【解析】由题知:双曲线的渐近线为 y=± ,所以其中一条渐近线可以为 y= ,又因为渐近 线与抛物线只有一个交点,所以 =x2+1 只有一个解,所以 c2=a2+b2,所以 c2=b2+4b2=5b2, 故选 D 6. 已知 A. , B. C. , , D. ,则( ) ,e= 即 ,a2=4b2 因为

【答案】C 【解析】 依题意, 7. 若不重合的四点 A. 2 B. 3 C. 4 满足 D. 5 , 由于 , , 函数 为增函数, 故 ,则实数 的值为( ) .

【答案】B 【解析】试题分析:由题可知,根据向量的减法有, 有 ,所以 ,故 ,即 ; , ,又因为 ,于是

考点:平面向量的基本定理及其意义 8. 直线 A. 或 B. 与圆 或 C. 相切,则实数 等于( 或 D. 或 )

【答案】D 【解析】圆的方程(x-1)2+y2=3,圆心(1,0)到直线的距离等于半径,所以 或 故选 D 点睛:本题考查直线和圆的位置关系,通过圆心到直线的距离 d 与半径 r 来体现。 9. 在 的值等于( A. B. 中, 角 ) C. D. 所对的边分别为 , 且 , , , 则

【答案】C 【解析】试题分析:由题意得,因为 , 所以 考点:共线向量的应用;正弦定理的应用. 10. 设 是( A. ) B. C. D. 3 ,函数 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 的最小值 ,所以 ,由正弦定理可知 , 所以 , 故选 C.

【答案】C

【解析】解:∵函数 y=sin(ω x+π / 3 )+2 的图象向右平移 4π / 3 个单位后与原图象重合, ∴4π /3 =n×2π /ω ,n∈z ∴ω =n×3/ 2 ,n∈z 又 ω >0,故其最小值是 3 /2 故答案为 3/ 2 11. 已知 、 是三次函数 则 A. 【答案】B 【解析】 试题分析: 由 的两个根,所以 , 因为 ,因为 是 , 的极值点, 所以 ,所以 表示可行域内点与 是方程 ,即 点连线的 的取值范围是( B. ) C. D. 的两个极值点,且 , ,

,作出不等式组表示的可行域,如图所示,则 斜率,当取点 以 和

时,分别为斜率的最小值和最大值,所以此时斜率分别为 和 ,所 ,故选 B.

的取值范围是

考点:简单的线性规划;函数的极值点的应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的极值和极值点的概念及其应用、利用线性规划求解目标 函数的最值,关键在于正确理解给定的目标函数的几何意义,着重考查转化的思想方法和数 形结合的数学思想,属于中档试题,本题的解答中,求出函数的导数,根据函数极值和极值 点的概念,得到 与 的关系,根据 的范围得到 的范围,画出关于 的不等式组表示可

行域,由图数形结合求解 12. 定义函数

的取值范围. ,若存在常数 ,对任意的 ,存在唯一的 ,使得

,则称函数 上的均值为( A. B. C. )

在 上的均值为 .已知



,则函数



D. 10

【答案】C 【解析】根据定义,函数 y=f(x) ,x∈D,若存在常数 C,对任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D, 使得 , 则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C. 时,选定 x2= ∈【10,100】

令 x1?x2=10×100=1000 当 x1∈

可得:C 故选 C 点睛:这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型.关键是要读懂题意.充分利用即时定义 来答题. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 若等比数列 __________. 【答案】50 【解析】由题意可得 = 14. 在长方体 中, , ,若棱 , ,填 50. 上存在点 ,使得 ,则棱 的各项均为正数,且 ,则 等于

的长的取值范围是__________. 【答案】

【解析】

如图所示, 当 底面 案为 .

时, 以

为直径的圆与

有交点 , 连接

, 则

, ,故答

,根据三垂线定理,则

,满足题意,即棱

的长的取值范围是

15. 定长为 4 的线段

的两端点在抛物线

上移动, 设点 为线段

的中点, 则点 到 轴

距离的最小值为__________. 【答案】

.................. 答案为: . 16. 已知函数 【答案】 【解析】试题分析:由 当 当 时, 时, ,解得 x=ln2 ,函数 f(x)单调递减; ,函数 f(x)单调递增. 有零点,则 的取值范围是__________.

故该函数的最小值为 因为该函数有零点,所以 故 a 的取值范围是 考点:本题考查函数的零点 点评:解决本题的关键是掌握函数有零点即是函数的图象与 x 轴有交点的问题,考查数形结 合的数学思想 三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知圆心为 的圆经过 (1)求圆心为 的圆的方程; (2)若直线 【答案】 (1) 与圆总有公共点,求实数 的取值范围. ; (2) 、 两点,且圆心 在直线 上. ,即 ,解得

【解析】试题分析: (1)根据圆的性质,算出 AB 的垂直平分线,与直线 2x-y-2=0 联解得出 C

(3,4) ,求出圆的 C 的半径 r=1,从而可得⊙C 的方程. (2)若直线 y=kx+3 与⊙C 总有公共 点,则圆心 试题解析: (1)由于 则线段 的中点为 , , , 的交点, , ; 到直线 的距离 ,解不等式可得实数 k 的取值范围

的垂直平分线方程为 与直线 解得 ,即圆心

而圆心 是直线 由 又半径为

,故圆 的方程为

(2)圆心

到直线

的距离



得 18. 已知 .

,解得

. 所对的边分别为 ,向量 , ,且

的三个内角

(1)求角 的大小; (2)若向量 , ,试求 的取值范围.

【答案】 (1) ; (2) 【解析】试题分析: (1)利用向量垂直,数量积为 0,通过余弦定理,直接求角 C 的大小; (2)利用向量 围. 试题解析: (1)由题意得 得 ∵ (2)∵ ∴ , ∴ , ; , ,即 ,由余弦定理 , ,直接求 的表达式,然后求出 的取值范

.

∵ 所以

,∴ ,故

∴ .



点睛:本题考查向量的数量积的应用,向量的模的求法,注意角的范围的应用,考查计算能 力,转化思想的应用. 19. 已知在公差不为零的等差数列 为 . (1)求 的通项公式 ; . ; (2)见解析 ,解得 ,则 ; (2) , 中, 和 的等差中项为 11,且 ,其前 项和

(2)求证: 【答案】 (1)

【解析】试题分析: (1)由题意可知, 则 ,则

。 试题解析: (1)由题意可知, 。 (2) , , ,则 ,解得 ,

,得证。 点睛: (1)基本量法的应用在基础数列题型中非常适用,通过方程思想解出 ,得到通项公

式; (2)数列的放缩法技巧性比较高,学生要熟悉常用的放缩方法,本题采取裂项相消的放 缩方法,将 20. 如图,在四棱锥 , 为线段 中, 上的点. 平面 ,之后裂项相消求和就可以完成证明。 , , , ,

(1)证明: (2)若 是

平面 的中点,求

; 与平面 所成的角的正切值.

【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】试题分析: (1)推导出 PA⊥BD,BD⊥AC,由此能证明 BD⊥平面 PAC. (2)由 PA⊥平面 ABCD,得 GO⊥面 ABCD,∠DGO 为 DG 与平面 PAC 所成的角,由此能求出 DG 与平面 APC 所成的角的正切值. 试题解析: (1)证明:∵在四棱锥 ∴ 设 与 .∵ , 是 . 面 ; 的中点,则 面 ,故 , 为 与平面 所成的角. 平行且等于 , 中, . 的中垂线, 平面 ,

的交点为 ,则 的中点,且 ,∴

故 为 而

(2)若 是 故由 ∴ 面

的中点, 为 ,可得 平面 ,

,故

由题意可得

中,由余弦定理可得, ,





. 中, 中, , .

∵直角三角形 ∴直角三角形

点睛:本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正切值的求法,是中档题,解题时要认真审 题,注意空间思维能力的培养.

21. 已知椭圆

的两个焦点为

, 离心率为 , 直线 与椭圆相交于



点,且满足 (1)求椭圆的方程; (2)证明: 【答案】 (1)



, 为坐标原点.

的面积为定值. ; (2)见解析 ,由离心率得 ,从而求得 得到方程(2)

【解析】试题分析: (1)由椭圆定义可知

将直线与椭圆联立方程,由韦达定理得到 表示,并将结论代入整理得到常数,即证面积为定值 试题解析: (1)由椭圆的离心率为 ,可得, 即 又 ,∴ , ∴椭圆方程为 ,联立 , ① ∴ , ,

,所求三角形的面积用

∴c=2,∴

(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,设 ,可得

设原点到直线 AB 的距离为 d,则

=

=

=

= 当直线斜率不存在时,有 ∴ , ,即△OAB 的面积为定值

考点:1.椭圆的方程及性质;2.直线与椭圆相交的相关问题 22. 已知函数 (1)讨论函数 (2)设 的单调性; , . .

,证明:对任意

【答案】 (1)见解析; (2)见解析 【解析】试题分析: (Ⅰ)借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解; (Ⅱ)借助题设 条件构造函数运用导数的知识推证. 试题解析: (Ⅰ)解: 当 当 当 时, 时, 时, 时,令 , 故 在 的定义域为 ,故 ,故 在 在 ,解得 , 单调递增; 单调递减; 。由于 在 上单调递减,故当 时, , 故 在 。

单调递增; 当

单调递减。 (Ⅱ)证明:不妨假设 ∴ 即 令 于是 从而 即 在 单调递减,故 ,故对任意 ,则 。 , 。 等价于 。 。 .由于 ,故 在 。 单调递减。

考点:导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用。

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具。本题就是以含 参数 的函数解析式为背景, 考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和 分析问题解决问题的能力。本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系,运用分类整 合的数学思想分类求出其单调区间和单调性; 第二问的求解中则先构造函数 后再对函数 , 然

求导,运用导数的知识研究函数的单调性,然后运用函数的单调性,

从而使得问题简捷巧妙获证。
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