清华大学自主招生数学试卷

2009 年清华大学自主招生数学试卷 (理综)
一、解答题(共 7 小题,满分 0 分) 1、求值: . 2、请写出一个整系数多项式 f(x) ,使得是其一个根. 3、有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面?证明你的结论. 4、现有 100 个集装箱,每个集装箱装两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的 规则将货物依次放入集装箱中.集装箱体积都是 1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一个货物后装 不下第二个,那么就将这个集装箱密封,把这个货物装到下个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装 箱. 5、A,B 两人轮流向黑板上写正整数,规则是:若 a1,a2,…an 出现在黑板上,则形如的数都不能写,不 得不写 1 的人算输.初始状态黑板上写着 5,6,问先写的人还是后写的人有必胜策略? 6、从 0,1,2,3,4,5,6,7 七个数中任取两个数相乘,使所得的积为偶数,这样的偶数共有几个? 7、A,B 两人玩一个游戏,A 提供若干硬币,B 可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上,并确定一个目标 顶点 u.规则是:A 可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点 v,并选择一个与它相邻的顶点 w,将 v 上的 两枚硬币取走,并放回一枚硬币在 w 上.A 若在有限步内根据规则在 u 上放上一个硬币则获胜.已知 B 不 想让 A 赢且他很聪明,试问在这两种情况下 A 各需要至少几个硬币才能保证自己能赢.

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答案与评分标准 一、解答题(共 7 小题,满分 0 分) 1、求值: . 考点:复数求模;三角函数中的恒等变换应用。 专题:计算题。 分析: 先根据复数的指数形式, 将绝对值内复数化为复数的三角形式, 从而绝对值内变成复数的代数形式, 结合复数模的概念表示出此复数的模,最后利用同角三角函数关系,以及三角函数恒等变换的技巧,可以 化简结果即可. 解答:解:原式=|2+2(cos+isin)+| = = = = ∵ = ∴ 所以,= 点评:本题考查了复数的指数形式、复数模的概念,同时考查了三角恒变换的技巧,对运算能力的要求较 强,属于难题. 2、请写出一个整系数多项式 f(x) ,使得是其一个根. 考点:方根与根式及根式的化简运算。 专题:计算题;开放型。 2 3 分析:由,设 f(x)=(x ﹣2) =,变形整理可得答案. 2 3 解答:解:由 f(x)=(x ﹣2) =, 6 4 2 得整系数多项式 f(x)=x ﹣6x +12x ﹣8, ∴ f()=﹣6+12﹣8 点评:本题考查根式的化简运算,解题时要注意公式的灵活运用. 3、有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面?证明你的结论. 考点:抛物线的简单性质。 专题:分析法。 分析:取一条直线,使它不平行于任一抛物线的对称轴,根据抛物线的图象和性质得到直线上的点不能被 抛物线的图象完全覆盖,进而可得结论. 解答:解:不能. 取一条直线,使它不平行于任一抛物线的对称轴, 根据抛物线的图象和性质知直线上的点不能被完全覆盖.如图: (因一条直线若被抛物线覆盖,它必须是抛物线对称轴) 故有限条抛物线及其内部不能覆盖整个坐标平面.

点评:本题主要考查抛物线的图象和性质.属基础题.

4、现有 100 个集装箱,每个集装箱装两件货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了,现在按一定的 规则将货物依次放入集装箱中.集装箱体积都是 1,且每个集装箱最多放两件货物,若装了一个货物后装 不下第二个,那么就将这个集装箱密封,把这个货物装到下个集装箱中.问在最坏情况下需要多少个集装 箱. 考点:进行简单的演绎推理。 分析:根据规则我们可以模拟装箱过程,设所有货物的体积从小到大依次为:a1,a2,a3,…a200;分析可 得在最坏情况下,顺序被打乱之前、之后,货物排放的顺序,进而可得答案. 解答:解:根据题意,设所有货物的体积从小到大依次为:a1,a2,a3,…a200; 在最坏情况下, 顺序被打乱之前,货物顺序为:a1,a200;a2,a199;a3,a198;…a100,a101, 两个一组,装在同一个箱子里; 顺序被打乱之后,最坏的顺序为 a200,a2,a199,a3,a198,…a100,a101,a1; 此时,除 a101,a1;可以装在同一个箱子里之外,其他的货物均是单独放在一个箱子里; 共需要 199 个集装箱. 点评:本题考察的知识点是逻辑推理,注意认真审题,明确题目的规则. 5、A,B 两人轮流向黑板上写正整数,规则是:若 a1,a2,…an 出现在黑板上,则形如的数都不能写,不 得不写 1 的人算输.初始状态黑板上写着 5,6,问先写的人还是后写的人有必胜策略? 考点:进行简单的合情推理。 专题:方案型。 分析:本题是合情推理中的难题,需要分类讨论的情况比较多,故建议模拟游戏过程,进行分析. 解答:解:∵ 初始状态黑板上写着 5,6,而形如的数都不能写 故此时能填的数据只能从 1,2,3,4,7,8,9,13,14,19 中选择 如果第一个人填 2,第二个人只能选 3,则自己必要填 1,此时先填者必输 如果第一个人填 3,则第二个人还有 1,2,4,7 共 4 个数据可选,如果第二个人选 2,则自己必要填 1, 此时先填者必输 如果第一个人填 7,则第二个人还有 1,2,3,4,8,9 共 6 个数据可选,如果第二个人选 4,则自己必要 填 1,此时先填者必输 如果第一个人填 8,则第二个人还有 1,2,3,4,7,9 共 6 个数据可选,如果第二个人选 4,则自己必要 填 1,此时先填者必输 如果第一个人填 9,则第二个人还有 1,2,3,4,7,8 共 6 个数据可选,如果第二个人选 7,则自己必要 填 1,此时先填者必输 如果第一个人填 13,则第二个人还有 1,2,3,4,7,8,9 共 7 个数据可选,此时 B 无论选任意数,都必 要填 1,此时先填者必胜 故选填 13 者有必胜的策略. 点评:穷举法是推理问题中常用的办法,根据已知条件,对每一种情况进行分析,可能得到答案. 6、从 0,1,2,3,4,5,6,7 七个数中任取两个数相乘,使所得的积为偶数,这样的偶数共有几个? 考点:计数原理的应用。 专题:计算题。 分析:先做出积是奇数的,两个数都为质数 1,3,5,7,乘积不会重复,总乘积个数为 8 个数字中任意选 2 个有 28 个结果,0 乘以任何数都是 0,所以要减去 7 个多余重复的 0,用所有的结果数减去积是奇数的 结果. 解答:解:∵ 乘积是奇数的个数比较好求,两个数都为质数 1,3,5,7,乘积不会重复. 所以先求奇数个数为:4 个数字 1,3,5,7 中任意选 2 个有 6 个结果 而总乘积个数为 8 个数字中任意选 2 个有 28 个结果, ∵ 乘以任何数都是 0,有 7 个多余重复的 0 0 ∴ 28﹣7=21 个

∵ 乘积除了奇数就是偶数,那么总个数减去奇数个数, 就可以得到偶数个数 21﹣6=15 个 点评:本题考查计数原理的应用,是一个数字问题,解题时注意要求两个数字的积是偶数,因为直接做比 较麻烦,因此选用先做出积是奇数的情况,符合正难则反的原则. 7、A,B 两人玩一个游戏,A 提供若干硬币,B 可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上,并确定一个目标 顶点 u.规则是:A 可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点 v,并选择一个与它相邻的顶点 w,将 v 上的 两枚硬币取走,并放回一枚硬币在 w 上.A 若在有限步内根据规则在 u 上放上一个硬币则获胜.已知 B 不 想让 A 赢且他很聪明,试问在这两种情况下 A 各需要至少几个硬币才能保证自己能赢.

考点:概率与函数的综合。 专题:方案型。 分析:先判断出 B 选的顶点 u,v;为了最后放到 u 上硬币,得到各个顶点需要有的硬币个数,得到需要至 少几个硬币 解答:解:∵ 不想让 A 赢且他很聪明 B ∴ 当顶点在一条直线上时,B 将目标顶点 u 选在最右边,将所有硬币放在最左边

为最后放在 u 上硬币,则 ? 处需 2 枚硬币;? 处需 4 枚硬币;需 ? 处有 8 枚;v 处有 16 枚 3 2 1 故当顶点在一条直线上时需要至少 16 个硬币才能保证自己能赢 当顶点在一圆上时, B 不想让 A 赢且他很聪明 所有 B 选的 u,v 将所有硬币放在最 v 上 如图所示

为最后放在 u 上硬币,则 ? 处需 2 枚硬币;需 ? 处有 4 枚;v 处有 8 枚 2 1 故当顶点在圆上时需要至少 8 个硬币才能保证自己能赢 点评:本题考查需要根据实际情况,判断出顶点 U,V;判断出各个点上最少的硬币数.


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