广东省中山一中等六校2014届高三上学期第一次联考数学文试题

仲元中学 中山一中 南海中学

2013—2014 学年
潮阳一中 宝安中学 普宁二中

高三第一次联考

数学(文科)
一 选择题(每小题 5 分,共 50 分)
x 1. 已知集合 M ? ? x | x ? 1? , N ? x | 2 ? 1 ,则 M ? N =

?

?



) D. ?x | 0 ? x ? 1 ? )

A. ?

B. ?x | x ? 0?

C. ?x | x ? 1 ?

2.已知 a 是实数, (a ? i)(1 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则 a =( A.1 B.-1 ) C. 2 D.- 2

3. cos2 6000 等于( A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2
( ).

4.设条件 p : a ? 0 ;条件 q : a 2 ? a ? 0 ,那么 p 是 q 的什么条件 A.充分非必要条件 C.充分且必要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 )

5.已知直线 a, b 都在平面 ? 外, 则下列推断错误的是( A. a // b, b // ? ? a // ? C. a // ? , b // ? ? a // b 6.方程 2 A.2
?x

B. a ? b, b ? ? ? a // ? D. a ? ? , b ? ? ? a // b ) C.1 D.4

? x 2 ? 3 的实数解的个数为(
B.3

7.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4 C.

17 2 ? ? ? ? ? 8.已知向量 a ? (3, 4) , b ? (2, ?1) ,如果向量 a ? xb 与 b 垂直,则 x 的值为(
D. A.

15 2

S4 ?( a2





23 3

B.

3 23

C.2

D. ?
·1·

2 5

主视图

左视图

9.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那 么这个几何体的全面积为 A. ( ) D. 4π

3 π 2

B. 2π

C. 3π

10. 函数 f ( x ? 1) 是 R 上的奇函数,?x1 , x 2 ? R, (x1 - x 2 )[f(x1 ) - f(x2 )] ? 0 ,则 f (1 x) ? 0 的解集 - 是( A (??,0) ) B (0,??) C (?1,1) D (??,?1) ? (1,??)

二.填空题: (本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) (一)必做题(11~13题) 开始 11.对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算原理如右 图程序框图所示,则 3 ? 2 = 12. 已知 f ( x) ? x ? 3xf ?(2), 则f ?(2) =
2

输入 a, b 是

. . 输出

a ? b?



?x ? 0 ? 13. 已知 x, y 满足条件 ? y ? x ( k 为常数) , ?2 x ? y ? k ? 0 ?
若 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k = .

b ?1 a

输出

a ?1 b

结束 (第 11 题图)

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y ) 是椭圆 个动点,则 S ? x ? y 的最大值为 D F E (第 15 题图) B

x2 ? y 2 ? 1上的一 3
C

. A

15. (几何证明选讲选做题)如图,平行四边形 ABCD 中,

AE : EB ? 1: 2 , ?AEF 的面积为 6,
则 ?ADF 的面积为 .

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分,要求写出必要的解答过程)
·2·

16. (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? ? (1)求 tan(? ? ? ) 的值;

1 5 , cos ? ? , ? , ? ? (0, ? ) 3 5

(2)求函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的最大值.

17.(本小题满分 12 分)某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按 成绩分组,得到的频率分布表如下左图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名 学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求:第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率? 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.00

?160,165?
?165,170?
?170,175? ?175,180?
[180,185]

18.(本小题满分 14 分) 长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AA ? 2 , 1 1

AB ? BC ? 2 , O 是底面对角线的交点。
(Ⅰ) 求证: B1D1 / / 平面 BC1D ; (Ⅱ) 求证: AO ? 平面 BC1D ; 1 (Ⅲ)求三棱锥 A1 ? DBC1 的体积。

19. (本小题满分 14 分)
·3·

已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a10 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和 Sm .

20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线方程 y 2 ? mx ( m ? R ,且 m ? 0 ) . (Ⅰ)若抛物线焦点坐标为 (1, 0) ,求抛物线的方程; (Ⅱ)若动圆 M 过 A(2, 0) ,且圆心 M 在该抛物线上运动,E、F 是圆 M 和 y 轴的交点,当 m 满 足什么条件时, | EF | 是定值.

21. (本题满分 14 分) 已知 a 为正的常数,函数 f ( x) ?| ax ? x2 | ? ln x 。 (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x ) 的单调增区间; (2)设 g ( x ) ?

f ( x) ,求函数 g ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值。 x

参考答案
·4·

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D 9 A 10 B

二 .填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11.2 ; 12. ?2 ; 13.-6 ; 14.2 ; 得 sin ? ? 15. S?ADF ? 18

16.解: (1)由 cos ? ?

5 , ? ? (0, ? ) 5

2 5 5

, tan ? ? 2 ……………2 分

1 ? ?2 tan ? ? tan ? 于是 tan(? ? ? ) = ? 3 ? 1 . ……………………………6 分 2 1 ? tan ? tan ? 1? 3 1 1 3 , cos ? ? ? (2)因为 tan ? ? ? , ? ? (0, ? ) 所以 sin ? ? ………………9 分 3 10 10
f ( x) ? ? 3 5 5 5 2 5 sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? ? 5 sin x …………11 分 5 5 5 5

f ( x) 的最大值为 5 . ………………………………………………………………12 分
17.解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人, …………… 1 分 第 3 组的频率为

30 ? 0.300 , ………2 分 100

频率分布直方图如右: ………… 5 分 (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以 利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每 组分别为:

30 ? 6 ? 3 人, ………… 6 分 60 20 ? 6 ? 2 人, ………… 7 分 第 4 组: 60 10 ? 6 ? 1 人, ………… 8 分 第 5 组: 60
第 3 组: 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C1 ,则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:

( A1, A2 ) , ( A1, A3 ) , ( A1, B1 ) , ( A1, B2 ) , ( A1, C1 ) , ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), ……10 分
·5·

其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的有: ( A , B1 ), ( A1 , B2 ), 1

( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 9 中可能, …………11 分
所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的概率为

9 3 ? …………12 分 15 5

18.(Ⅰ) 证明:依题意: B1D1 / / BD ,且 B1D1 在平面 BC1D 外.……………………2 分 ∴ B1D1 / / 平面 BC1D ……………4 分 (Ⅱ) 证明:连结 OC1 ∵ BD ? AC

A A1 ? B D

∴ BD ? 平面 ACC1 A1 …………5 分 又∵ O 在 AC 上,∴ AO 在平面 ACC1 A1 上 1 ∴ AO ? BD 1 ∴ OA ? ∵ AB ? BC ? 2 ∴ AC ? AC1 ? 2 2 1 ∴ Rt ?AAO 中, A1O ? 1

2

AA12 ? OA2 ? 2 ……

7分

同理: OC1 ? 2 ∴ AO ? OC1 1

∵ ?AOC1 中, AO2 ? OC12 ? AC12 1 1 1

∴ AO ? 平面 BC1D ……………………………………………10 分 1

(Ⅲ)解:∵ AO ? 平面 BC1D 1 ∴V ?

1 1 ? A1O ? ? BD ? OC1 ……………………………………………12 分 3 2

1 1 4 2 ? ?2? ? 2 2 ? 2 ? …………………………………………14 分 3 2 3
?5a ? 10d ? 105, 19.(I)由已知得: ? 1 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 a ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n .……………6 分 n (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 ,
·6·

即 bm ? 72m?1 .?

bm?1 7 2m?1 ? 2m?1 ? 49 ∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, bm 7

Sm ?

……………14 分 7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) 1 ? 49 48

20.解:(Ⅰ) 依题意: ∴ p?2

p ? 1 . ……………………………………………… 2 分 2
∴所求方程为 y 2 ? 4 x . ………………………………4 分

(Ⅱ)设动圆圆心为 M (a, b) , (其中 a ? 0 ) E 、 F 的坐标分别为 (0, y1 ) , (0, y2 ) , 因为圆 M 过 (2, 0) ,故设圆的方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? (a ? 2) ? b …………6 分
2 2 2 2 2 ∵ E 、 F 是圆 M 和 y 轴的交点 ∴令 x ? 0 得: y ? 2by ? 4a ? 4 ? 0 ………8 分

则 y1 ? y2 ? 2b , y1 ? y2 ? 4a ? 4

| EF |? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 ? y2 ? 4b 2 ? 16a ? 16 ……………10 分
又∵圆心 M (a, b) 在抛物线 y ? mx 上
2

∴ b ? ma …………11 分
2

∴ | EF |? 4ma ?16a ?16 ? 4a(m ? 4) ?16 ………………………………….12 分 ∴当 m ? 4 时, | EF |? 4 (定值). ……………………………………………14 分
2 21.解: (1)由 a ? 2 ,得 f ( x) ?| 2 x ? x | ? ln x( x ? 0) ,

2 当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? x ? ln x , f ?( x) ? 2 ? 2 x ?

1 ?2 x 2 ? 2 x ? 1 ? , x x

2 由 f ?( x) ? 0 ,得 ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

1? 3 1? 3 ,或 x ? (舍去) 2 2

当0 ? x ?

1? 3 1? 3 时, f ?( x) ? 0 ; ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ; 2 2 1? 3 ); 2
…………2 分

∴函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0,

·7·

当 x ? 2 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ? ln x , f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

1 2x2 ? 2 x ? 1 ? , x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,此方程无解,∴函数 f ( x ) 在 [2, ??) 上为增函数;…4 分

∴函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0, (2) g ( x) ?

1? 3 ) , [2, ??) 。 2

…………5 分

f ( x) ln x ?| x ? a | ? , x ? [1, e] , x x

①若 a ? 1 时, g ( x) ? x ? a ?

1 ? ln x x 2 ? 1 ? ln x ln x ? ,则 g ?( x) ? 1 ? , x x2 x2

2 ∵ x ? [1, e] ,∴ 0 ? ln x ? 1 ,∴ 1 ? ln x ? 0 , x ? 1 ? ln x ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0

∴ g ( x) 在 [1, e] 上为增函数,∴ g ( x) 的最小值为 f (1) ? 1 ? a ; ②若 a ? e 时,则 g ( x) ? a ? x ?
2

…………8 分

1 ? ln x ? x 2 ? 1 ? ln x ln x ? ,则 g ?( x) ? ?1 ? , x x2 x2
1 ? 0, x

令 h( x) ? ? x ? 1 ? ln x ,则 h?( x) ? ?2 x ?

所以 h( x) 在 [1, e] 上为减函数,则 h( x) ? h(1) ? 0 ; 所以 g ( x) 在 [1, e] 上为减函数, g ( x) 的最小值为 g (e) ? a ? e ?

1 ; ………11 分 e

ln x ? ? x ? a ? x , x ? ( a , e] ? ③当 1 ? a ? e , g ( x) ? ? , ?a ? x ? ln x , x ? [1, a ] ? x ?
由①②知 g ( x) 在 [1, a] 上为减函数,在 [ a, e] 上为增函数,

∴ g ( x) 的最小值为 g (a ) ?

ln a , a

…………13 分

·8·

? ?1 ? a, a ? 1 ? ? ln a 综上得 g ( x) 的最小值为 g (a ) ? ? ,1 ? a ? e 。 …………14 分 ? a 1 ? ?a ? e ? e , a ? e ?

·9·


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