广东省揭阳市一中、潮州金山中学、广大附中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

2014-2015 学年度高三第一学期期中考联考 数学试题(理科)

一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1.已知 a ? (0, 2) , b ? (1, 1) ,则下列结论中正确的是

A. (a ? b) ? (a ? b)

B. (a ? b) ? b

C. a // b

D. a ? b

2.若直线 l1 : x ? (1? m) y ? 2 ? m 与直线 l2 : 2mx ? 4 y ? ?16 平行,则 m ?

A. m ? ?2

B. m ? 1

C. m ? ?2 或 m ? 1

D. ? 2 3

3.已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f (x) ? ex ? m ( m 为常数),则 f (? ln 5) 的值


A. ?4

B. 4

C. ?6

D. 6

4.曲线 x2 ? y2 ? 1与曲线 x2 ? y2 ? 1(12 ? k ? 16) 的

16 12

16 ? k 12 ? k

开始 S=1,T=1,n=2

A.长轴长与实轴长相等 C.焦距相等 5.下列命题中,错.误.的是

B.短轴长与虚轴长相等 D.离心率相等

A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 B.平行于同一平面的两个不同平面平行

C.如果平面? 不垂直平面 ? ,那么平面? 内一定不存在直线垂直于平面 ?

T=2n
n=n+1
S=n2 否
T≥S? 是
输出 n

D.若直线 l 不平行平面? ,则在平面? 内不存在与 l 平行的直线
6、某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为

结束 (第 6 题)

A.5

B.6

C.7

D.8

7.“ ac ? bd ”是“复数 a ? bi 与 c ? di 的积是纯虚数”的( )条件.

A.充分必要

B.充分不必要

C.必要不充分

D.既不充分也不必要

8



















a?b

?

?b, (a ??a, (a

? b) ? b)











f ( x)?

( 1?4 x

)?

l2o gx, 若 函 数

g(x) ? f (x) ? k 恰有两个零点,则 k 的取值范围为.

A. ?1, 2?

B. (1, 2)

C. (0, 2)

D. (0,1)

二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题)
9.已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视图是顶角为120 的等腰三角形,则该三棱锥的体
积为____.

10.已知数列?an? 满足 log3 an?1 ? log3 an ? 1 ,且 a2 ? a4 ? a8 ? 9 ,则 log1 ?a6 ? a8 ? a12 ? ? .
3
11.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a ,b,c.若 a 2 ? b2 ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B , 则角 A = _________.
?
? 12. (x ? sin x)dx ? ____________. 0
13. 已 知 正 实 数 x, y 满 足 l nx ? l ny ? 0, 且 k(x ? 2 y) ? x2 ? 4 y2 恒 成 立 , 则 k 的 最 大 值 是
________. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,曲线 ? ? ?4sin? 和 ? cos? ? 1相交于点 A, B ,则

AB =

.

15.(几何证明选讲选做题) 如图所示,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB=2,BC= 2 3 ,
则⊙O 的半径等于________.

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

? ? 已知函数 f (x) ? 2cos x 3 sin x ? cos x ?1(x ? R)

(1)求函数

f

(x)

的最小正周期及在区间

???0,

5? 12

? ??

上的最大值和最小值;

第 15 题

(2)若

f

( x0 )

?

10 , 13

x0

?

?? ?? 2

,

7? 12

? ??

,求 cos 2x0

的值。

17. (本小题满分 12 分) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“再来一瓶”或“谢谢惠顾”字样,购买一瓶若其瓶盖内印
有“再来一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 1 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
5
(1)求甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率; (2)求中奖人数ξ 的分布列及数学期望 Eξ .
18. (本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 1,点 M 在 BC 上,△ AMC1 是以 M 为直角顶点
的等腰直角三角形. (1)求证:点 M 为 BC 的中点; (2)求点 B 到平面 AMC1 的距离; (3)求二面角 M—AC1—C 的大小.

19.(本小题满分 14 分)

已知椭圆

E



x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为

2 ,右焦点为 F(1,0) . 2

(1)求椭圆的方程;

(2)设点 O 为坐标原点,过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M,N 两点,若OM ? ON ,求直线 l 的

方程.

20.(本小题满分 14 分)
? ? 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn ? 2an ? 2n?1 (n∈N*).

(1)求

a1

的值,并证明数列

{

an 2n

}

是等差数列;

(2)设 bn

?

log 2

an n ?1

,数列{ 1 bn

} 的前

n

项和为

Bn

,若存在整数

m

,使对任意

n∈N*且

n

≥2,

都有

B3n

?

Bn

?

m 20

成立,求 m

的最大值;

21.(本小题满分 14 分)
已知函数 f(x)=-x2+2lnx 与 g(x)=x+ a 有相同极值点. x

(1) 求实数 a 的值;

(2) 若 x1 ,x2 是区间[2,3 ] 内任意两个不同的数,求证:| f (x1) ? f (x2 ) |? 6 | x1 ? x2 |;

(3)

若对于任意 x1

,x2∈[

1 e

,3 ],不等式

f (x1) - g(x2 ) ≤1 恒成立,求实数 k 的取值范围. k-1

揭阳一中 2014—2015 学年度年高三上学期期中考试 数学试题(理科)参考答案及评分说明

所以函数

f

(x)

在区间

???0,

5? 12

? ??

上的最大值为

2,最小值为 ?1 .…………………………………6



(Ⅱ)解:由(1)可知

f

( x0 )

?

2

sin

? ??

2

x0

?

? 6

? ??

又因为

f

(x0 )

?

10 13

,所以 sin

? ??

2

x0

?

? 6

? ??

?

5 13

……………………………………………………7





x0

?

?? ?? 2

,

7? 12

? ??

,得 2x0

?

? 6

?

? 5? ?? 6

,?

? ??

…………………………………………………………8



从而

cos

? ??

2

x0

?

? 6

? ??

?

?

1?

sin2

? ??

2

x0

?

? 6

? ??

?

? 12 13

………………………………………………9



所以

cos 2x0

?

cos

?? ????

2

x0

?? 6

? ??

?

? 6

? ??

?

cos

? ??

2

x0

?? 6

? ??

cos

? 6

?

sin

? ??

2

x0

?

? 6

??? sin

? 6

?

?

5 ?12 26

3 ……12 分

17.解:解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么 w_w w. k#s5 _u.c o*m

P(A)=P(B)=P(C)=

1 5

………………………………………………………………………………2



P( A B C )=P(A)P( B )P( C )= ( 1)2 4 ? 4 ………………………………………………5 分
5 5 125

答:甲、乙都中奖且丙没有中奖的概率为 4 ………………………………………………6 分
125

(2)ξ 的可能值为 0,1,2,3……………………………………………………………………7 分

P(ξ

=k)=

C3k

(1)k 5

(

4 )3?k 5

(k=0,1,2,3)…………………………………………………………9



所以中奖人数ξ 的分布列为 w_w w. k#s5_u.c

ξ0123

P

64 125

48 125

12 125

1 125

………………………………………………………………10 分

Eξ =0× 64 +1× 48 +2× 12 +3× 1 = 3 ……………………………………………………12 分

125

125

125

125 5

18.(1)证明:∵在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,有 CC1⊥底面 ABC, AM ? 面 ABC ∴ CC1 ? AM ………………………………………………………………………………1 分
又∵△AMC1 是以点 M 为直角顶点的等腰直角三角形, ∴AM⊥MC1 且 AM=MC1
CC1 ? C1M ? C1 , ? AM ?面 CC1M …………………………………………………………………………2 分
BC ? 面 CC1M , ? AM ? BC ………………………………………………………………………………3 分
∵底面 ABC 是边长为 1 的正三角形, ∴点 M 为 BC 中点.…………………………………………………………………………4 分

为点 B 到平面 AMC1 的距离.……………………6 分

AM=C1M=

3, 2

在 Rt△ CC1M 中,可得 CC1 ?

2 . ……………………………………………………7 分 2

∵△ BHM∽△ C1CM.,

1

? BH ? BM ? BH ? 2 ? BH ? 6 . ……………………………………9 分

CC1 C1M

23

6

22

解法(二)

设点 B 到平面 AMC1 的距离为 h.则VB? AMC1 ? VA?BMC1 ………………………………5 分
由(I)知 AM⊥C1M,AM⊥CB, ∴AM⊥平面 C1CBB1……………………………………………………………………6 分

∵AB=1,BM= 1 ,可求出AM 2

?

MC1

?

3 2

, CC1

?

2 . …………………………7 分 2

1 3

S ?AMC1

?h

?

1 3

S ?C1MB

?

AM

…………………………………………………………8



1?1? 3? 3h? 1?1?1? 2? 3 32 2 2 322 2 2

得 h ? 6 ……………………9 分 6

(3)(解法一) 过 M 作 MH ? AC 于 H,作 MG ? AC1 于 G,连结 GH.

面AC1 ? 面ABC,且面AC1 ?面ABC ? AC ,又 MH ?面ABC, MH ? AC

? MH ? 面AC1 ?MH ? AC1 又因为 MG ? AC1 ,且 MH ? MG ? M ? AC1 ? 面 MHG ? AC1 ? GH ,

A1 G
A

C1
B1 H C M
B

故 ?MGH 为二面角 M ? AC1 ? C 的平面角……………………………………11 分

由(1)知 MH ? 1 AM ? 3

2

4

在等腰直角三角形 AMC1 中, MG ?

2 AM ? 2

2? 2

3? 2

6 4

?sin ?MGH ? MH ? 3 ? 4 ? 2 ………………………………………………13 分 MG 4 6 2

因为二面角

M

?

AC1

?C

为锐二面角,故 ?MGH

?

? 4

所以二面角

M

?

AC1

?

C

的大小为

? 4

.………………………………………………14



(解法二)过 M 作 MM1 / /CC1 交 B1C1 于 M1 .

以 M 为坐标原点,BC, AM , MM1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴方向,

A1

建立空间直角坐标系.………………………………………10 分

设面 ACC1 的一个法向量为 u ? (x, y, z)

A



?? ?

AC

?u

?

0



?1 ?? 2 ?

x

?

3 y?0

2

,取 y ? 1,则 x ? ?

3, z ?0

??CC1 ? u ? 0 ? ??

2 z?0 2

z C1

M'

B1

y

C

M

B

x

? ? ?u ? ? 3,1, 0 …………………………………………………………………………………11 分

? ? 同理可求得面 AMC1 的一个法向量为 v ? ? 2, 0,1 …………………………………………12 分

设二面角 M ? AC1 ? C 的大小为? ,由图知? 为锐角

故 cos? ? cos u, v ? 6 ? 2 ………………………………………………………………13 分 23 2

故二面角

M

?

AC1

?C

的大小为

? 4

……………………………………………………………14



?1

19.解:(1)依题意可得

? ?

a

?

2 2

…………………………………………………………2 分

??a2 ? b2 ?1

解得 a ? 2, b ? 1. 椭圆 E 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1.………………………………………4 分 2

(2)设 M (x1,y1) , N (x2,y2 )

①当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为 x ?1,不符题意.……………………………………5 分

②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y ? k(x ?1) .……………………………………6 分

?x2



? ?

2

?

y2

? 1, 得:[1 ? 2k 2 ]x2

? 4k 2 x

?

2(k 2

? 1)

?

0 ,……………………………………8 分

??y ? k(x ?1)

所以 x1

?

x2

?

4k 2 1 ? 2k 2

, x1

? x2

?

2(k 2 ?1) 1 ? 2k 2

.…………………………………………………10 分

于是:

y1

?

y2

?

k 2 (x1

?1)( x2

? 1)

?

k 2[x1x2

? (x1

?

x2 ) ? 1]

?

?k2 1 ? 2k 2



因为 OM ? ON ,所以 OM ? ON ? 0 ,

所以 x1 ? x2

?

y1 ? y2

? k2 ?2 1 ? 2k 2

? 0 ,所以, k

??

2 ,………………………………………13 分

所以,直线 l 的方程为: y ? ? 2(x ? 1). …………………………………………………………14 分

20. 解(1)由 S1 ? 2a1 ? 22 可得 a1 ? 4, …………………………………………………………1 分

由 Sn ? 2an ? 2n?1 ,得 Sn?1 ? 2an?1 ? 2n (n≥2)……………………………………………………2 分

两式相减,得 an

? 2an ? 2an?1 ? 2n ,即 an ? 2an?1 ? 2n (n≥2)

,于是 an 2n

?

an?1 2n?1

? 1 …………4 分

所以数列

{

an 2n

}

是以首项为

2,公差为

1

的等差数列.………………………………………………5



(2)

a1 21

?

2,

所以

an 2n

? 2 ? (n ?1) ? n ?1,故 an

? (n ?1) ? 2n .………………………………6 分

因为 bn

?

log2

an n ?1

?

log2

2n

?

n

,? Bn

?

1 b1

?

1 b2

?

? 1 ?1?1? bn 1 2

? 1 ,………………8 分 n



B3n

?

Bn

?

1? n ?1

1 n?

2

?

? 1 . 令 f (n) ? 1 ? 1 ?

3n

n?1 n? 2

?1, 3n

则 f (n ?1) ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ………………………………………10 分

n?2 n?3

3n 3n ?1 3n ? 2 3n ? 3

所以 f (n ?1) ? f (n) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 0 . 3n ?1 3n ? 2 3n ? 3 n ?1 3n ?1 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 3 3n ? 3 3n ? 3

即 f (n ?1) ? f (n) ,所以数列? f (n)?为递增数列. ……………………………………12 分

所以当 n ≥2 时, f (n) 的最小值为 f (2) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 19 . 3 4 5 6 20

据题意, m ? 19 ,即 m ?19 .又 m 为整数,故 m 的最大值为 18. …………………………14 分
20 20

21.解:(1)由 f ?(x) ? ?2 x ? 2 ? ?2( x ?1)( x ?1) ……………………………………………………1 分

x

x

知当 0 ? x ?1时 f '(x) ? 0 ;当 x ?1时 f '(x) ? 0 ;

∴ f (x) 在 (0,1) 上为增函数,在 (1, ??) 上为减函数.

∴ x ?1 为函数 f (x) 的极大值点.……………………………………………………………2 分

又函数 f(x)=-x2+2lnx 与 g(x)=x+ a 有相同极值点, x
∴ x ?1是函数 g(x) 的极值点,



g?(x) ? 1?

a x2

.∴

g?(1) ?1? a ? 0 ,解得 a ?1.………………………………………3 分

经检验,当 a ?1时,函数 g(x) 取到极小值,符合题意.……………………………………4 分

(2)由(1)知函数 f (x) 在[2,3 ]上单调递减,

不妨设 x1 ? x2 ,?| f (x1) ? f (x2 ) |? 6 | x1 ? x2 |? f (x1) ? f (x2 ) ? 6(x2 ? x1)

? f (x1) ? 6x1 ? f (x2 ) ? 6x2 ,令 h(x) ? f (x) ? 6x, ………………………………………6 分

则 h?(x) ? ?2x ? 2 ? 6 ,因为 h?(x) 在 ?2,3?上单调递减,且 h?(2) ? ?2 ? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 0

x

2

当 x ? (2,3) 时, h?(x) ? 0,

所以函数 h(x) 在[2,3 ]上单调递增,? h(x1) ? h(x2 ) ,所以问题得证。………………8 分

(3)∵ f (1) ? ? 1 ? 2 , f (1) ? ?1 , f (3) ? ?9 ? 2ln 3,

e

e2



?9 ?

2ln 3 ?

?

1 e2

?2?

?1,



f (3) ? f (1) ? f (1) , e



?x1

?[1 e

,

3]



f

( x1 )min

?

f

(3) ? ?9 ? 2ln 3 ,

f (x1)max

?

f

(1) ? ?1.…………………………9



由(1)知 g(x) ? x ? 1 ,∴ g?(x) ? 1? 1 .

x

x2

当 x ?[1 ,1) 时, g?(x) ? 0 ;当 x ?(1,3] 时, g?(x) ? 0 . e

故 g(x) 在[1 ,1) 为减函数,在 (1,3] 上为增函数. e

∵ g(1) ? e ? 1 , g(1) ? 2, g(3) ? 3 ? 1 ? 10 ,

e

e

33

而 2 ? e ? 1 ? 10 , ? g(1) ? g(1) ? g(3),

e3

e



?x2

?[1 ,e], e

g(x2 )min

?

g(1)

?

2,

g(x2 )max

?

g(3)

? 10 3

.……………………………10





当 k ?1 ? 0 ,即 k

?1时,对于 ? x1

,

x2

?[

1 e

,

e]

,不等式

f (x1) ? g(x2 ) k ?1

? 1恒成立

? k ?1 ? [ f (x1) ? g(x2 )]max ? k ? [ f (x1) ? g(x2 )]max ?1

f (x1) ? g(x2 ) ? f (1) ? g(1) ? ?1? 2 ? ?3 ,∴ k ? ?3?1? ?2 ,

又∵ k ?1,∴ k ?1.……………………………………………………………………12 分



当 k ?1? 0 ,即 k

?1时,对于 ? x1

,

x2

?[

1 e

,

e]

,不等式

f (x1) ? g(x2 ) k ?1

?1

? k ?1 ? [ f (x1) ? g(x2 )]min ? k ? [ f (x1) ? g(x2 )]min ?1 .



f

(x1) ?

g(x2 )

?

f

(3) ?

g(3)

?

?9 ? 2ln 3 ? 10 3

?

? 37 3

? 2ln 3 ,



k

?

?

34 3

?

2 ln

3 .又∵

k

?

1,∴

k ? ? 34 ? 2ln 3. 3

综上,所求的实数 k 的取值范围为 (??, ? 34 ? 2ln 3] (1, ??) .……………………………… 14 分 3


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