优秀教案2-集合间的基本关系

1.1.2 集合间的基本关系
教材分析
集合语言是现代数学的基本语言,可以简洁、准确地表达数学内容,是学习后续知识的基础.本节课 是集合章节的第二课,了解集合之间包含与相等的含义,理解子集与真子集的概念,是本章中的主要内容之 一.

课时分配 教学目标

1 课时

重点: 集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点: 属于关系与包含关系的区别. 知识点: 了解集合之间包含与相等的含义,理解子集、真子集的概念. 能力点:分类讨论思想的运用. 教育点: 能利用 Venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 自主探究点:例题及变式中解题思路的获取. 考试点:包含关系中含参问题的求解. 易错易混点:忽视空集. 拓展点:实数间可以运算,集合间是否也能运算.

教具准备

教学案、三角板

课堂模式
一、引入新课:
探究 1:实数有相等、大小关系,如 5=5,5<7,5>3 等等,类比实数之间的关系,观察下面几个例子, 你能发现两个集合间有什么关系吗? (1) A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2)设 A 为枣庄三中高一年级男生的全体组成的集合,B 为枣庄三中高一年级学生的全体组成的集合; (3)设 C ? {x | x是两条边相等的三角形}, D ? {x | x是等腰三角形}; 【设计意图】通过几组实例,体会集合间的包含关系,引出子集、真子集、相等概念.

二、探究新知
1. 子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们说这两个集合有包 含关系,称集合 A 是集合 B 的子集, 记作: A ? B(或B ? A) .读作:A 包含于 B(或 B 包含 A). 探究 2:与实数中的结论“若 a ? b, 且b ? a, 则a ? b ”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 2. 集合相等:如果集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一样 的,因此集合 A 与集合 B 相等.(即若 A ? B且B ? A ,则 A=B) 如(3)中的两集合 C=D.

B

C(D)

图1

图2
1

3. 真子集: 若集合 A ? B , 但存在元素 x ? B, 且x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集, 记作: A 作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A). 如:(1)和(2)中 A B. 4. 空集:不含任何元素的集合称为空集,记作: ? . 用适当的符号填空: ?

B. 读

?0? ;

0

?

?;

5. 几个重要的结论: (1) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. (2) 任何一个集合是它本身的子集; (3) 对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C .

三、理解新知
含参数问题时,空集是学生容易忽略的问题,养成优先考虑空集的好习惯,至关重要.

四、运用新知
例 1.写出集合{ a ,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 解:集合{ a ,b}的所有子集为 ?, ?a? , ?b? , ?a, b? ,真子集为 ?, ?a? , ?b? .

【设计意图】概念运用,培养学生按照一定的规律列举问题的良好习惯. 练习 1 完成课本第 7 页练习 1,2,3. 【设计意图】进一步巩固所学 例 2 已知集合 A={ x |1< ax <2},B={ x || x |<1},满足 A? B,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a =0 时,A= ? ,满足 A? B. (2)当 a >0 时,A= ? x |

? ?

1 2? ? x ? ?. a a?

?1 ? a ? ?1 ? ∵A? B,∴ ? ?2 ? 1 ?a ? ∴ a ≥2 ? 2 (3)当 a <0 时,A= ? x | ? x ? ? a

1? ?. a?

?1 ?1 ∵A? B,∴ ? a ? ? ? 2 ? ?1 ?a ? ∴ a ≤-2. 综合(1)(2)(3)知, a 的取值范围{ a | a ≤-2 或 a =0 或 a ≥2}.
【设计意图】利用分类讨论解决问题;通过实例提示学生考虑包含关系时勿忘对空集的讨论.

2

练习 2 已知 A={ x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 },B={ x | mx ? 1 },若 B 答案: M ? ?0,

A ,求实数 m 所构成的集合 M.

? 1 1? , ? ? 2 3?

【设计意图】由学生独立完成,提高学生的独立解题能力. 例 3 已知集合 A={2, x, y },B={2 x ,2, y
2

}且 A=B,求 x, y 的值.

答案:

1 ? x? ?x ? 0 ? ? 4 或? x, y 的取值为 ? ?y ?1 ?y ? 1 ? 2 ?

【设计意图】通过实例,提示学生解决集合问题,勿忘集合元素互异性要求. 练习 3 含有三个实数的集合可表示为 ?a, 答案: a =-1,b=0

? b ? ,1? ,也可表示为{ a 2 , a +b,0},求 a ,b. ? a ?

【设计意图】由学生独立完成,提高学生的独立解题能力.

五、课堂小结

教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学方法?

学生:知识上: 1、子集、真子集、集合相等的含义. 2、空集的含义与表示. 思想上: 归纳、分类讨论的数学思想 教师: 我们这节课学习了集合之间的关系,这要与上节课学习的集合与元素的关系区别开来.集合与元 素是“属于”“不属于”的关系,而集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系;另外在含参问 题求解中大家不要忘记对空集的讨论.

六、布置作业
1.阅读教材 P6 ? P7
2.书面作业 (1)必做题:课本 P 12 习题 1.1 A 组 5

(2)选做题: 1).下列命题中正确的个数是( A ) ①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集; A.0 B.1 C.2 D.3 2).下列结论正确的是( C ). A. ? A B. ? ? {0} C. {1, 2} ? Z D. {0} ?{0,1} 3).设 A ? ? x x ? 1? , B ? ? x x ? a? ,且 A ? B ,则实数 a 的取值范围为( B ). A. a ? 1 B. a ? 1 2 4).若 {1, 2} ? {x | x ? bx ? c ? 0} ,则( A A. b ? ?3, c ? 2 C. a ? 1 ). C. b ? ?2, c ? 3 D. b ? 2, c ? ?3
3

D. a ? 1

B. b ? 3, c ? ?2

5).已知集合 A={ x | a -1≤ x ≤ a +2},B={ x |3< x <5},则能使 A? B 成立的实数 a 的取值范围是 ( B ) A.{ a |3< a ≤4} B.{ a |3≤ a ≤4} C.{ a |3< a <4} D. ? 6).在以下六个写法中:①{0}∈{0,1};② ? ={0};③{0,-1,1}? {-1,0,1};④0∈ ? ;⑤Z={正整数}; ⑥{(0,0)}={0},其中错误写法的个数是( C ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 8).若 B={0,1,2,3,4,7,8},C={0,3,4,7,9},则满足 A? B,A? C 的集合 A 有___16__个. 9).设 M={ x | x ? 1 ? 0 },N={ x | ax ?1 ? 0 },若 N? M,则 a 的值为
2

? 答案:实数 m 的取值范围 ?m 3 ? m ? 6?
2

10).已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x m ? 8 ? x ? 2m ? 1 且 A ? B ,求实数 m 的取值范围.

?

?

?

±1 或 0.

11).设集合 A={1, a ,b},B={ a , a , a b},且 A=B,求实数 a, b 的值. 答案: a =-1,b=0 12).设集合 A={ x | x ? 5 x ? 6 ? 0 },B={ x | x ? (2a ? 1) x ? a ? a ? 0 },若 B? A,求 a 的值. 答案: a =2 3.预习任务:根据下列预习提纲预习 1.1.3 集合间的运算. (1).一般地,由所有属于 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,记作 A∪B(读作 “A 并 B”),即 A∪B= . (2).由属于 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集,记作 A∩B,读作 A 交 B, 即 A∩B= (3).A∩A=____,A∪A=____,A∩ ? = ,A∪ ? = (4).若 A? B,则 A∩B=__ __,A∪B=__ __. (5).A∩B A,A∩B B,A A∪B,A∩B A∪B. 【设计意图】作业 1 是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的必做题,是为了让学 生掌握基本的知识,达成本节课的教学目标.选做题难度递进,供学有余力的同学,加深理解,提高解题的能 力.预习作业的安排是为了培养学生预习的习惯,为下一节课的学习打下必备的基础.
2 2

2

七、教后反思
1.本教案的亮点是例题覆盖全面,变式与例题衔接好,有讲有练,课后题针对例题,有助于学生掌握知识. 预习提纲任务明确. 2.本节课的弱项是课容量大,例 2 难度高,在新授课中还要降低难度,照顾绝大多数学生的发展.

八、板书设计
1.子集: 记作: 图示: 2.集合的相等: 图示:

1.1.2 集合间的基本关系

2.真子集: 记作: 图示: 4.空集: 记作: 注:

例 1:

例 3:

例 2:

4


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