贵州省兴仁一中2012-2013学年高二下学期3月月考卷数学(文科)

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贵州省兴仁一中 2012-2013 学年高二下学期 3 月月考卷数学(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 要求的) 是定义在 (0, ??) 上的可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x ) ? 0 ,对任意的正数 a、 ,若 a ? b ,则必有 b 1. f ( x) ( ) A. af (b) ? bf ( a ) C. af ( a ) ? bf (b) 【答案】A 2.若 f ( x) ?
1? x
2

共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

B. bf ( a ) ? af (b) D. bf (b) ? af ( a )

,则 f (x) 的导数是(

)

sin x ? 2 x sin x ? (1 ? x ) cos x
2

A.

sin x ? 2 x sin x ? (1 ? x )
2

2

B.

? 2 x sin x ? (1 ? x ) cos x
2

sin x ? 2 x sin x ? (1 ? x )
2

2

C. 【答案】A

D.

sin x

sin x

3.已知曲线 y=x +1 在点 M 处的瞬时变化率为-4,则点 M 的坐标为( A. (1,3) 【答案】C 4.由函数 y ? cos x, (0 ? x ? 2? )的图象与直线x ? A.4 【答案】B
2 5.若函数 y ? f (x) 的导函数 f ?( x) ? 6 x ? 5, 则f ( x) 可以是(

2

) D.不确定

B. (-4,33)

C. (-1,3)
3 2

? 及y ? 1 的图象所围成的一个封闭图形的面积(
?1

)

B.

3? 2

?1

C.

?
2

D. 2?

) D. 6 x ? 5 x ? 6
2

A. 3 x ? 5 x
2

B. 2 x ? 5 x ? 6
3

C. 2 x ? 5
3

【答案】B 6.曲线 y ? ln ? x ? 2 ? 在点 P ? ?1, 0 ? 处的切线方程是( A. y ? x ? 1 【答案】A B. y ? ? x ? 1 ) D. y ? ?2 x ? 1

C. y ? 2 x ? 1

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? x ? 2x ? 3 ? ( x ? 1) ? x ?1 7.已知函数 f ( x) ? ? 在点 x ? ?ax ? 1( x ? 1) ?
3

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1 ? 1 处连续,则 f [ f ( )] 的值为( 2
D.25 )

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)

A.10

B.15

C.20

【答案】B 2 / 8.若函数 f(x)=x +bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f (x)的图象是(

【答案】A

' 9.已知函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? ( ?∞, 0) 时不等式 f ( x) ? xf ( x) < 0 成立, 若

a?3

0.3

? (3

0.3

) , b ? 2? (2) , c ? lg

1 9

?(lg

1 9

) ,则 a, b, c 的大小关系是(

)

A. a ? b ? c

B. c > b > a

C. c > a > b

D. a > c > b

【答案】C 10.曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? )与x 轴所围成图形的面积为( A.1 【答案】B 11.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 ,则 p0 点的坐标为( A. (1, 0) C. (1, 0) 和 ( ?1, ?4) 【答案】C 12.一物体在力 F ( x) ? ?
?0,0 ? x ? 2 , (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4(单 ?3 x ? 4, x ? 2
3

) D. ?

B.2

C.

?
2

)

B. (2, 8) D. (2, 8) 和 ( ?1, ?4)

位:m)处,则力 F(x)作的功为( A.44 B.46 【答案】B

) C.48 第Ⅱ卷(非选择题 D.50 共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

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13. ? ( x ? 2)dx ? _______.
0 2

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【答案】6 14.函数 f(x)=(ln2)log2x-5 log5e(其中 e 为自然对数的底数)的导函数为____________ 【答案】
4
x

1 x

-5

x

15. ? ( x ? 4)dx =
2 0

.

【答案】

16 3

16. 已知等比数列 {a n } 中,a 2 ?

?

6

(2 x ?

3 2

0

若数列 {bn } 满足 bn ? log 3 a n , 则数列 { ) dx ,a 3 ? 243 ,

1 bn bn ?1

}

的前 n 项和 S n ? 【答案】
n 2n ? 1 1 ae
x



三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.设 f ( x) ? ae ?
x

? b( a ? 0) 。

(I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x ) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?
1 at
3 2 x ;求 a, b 的值。

【答案】 (I)设 t ? e (t ? 1) ;则 y ? at ?
x

? b ? y? ? a ?

1 at
2

?

a t ?1
2 2

at

2



①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ?

1 at

? b 在 t ? 1 上是增函数, 1 a ?b 。

得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x) 的最小值为 a ? ②当 0 ? a ? 1 时, y ? at ? 当且仅当 at ? 1(t ? e ?
x

1 at

?b ? 2?b,

1 a

, x ? ? ln a ) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 。
x

(II) f ( x) ? ae ?
x

1 ae
x

? b ? f ?( x ) ? ae ?

1 ae
x


2 ? a? 2 ? ? e ? ?b? 1 ? ? 2

1 ? 2 ae ? ?b ? 3 ? f (2) ? 3 2 ? ? ? ae ? 由题意得: ? 3?? ? ? f (2) ? ? ae 2 ? 1 ? 3 ? 2 2 ? ae 2 ?

18.已知函数 f ? x ? ? x ? x ? 16 .
3

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 (2, ?6) 处的切线的方程;
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(Ⅱ)直线 l 为曲线 y ? f ? x ? 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程;
y ? ? x?3 (Ⅲ)如果曲线 y ? f ? x ? 的某一切与直线 垂直,求切点坐标. 4 1

【答案】 (Ⅰ) 13 x ? y ? 32 ? 0 (Ⅱ) 13 x ? y ? 0 (Ⅲ) ?1,?14 ?, ?? 1,?18? 19.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 在区间 ( m, m ? 2) 上是增函数,求实数 m 所有取值的集合; (3)当 x1 , x2 ? R 时,求 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) 的最大值. 【答案】 (1)? f ( x) ?
2

4x ? b ax ? 1
2

的导函数为 f ?( x) ,且 f ?( x) 在点 x ? 1 处取得极值.

4x ? b ax ? 1
2

是奇函数,易求得 b=0.
, 且f ( x ) 在点 x=1 处取得极值,
4x x ?1
2

又 f ?( x) ?

4( ax ? 1) ? 4 x ? 2ax ( ax ? 1)
2 2

? f ?( x ) ? 0.可得a ? 1.故f ( x ) ?

.

(2)? f ?( x) ?

? 4( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)
2 2

,由f ?( x ) ? 0 ? ?1 ? x ? 1.

? f (x ) 的单调递增区间为(-1,1).

若 f (x) 在区间(m,m+2)上是增函数,则有 m=-1. 即 m 取值的集合为{-1}. (3)? 令t ?
f ?( x ) ? ? 4( x ? 1)( x ? 1) (x
2

? 1)

2

? 4[ (x
2

2
2

? 1)

2

? x

1
2

?1
2

],

1 x ?1
2

, 则f ?( x ) ? g (t ) ? 4( 2t 1 2

? t ) ? 8(t ? 1 2

1 4

) ? 9 2

1 2

, t ? (0,1].

? f ?( x ) ? [ ?

, 4].? f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 4 ? ( ?
9 2

)?

.

? f ?( x1 ) ? f ?( x 2 ) 的最大值为
2

.

20.抛物线 y=ax +bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax. 【答案】依题设可知抛物线为凸形,它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0,x2=-b/a,所以
S ?

?

?

b a

( ax ? bx ) dx ?
2

1 6a
2

b (1)

3

0

又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax +bx 相切,即它们有唯一的公共点,

2

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由方程组 ?
?x ? y ? 4 ? y ? ax ? bx
2

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得 ax +(b+1)x-4=0,其判别式必须为 0,即(b+1) +16a=0.
1 16

2

2

于是 a ? ?

(b ? 1) , 代入(1)式得:
2

S (b) ?

128b

3 4

6(b ? 1)

, (b ? 0) , S ?(b) ?

128b (3 ? b)
2

3(b ? 1)

5



令 S'(b)=0;在 b>0 时得唯一驻点 b=3,且当 0<b<3 时,S'(b)>0;当 b>3 时,S'(b)<0.故在 b=3 时,S(b) 取得极大值,也是最大值,即 a=-1,b=3 时,S 取得最大值,且 S max ?
2 2

9 2



21. 如图所示,已知曲线 C1 : y ? x 与曲线 C2 : y ? ? x ? 2ax (a ? 1) 交于点 O、A,直线 x ? t (0<t≤1)与曲 线 C1、C2 分别相交于点 D、B,连接 OD、DA、AB。 (1)写出曲边四边形 ABOD(阴影部分)的面积 S 与 t 的函数关系式 S ? f (t ) ;

(2)求函数 S ? f (t ) 在区间 ? 0,1? 上的最大值。
?y ? x ?
2

【答案】 (1)由 ?

? y ? ? x ? 2ax ?
2

解得 ?

?x ? 0 ?y ? 0

或?

?x ? a ?y ? a
2

2

∴O(0,0) ,A(a,a ) 。 又由已知得 B(t,-t +2at),D(t,t ),
S ?
2 2

?

t

( ? x ? 2ax )dx ?
2

1 2

t ?t ?
2 2

1 2

(?t ? 2at ? t ) ? ( a ? t )
2 2

0

∴ ? (?
??

1 3

x ? ax ) |0 ?
3 2 t 3 2

1 2
3

t ? ( ?t ? at ) ? ( a ? t )
3 3 2 2

1 3

t ? at ? ?
1 6

1 2

t ? t ? 2at ? a t ?

1 6

t ? at ? a t .
3 2 2

S ? f (t ) ?

t ? at ? a t (0 ? t ? 1).
3 2 2

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(2) f ?(t ) =
1 2
2 2 t -2at+a ,令 f ?(t ) =0,即

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2

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1 2

t -2at+a =0。解得 t=(2- 2 )a 或 t=(2+ 2 )a. 即 t=(2- 2 )a

2

∵0<t≤1,a>1,

∴t=(2+ 2 )a 应舍去。
1 2? 2 2? 2 2

若(2- 2 )a≥1,即 a≥

?

时, ∵0<t≤1,∴ f ?(t ) ≥0。
1 6

∴ f (t ) 在区间 ? 0,1? 上单调递增,S 的最大值是 f (1) =a -a+
2

.

若(2- 2 )a<1,

即 1<a< 2 ?
2

2

时,

当 0<t<(2- 2 )a 时, f ?(t ) ? 0 . 当(2- 2 )a<t≤1 时, f ?(t ) ? 0 . ∴ f (t ) 在区间(0, (2- 2 )a]上单调递增,在区间[(2- 2 )a,1]上单调递减。 ∴ t =(2- 2 )a 是极大值点,也是最大值点
1 6

∴ f (t ) 的最大值是 f((2- 2 )a)=
? 2 1 ?a ? a ? ? 6 ?? ?2 2 ? 2 3 a ? 3 ?

[ (2- 2 )a] -a[(2- 2 )a] +a (2- 2 )a=

3

2

2

2 2 ?2 3

a .13 分

3

(a ?

2? 2

2

)

综上所述 f (t ) max


2? 2 2 )

(1 ? a ?

22.已知函数 f ( x) ? ln (I)求函数 f ( x) ? ln

2 x ? 1 ? mx( m ? R ).

2 x ? 1 ? mx( m ? R ) 的单调区间;

(II)若函数 2 f ( x) ? m ? 1恒成立, 求m 的取值范围; (III)当 m ? ?1, 且0 ? b ? a ? 1时, 证明 : 【答案】 (I)函数 f ( x)的定义域为( ?
f ( x) ? 1 2 ln(2 x ? 1) ? mx( x ? ? 1 2 1 2 ), f ?( x ) ? 1 1 ? 2x ? m. 4 3 ,??). ? f ( a ) ? f (b) a?b ? 2.

? 2 x ? 1 ? 0,? 当m ? 0时, f ?( x ) ? 0.

当 m ? 0时, 令f ?( x) ? 0, 解得x ? 列表如下:

1? m 2m

??

1 2

.

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综上所述,当 m ? 0时, f ( x)的增区间是( ? 当 m ? 0时, f ( x)的增区间是( ?

1 2

,??) ;

1 1? m 1? m , ), 减区间是( ,??). 2 2m 2m

(II)若函数 2 f ( x) ? m ? 1恒成立, 只需2 f ( x)的最大值小于等于m ? 1. 当 m ? 0时,2 f ( x) ? ln(2 x ? 1) ? 2mx , 当 x ? ??时,2 f ( x) ? ?? ,故不成立。 当 m ? 0时, 由(I)知 f ( x)有唯一的极值f ( 从而 2 f ( x) ? 2 f (
1? m 2m ) ? ln 1 m 1? m 2m ? (1 ? m) ? m ? 1, 解得m ? 1 e
2

) ,且是极大值,同时也是最大值。

.

故函数 2 f ( x) ? m ? 1恒成立时, m的取值范围是 ?

? 1

? ,?? ?. ?e ?
2

(III)由(II)知,当 m ? 1时, f ( x)取得最大值f (0) ? 0,

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