2015高考理科数学《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》练习题


2015 高考理科数学《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》练习题 [A 组 一、选择题 1.计算 sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于( A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 ) 基础演练·能力提升]

1 解析:原式=sin(43°-13°)=sin 30°= . 2 答案:A ?π ? 3 2.(2014 年太原模拟)已知 sin? +θ ?= ,则 cos(π -2θ )=( 2 ? ? 5 A. 12 25 7 25 B.- D. 7 25 12 25 )

C.-

π? 3 ? ?3? 解析:依题意得 sin?θ + ?=cos θ = ,cos(π -2θ )=-cos 2θ =1-2cos2θ =1-2×? ?2 2 5 ? ? ?5? = 7 ,选 D. 25 答案:D π? 4 ? 3.若 cos α =- 且 α 在第二象限内,则 cos?2α + ?为( 4? 5 ? A.- 31 2 50 B. 31 2 50 C.- 17 2 50 17 2 D. 50 )

4 3 解析:cos α =- ,∴sin α = , 5 5 ∴sin 2α =- 24 7 ,cos 2α = . 25 25

π? π π ? ∴cos?2α + ?=cos 2α cos -sin 2α sin 4? 4 4 ? 2 31 2 ? 7 24? =? + ?× = . 25 25 50 ? ? 2 答案:B
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4.(2013 年高考浙江卷)已知 α ∈R,sin α +2cos α = A. 4 3 3 4 B. 3 4 4 3

10 ,则 tan 2α =( 2

)

C.-

D.-

解析:解 法一

(直接法)两边平方,再同时除以 cos2α ,得 3tan2α -8tan α -3=0,tan α

1 2tan α 3 =3 或 tan α =- ,代入 tan 2α = ,得到 tan 2α =- . 2 3 1-tan α 4 解法二 (猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记 sin α = 3 1 ,cos α = ,这时 sin α 10 10

+2cos α = 答案:C

10 符合要求,此时 tan α =3,代入二倍角公式得到答案 C. 2

5 .已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 sin 2α =( A.-1 C. 2 2 B.- D.1 2 2

)

解析:∵sin α -cos α = 2,∴1-2sinα cosα =2, 即 sin 2α =-1. 答案:A π? 3 ? 6. (2014 年云 南模拟)已知 sin?x- ?= ,则 sin 2x 的值为( 4? 5 ? A.- 7 7 B. 25 25 C. 9 25 D. 16 25 )

解析:依题意得 选 B. 答案:B 二、填空题

2 3 1 9 18 7 (sin x-cos x)= , (sin x-cos x)2= ,1-sin 2x= ,sin 2x= , 2 5 2 25 25 25

?π ? 7.(2013 年高考四川卷)设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ?
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1 ?π ? 解析:因为 sin 2α =-sin α ,所以 2sin α cos α =-sin α ,cos α =- .又 α ∈? ,π ?, 2 ?2 ? 所以 α = 2π 4π ,tan 2α =tan = 3. 3 3

答案: 3w 2 8.(2014 年成都模拟)已知 sin α +cos α = ,则 sin 2α 的值为________. 3 2 4 5 解析:∵sin α +cos α = ,∴(sin α +cos α )2=1+sin 2α = ,∴sin 2α =- . 3 9 9 5 答案:- 9 1 2 9.化简 =________. cos 10°cos 80° sin235°- 1 1-cos 70° 1 - 2 2 2 解析: = cos 10°cos 80° cos 10°·sin 10° sin235°- 1 - cos 70° 2 = =-1. 1 sin 20° 2 答案:-1 三、解答题 π? 1 cos 2α ? 10.已知 sin α = +cos α ,且 α ∈?0, ?,求 的值. 2? 2 π? ? ? sin?α - ? 4? ? 1 1 解析:由 sin α = +cos α 得 sin α -cos α = , 2 2 1 ∴(sin α -cos α )2=1-2sin α cos α = , 4 3 ∴2sin α co s α = . 4 ∴ cos 2α cos2α -sin2α = π? ? 2 sin?α - ? α -cos α 4? 2 ? =- 2(sin α +cos α ),

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7 而(sin α +cos α )2=1+2sin α cos α = , 4 又∵0<α < π 7 ,∴sin α +cos α = , 2 2 14 . 2 π? π? 3 3 5 ? ? ?π π ? ,α ∈?0, ?,sin ?β - ?= ,β ∈? , ?. 4? 4? 5 2? 5 ? ? ?4

∴原式=-

11.已知 sin α +cos α =

(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α +2β )的值. 9 解析:(1)∵由题意得(sin α +cos α )2= , 5 9 4 即 1+sin 2α = ,∴sin 2α = . 5 5 π? 3 ? 又 2α ∈?0, ?,∴cos 2α = 1-sin22α = , 2? 5 ? ∴tan 2α = sin 2α 4 = . cos 2α 3

π? π ? ?π π ? (2)∵β ∈? , ?,∴β - ∈?0, ?, 4? 4 ? ?4 2? π? 3 π? 4 ? ? sin ?β - ?= ,∴cos ?β - ?= , 4? 5 4? 5 ? ? π? π? π ? 24 ? ? ? 于是 sin 2?β - ?=2sin ?β - ?cos ?β - ?= . 4? 4? 4 ? 25 ? ? ? π? 24 ? 又 sin 2?β - ?=-cos 2β ,∴cos 2β =- . 4? 25 ? 7 ?π ? 又 2β ∈? ,π ?,∴sin 2β = . 25 ?2 ? 又 cos2α = ∴cos α = π ?? 1+cos 2α 4? ? = ?α ∈?0, ??, 4 ?? 2 5? ? 2 5 5 ,sin α = . 5 5

∴cos(α +2β )=cos α cos 2β -sin α sin 2β

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2 5 ? 24? 5 7 11 5 ×?- ?- × =- . 5 25 ? 25? 5 25

π? ? 12.(能力提升)已知函数 f(x)= 2cos?2x+ ?+2sin2x. 4? ? (1)求函数 f(x) 的最小正周期; π? ? ?α π ? 1 ?β π ? 3 ?α +β ? ?的值. (2)设 α ,β ∈?0, ?,f? + ?= ,f? - ?= ,求 f? 2? 4? 2 6? 2 ? ?2 ?2 ? 2 ? π? ? 解析:(1)f(x)= 2cos?2x+ ?+2sin2x=cos 2x-sin 2x+(1-cos 2x)=1-sin 2x. 4? ? ∴函数 f(x)的最小正周期为 T= (2)∵f(x)=1-s in 2x, ?α π ? ? ?α π ?? ∴f? + ?=1-sin?2? + ?? 4 ?? ?2 4? ? ?2 π? ? =1-sin?α + ?=1-cos α , 2? ? 2π =π . 2

f? - ?=1-sin?2? - ??=1-sin?β - ?.
1 1 ?α π ? 1 ∵f? + ?= ,∴1-cos α = ,∴cos α = , 2 2 ?2 4? 2 π? π ? ∵α ∈?0, ?,∴α = . 2? 3 ? ?β π ? 3 ∵f? - ?= , ?2 6? 2 π? 3 π? 1 ? ? ∴1-sin?β - ?= ,∴sin?β - ?=- , 3? 2 3? 2 ? ? π? π π π π π ? ∵β ∈?0, ?,∴- ≤β - ≤ , ∴β - =- . 2? 3 3 6 3 6 ? π ∴β = . 6 ?α +β ? ?π π ? ?=1-sin(α +β )=1-sin? + ? ∴f? 6? ? 2 ? ?3 π =1-sin =0. 2
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?β ?2

π? 6?

? ?β ? ?2

π ?? 6 ??

? ?

π? 3?

[B 组 1.已知 sin α = A.30° C.45°或 135°

因材施教·备选练习] )

5 10 ,sin β = ,且 α ,β 都是锐角,则 α +β =( 5 10 B.45° D.135°

解析:∵α ,β 都是锐角,∴cos α = β )= 2 ,得 α +β =45°,选 B. 2

2 5 3 10 ,cos β = ,0°<α +β <180°,由 cos(α + 5 10

答案:B π? 1 π 2sin2 α +sin 2α ? α + ?= ,且- <α <0,则 2.已知 tan? =( 4? 2 2 π? ? ? cos?α - ? 4? ? A.- C.- 2 5 5 3 10 10 B.- D. 3 5 10 )

2 5 5

π ? tan α +1 1 1 ? 解析:由 tan?α + ?= = ,得 tan α =- . 4 3 ? ? 1-tan α 2 又- π 10 <α <0,所以 sin α =- . 2 10 α +cos α α +cos α =2 2sin α =- 2 5 . 5

2sin2α +sin 2α 2sin α 故 = π? ? 2 cos?α - ? 4 ? ? 2 答案:A

7π ? 4 ?π ? ? 3.(2014 年合肥模拟)已知 cos? -α ?+sin α = 3,则 sin ?α + ?的值是( 6 ? 5 ?6 ? ? A.- C. 4 5 2 3 5 B. 2 3 5 4 5

)

D.-

?π ? 解析:由条件知 cos? -α ?+sin α 6 ? ?
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? 3 ? 1 =? cos α + sin α ?+sin α 2 ?2 ? ? 3 ? 1 = 3? sin α + cos α ? 2 ?2 ? π? 4 3 ? = 3sin?α + ?= , 6? 5 ? π? 4 ? 即 sin?α + ?= . 6? 5 ? 7π ? π? 4 ? ? 故 sin?α + ?=-sin?α + ?=- . 6 ? 6? 5 ? ? 答案:D

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