1.4二次函数与一元二次方程的联系 教案

湘教版九年级下册数学教案 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 教学目标 1. 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程, 体会方程与函数之间的联系.使学 生知道二次函数的图象与 x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程根的三种情况. 2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 3.运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题. 重点:二次函数与一元二次方程的关系. 难点:运用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题. 教学设计 一.预习导学 学生通过自主预习 P24-P27 完成下列各题: 2 2 1. 填表:二次函数 y=ax +bx+c 与一元二次方程 ax +bx+c=0 的关系 抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的 交点的个数 2 1 0
2 2

ax +bx+c=0(a≠0) 的根的情况

2

有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根

2.二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有交点时, 交点的 横坐标 就是当 y=0 时自变量 2 x 的值,即一元二次方程 ax +bx+c=0 的 根 . 设计意图: 通过学生自主预习教材,初步理解掌握二次函数与一元二次方程的关系, 培养学生的自学能力. 二.探究展示 (一)合作探究 1.画出二次函数 y=x -2x-3 的图象,你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗?二次函 2 y=x -2x-3 与一元二次方程 x -2x-3=0 有怎样的关系?
2 2

如上图所示,二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点坐标分别是(-1,0) , (3,0) . 2 由交点坐标可知,当 x=-1 时, y=0 , 即 x -2x-3=0,也就是说, x= -1 是一元二次方 2 2 程 x -2x-3=0 的一个根. 同理,当 x=3 时,y=0,即 x -2x-3=0, 也就是说,x= 3 是一 2 元二次方程 x -2x-3=0 的一个根. 由此得出: 一般地, 如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个不同的交点 (x1, 0) , 2 (x2,0),那么一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个不相等的实根 x = x1,x = x2. 2.观察二次函数 y=x -6x+9 ,y=x -2x+2 的图象(如下图),分别说出一元二次方程 2 2 x -6x+9=0 和 x -2x+2=0 的根的情况.
2 2 2

2

二次函数 y= x -6x+9 的图象与 x 轴有重合的 两 个交点,其坐标都是 (3,0),而 2 一元二次方程 x -6x+9=0 有两个相等的实根:x1= 3 ,x2= 3 . 二次函数 y= x -2x+2 的图象与 x 轴 没有 交点,而一元二次方程 x -2x+2=0 没有 实 数根. 由此得出:一般地,二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的位置关系有三种: 有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点,这对应着一元二次方程 ax +bx+c=0 的根的三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根. 反过来,由 一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系. 从上面的分析可以看出, 二次函数与一元二次方程关系密切. 那么解一元二次方程能 不能借助二次函数呢? 求一元二次方程 ax +bx+c=0 的根就是求二次函数 y=ax +bx+c 在 y= 0 时, 自变量 x 的值, 也就是二次函数图象与 x 轴交点的 横 坐标, 因而我们可以利用二次函数的图 象来求一元二次方程的根. 由于作图或观察的误差,由图象求得的根,一般是近似的.
2 2 2 2 2 2

2

设计意图:通过探究,进一步理解掌握二次函数与一元二次方程的联系,会利用二次函 数的图象求一元二次方程的近似解.培养学生通过合作交流解决问题的能力. (二)展示提升 1.求一元二次方程 x -2x-1=0 的根的近似值(精确到 0.1). 分析:一元二次方程 x -2x-1=0 的根就是抛物线 y=x -2x-1 与 x 轴的交点的横坐标. 因 此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标.这种解一元二次 方程的方法叫作图象法.
2 2 2

解 设二次函数 y =x -2x-1.

2

作出函数 y =x -2x-1 的图象,如下图所示:

2

y =x2-2x-1

可以发现抛物线与 x 轴的一个交点在-1 和 0 之间, 另一个交点在 2 和 3 之间. 通过观察或测量, 可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为-0.4 或 2.4, 即一元二次方程 2 x -2x-1=0 的实数根为 x1≈-0.4 或 x2≈2.4. 我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根. 将二次函数 y = x -2x-1 在-1 至 0 范围内的部分 x 值所对应的 y 值列表如下: x 1 y 2 .61 0.9 1 .24 0.8 1 .89 0.7 0 .56 0.6 0 .25 0.5 0 0.4 0.04 0.3 0.31 0.2 0.56 0.1 0.79 0
2

1

可以发现,当 x=-0.5 时,y=0.25>0;而当 x=-0.4 时,y=-0.04<0,结合图象可以看 出,使 y=0 的 x 的值一定在-0.5 与-0.4 之间,即-0.5<x<-0.4. 题目只要求精确到 0.1,这时取 x=-0.4 或 x=-0.5 作为所求的根均满足要求. 但当 x=-0.4 时,y=-0.04,比当 x=-0.5 时,y=0.25 更接近于 0,因此选 x=-0.4. 同理,借助计算器,我们可以确定一元二次方程的另一个实数根为 x=2.4. 2.如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线 y=始位置的水平距离,y 是铅球离地面的高度.

1 2 6 8 x+ x+ 运行,其中 x 是铅球离初 10 10 5

(1)当铅球离地面的高度为 2.1m 时,它离初始位置的水平距离是多少? (2)铅球离地面的高度能否达到 2.5m,它离初始位置 的水平距离是多少? (3)铅球离地面的高度能否达到 3m?为什么?

解 (1)由抛物线的表达式得:2.1=即 解得 x -6x+5=0 x1=1,x2=5
2

1 2 6 8 x+ x+ 10 10 5

即当铅球离地面的高度为 2.1m 时,它离初始位置的水平距离是 1m 或 5m. (2)由抛物线的表达式得:2.5=即 解得
2

1 2 6 8 x+ x+ 10 10 5

x -6x+9=0 x1=x2=3

即当铅球离地面的高度为 2.5m 时,它离初始位置的水平距离是 3m. (3)由抛物线的表达式得:3=即
2

1 2 6 8 x+ x+ 10 10 5

x -6x+14=0
2

因为Δ =(-6) -4×1×14=-20<0 ,所以方程无实数根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3m. 从例 2 可以看出,已知二次函数 y=ax +bx+c 的某一个函数值 y =M,求对应的自变量的 2 值时,需要解一元二次方程 ax +bx+c=M,这样,二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来 了. 设计意图: 可点名展示,也可分组展示,培养学生分析问题的能力;同时增强学生团 结协作的精神。老师在此环节准确引导,及时点拨和追问,总结出解决问题的方法和规律。 三.知识梳理 以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获. 1. 二次函数与一元二次方程的关系: 一般地, 二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴的位 置关系有三种:有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点,这对应着一元二次方程 2 ax +bx+c=0 的根的三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根. 反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关 系. 2. 求一元二次方程 ax +bx+c=0 的根就是求二次函数 y=ax +bx+c 在 y= 0 时, 自变量 x 的 值, 也就是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标, 因而我们可以利用二次函数的图象来求一元 二次方程的根. 由于作图或观察的误差,由图象求得的根,一般是近似的. 四.当堂检测 1.试判断下列抛物线与 x 轴的交点情况: 2 2 (1) y=x -x-2 (2) y=9x +12x+4 (3) y=x -2x+3
2 2 2 2 2

(4) y=4x +12x+5

2

2.用图象法求一元二次方程 x +x-1=0 的根的近似值(精确到 0.1)

2

3.当 t 取什么值时,抛物线 y=5x +4tx+t -1 与 x 轴有一个交点?

2

2

3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的 过程. 如图,已知 y=

1 2 x -2x 刻画了该公司年初以来累积利润 y(万元)与销售时间 x(月 2
万元

份)之间的关系. 试根据图象提供的信息,回答下列问题:

月份

(1) 该公司亏损期是几个月?几月末开始赢利? (2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元? (3)该公司第 8 个月末所获利润是多少?

五.教学反思 本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程,探讨二次函数与一元二次方程的关系. 教材从一次函数与一元一次方程的关系入手, 通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的 关系问题,并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系, 然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程.这一节是反映函数与方程这两个重要数

学概念之间的联系的内容. 在教学过程中, 我始终遵循着 “有效的数学学习活动不能单独地 依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”这一《新课程标 准》的精神.


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