最新高三教案-2018年高中总复习第一轮数学第九章9.13立体几何的综合问题 精品

9.13 立体几何的综合问题 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系. 2.空间角与空间距离. 3.柱、锥、球的面积与体积. 4.平面图形的翻折,空间向量的应用. 二、点击双基 1.若 Rt△ABC 的斜边 BC 在平面α 内,顶点 A 在α 外,则△ABC 在α 上的射影是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.一条线段或一钝角三角形 解析:当平面 ABC⊥α 时,为一条线段,结合选择肢,知选 D. 答案:D 2.长方体 AC1 的长、宽、高分别为 3、2、1,从 A 到 C1 沿长方体的表面的最短距离为( ) A.1+ 3 B.2+ 10 C.3 2 D.2 3 解析:求表面上最短距离常把图形展成平面图形. 答案:C 3.设长方体的对角线长为 4,过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为 60°,则长 方体的体积是( ) A.27 2 B.8 2 C.8 3 D.16 解析:先求出长方体的两条棱长为 2、2,设第三条棱长为 x,由 22+22+x2=42 ? x=2 2 , ∴V=2×2×2 2 =8 2 . 答案:B 4.棱长为 a 的正方体的各个顶点都在一个球面上,则这个球的体积是_________________. 解析:易知球的直径 2R= 3 a. 所以 R= 4? 3 3? 3 3 a.所以 V= R= a. 3 2 2 答案: 3? 3 a 2 5.设地球半径为 R,A、 B 的球面坐标分别为东经 40°、 北纬 45°,西经 50°、 北纬 45°,则 A、 B 间的球面距离为_________________. 解析 : 北纬 45 °圈中心为 O1, 球心为 O, 则∠ AO1B=40 ° +50 ° =90 ° ,OO1 ⊥圆 O1,OO1 ⊥ O1A,OO1⊥O1B,∠OBO1=∠OAO1=45°,O1A=O1B=O1O=OAcos45°= 在 Rt△AO1B 中,AB=R,故∠AOB= 答案: 2 R. 2 ? R 3 ? ? .A、B 间的球面距离为 R. 3 3 诱思·实例点拨 【例 1】在直角坐标系 O—xyz 中, OA =(0,1,0), AB =(1,0,0), OC =(2,0,0), OS =(0,0,1). (1)求 SC 与 OB 的夹角α 的大小; (2)设 n=(1,p,q),且 n⊥平面 SBC,求 n; (3)求 OA 与平面 SBC 的夹角; (4)求点 O 到平面 SBC 的距离; (5)求异面直线 SC 与 OB 间的距离. 解:(1)如图, SC = OC - OS =(2,0,-1), OB = OA + AB =(1,1,0),则 SC ? OB 2 2 2 | SC |= 2 ? 0 ? ( ?1) = 5 ,|OB|= 12 ? 12 ? 02 = 2 . cosα =cos〈 SC , OB 〉= (2)∵n⊥平面 SBC, 2?0?0 10 10 = ,α =arccos . 5 | SC || OB | 5 ? 2 5 = ? ?n ? SC ? 0, ∴n⊥ SC 且 n⊥ BC ,即 ? ? ?n ? BC ? 0. ∵ SC =(2,0,-1), BC = OC - OB =(1,-1,0), ∴? ?2 ? q ? 0, ? p ? 1, ∴? 即 n=(1,1,2). ?1 ? p ? 0. ?q ? 2, (3)OA 与平面 SBC 所成的角θ 和 OA 与平面 SBC 的法线所夹角互余,故可先求 n 所成的角. OA 与 OA =(0,1,0),| OA |=1,|n|= ∴cos〈 12 ? 12 ? 22 = 6 . 1 6 6 , 6 OA ,n〉= OA ? n | OA || n | = 1 ? 6 . 6 = 即〈 OA ,n〉=arccos ? 6 -arccos . 2 6 ∴θ = (4)点 O 到平面 SBC 的距离即为 ∴d=| OC 在 n 上的投影的绝对值, OC · n 2 6 |= = . |n| 6 3 (5) OC 在异面直线 SC、OB 的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的 OB , 距离,故先求与 SC、OB 均垂直的向量 m. 设 m=(x,y,1),m⊥ SC 且 m⊥ 则 m· SC =0,且 m· OB =0. 1 ? x? , ? ?2 x ? 1 ? 0, ? 2 ∴? 即? ? x ? y ? 0, ? y ? 1 . ? 2 ? ∴m=( 1 1 n 2 ,- ,1),d′=| OC · |= 2 2 |m| 6 = 6 . 3 链接·提示 借助于平面的法向量 ,可以求斜线与平面所成的角 ,求点到平面的距离 ,类似地可以求异 面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量,以及如何由法向量求角、求距 离. 【例 2】 如图,已知一个等腰三角形 ABC 的顶角 B=120°,过 AC 的一个平面α 与顶点 B 的距 离为 1,根据已知条件,你能求出 AB 在平面α 上的射影 AB1 的长吗?如果不能,那么需要增加什 么条件,可以使 AB1=2? 解:在条件“等腰△ABC 的顶角 B=120°” 下,△ABC 是不能唯一确定的,这样线段 AB1 也是 不能确定的,需要增加下列条件之一,可使 AB1=2: ①CB1=2;②CB= 5 或 AB= 5 ;③直线 AB 与平面α 所成的角∠BAB1=arcsin 5 ;④∠ 5 ABB1=arctan2;⑤∠B1AC=arccos 15 . 4 【例 3】 (2006 杭州期末)如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是以∠C 为直角的等腰 直角三角形,AC=BC=CC1=2,M、N 分别在棱 CC1、A1B1 上,

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