2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数学(理科)及答案


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2016 年重庆一中高 2017 级高二上期期末考试

数 学 试 题 卷(理科) 2016.1
(时间:120 分钟 分数:150 分)

一.选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 3i 1.复数 ( i 是虚数单位)的虚部是( ) 1? i 3 3 3 (A) i (B) (C) ? i 2 2 2
2.定积分

(D) ?

3 2

? ? ? 2x ? sin x ? dx 等于(
? 3

? 3



(A)0

(B)

?2
9

?

1 2

(C)
x 3

2? 2 ?1 9
2

(D)

2? 2 ?1 9

x

3. (原创)已知命题 p : ?x ? R , e ? x ? 2 x ? 4 ? 0 ,则 ?p 为(
3 2 (A) ?x0 ? R ,使得 ln x0 ? x0 ? 2x0 ?4?0

3 2 (B) ?x0 ? R ,使得 e 0 ? x0 ? 2x0 ?4? 0 3 2 (D) ?x0 ? R ,使得 e 0 ? x0 ? 2x0 ?4?0 x

(C) ?x ? R ,使得 e ? x ? 2 x ? 4 ? 0
x 3 2

4.用反证法证明结论: “曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 至少有两个不同的交点”时,要做的 假设是( )

(A)曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 至多有两个不同的交点 (B)曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 至多有一个交点 (C)曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 恰有两个不同的交点 (D)曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 至少有一个交点 5. 已知直线 x ? ay ? a ? 2?a ? R? 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 7 ? 0 交于 M , N 两点, 则线段 MN
2 2

的长的最小值为( (A) 4 2

) (B) 2 2 (C)2 (D) 2 ) (D) x ? ?8 或 x ? 3

6. ? x ? 8?? 3 ? x ? ? 0 的一个充分不必要条件是( (A) ? 8 ? x ? 3 (B) x ? 8 (C) x ? ?3

7.给出以下五个结论:①经过 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点的直线的方程为
1

y ? y1 x ? x1 ? ; y2 ? y1 x2 ? x1

②以 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径的两个端点的圆的方程为 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 ; ③平面上到两个定点 F1 , F2 的距离的和为常数 2a 的点的轨迹是椭圆;④平面上到两个定点 F1 , F2 的 距离的差为常数 2a ? 2a ?| F 1F 2 |? 的点的轨迹是双曲线;⑤平面上到定点 F 和到定直线 l 的距离相等 的点的轨迹是抛物线。其中正确结论有( (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 ) (D)1 个

8. i 是虚数单位,若复数 ?1 ? 2i ?? a ? i ? 是纯虚数,且 a ? ?b ?1? i ? 0 ? a, b ? R ? ,复数 z 满足

| z |? 3 ,则 | z ? a ? bi | 的最大值 为( ...
(A) 3 ? 5 (B) 2

) (C) 3 ? 5 (D) 26

9. (原创)在 ? ABCD 中,已知 C ? ?3,0? , D ? 3,0 ? ,点 E , F 满足 AC ? 3 AE , DF ? 2 FA , 且 | CF | ? | DE |? 4 ,则点 A 的轨迹方程是(

????

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?



(A)

x2 y2 ? ?1 4 5

(B)

x2 y2 ? ? 1? x ? 2 ? 4 5

(C)

x2 y2 ? ?1 9 27

(D)

x2 y2 ? ? 1? x ? 3? 9 27

10.棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P 在平面 ABCD 上,满足 PC1 ? 3PA ,则点

P 的轨迹为(
(A)直线

) (B)一段圆弧

(C)椭圆

(D)圆

11. (原创)点 P ?1, t ?? t ? 0 ? 是椭圆
0

x2 y2 ? ? 1 上一点, A, B 是该椭圆上异于点 P 的两个点, 4 3
0

且直线 PA, PB 的倾斜角分别为 72 和 108 ,则直线 AB 的斜率为( (A) ?


0

1 1 或 2 2

(B) tan18

0

(C)

1 2

(D) tan 36

1 7 1 1 29 1 1 1 49 ? ,1 ? 3 ? 3 ? ,1 ? 3 ? 3 ? 3 ? , 3 2 6 2 3 24 2 3 4 40 1 1 1 1 37 1 1 1 1 1 1? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ,??。照此规律,第五个 不等式为 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ( ... 2 3 4 5 30 2 3 4 5 6
12. (原创)观察下列不等式: 1 ? (A)



26 21

(B)

29 20

(C)

67 54

(D)

95 78

二.填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S8 ? 3 ,则 a2 ? a3 ? a6 ? a7 ? _____________。 14.已知函数 f ?x ? ? e ? ax 在 ?3,??? 单调递增,则实数 a 的取值范围是_____________。
x

15. (原创)正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,己知 AA1 ? 8 ,点 E , F 分别的棱 BB1 , CC1 上,且
2

满足 AB ? BE ? 3 , FC1 ? 2 ,则平面 AEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的正切值等于 16. (原创) 设 F 是椭圆 C :



x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点,过 F 的直线与椭圆 C 交于 A, B a 2 b2

两点,分别过 A, B 作椭圆 C 的切线并相交于点 P ,线段 OP ( O 为坐标原点)交椭圆 C 于点 Q , 满足 OQ ? 2QP ,且 FQ ? OF ? 0 ,则椭圆 C 的离心率为

????

??? ?

??? ? ??? ?



三.解答题(本题共 6 个小题,共 70 分。要求每道题都必须写出必要的过程)
17. (本题满分 10 分)已知函数 f ?x ? ? e x x 2 ?3 。 ⑴求曲线 y ? f ?x ? 在点 ?0, f ?0?? 处的切线方程; ⑵求函数 y ? f ?x ? 的极值。

?

?

18. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c ,已知 a ? 4 , c ? 3 ,

1 cos A ? ? 。 3 ⑴求角 C 的大小; ⑵求 ?ABC 的面积。

19. (原创) (本题满分 12 分)数列 ?a n ?满足 an ?1 ? ⑴写出 a2 , a3 , a4 的值;

2an ? 9 n ? N ? ,且 a1 ? 2 。 an ? 4

?

?

⑵归纳猜想数列 ?a n ?的通项公式,并用数学归纳法证明; ⑶设 bn ? ?an?1 ? 3??an ? 3? n ? N ? ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。

?

?

20. (原创) (本题满分 12 分) 如右图, 四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 ?PAD 是边长为 4 的正 三角形, M 为 PD 的中点,底面 ABCD 是矩形, CD ? 3 。 ⑴求异面直线 PB 与 CM 所成的角 ? 的余弦值; ⑵求直线 AC 与平面 PCM 所成的角 ? 的正切值。

3

21. (原创) (本题满分 12 分) 已知 A ? 0, ?1? 是焦点在 x 轴上的椭圆 C 的一个顶点,F 是椭圆 C 的右焦点, 直线 AF 与椭圆 C 的另一个交点为 B , 满足 | AF |? 5 | FB | 。 以 D ? ?1,1? 为圆心的 ? D 与 椭圆 C 交于 M , N 两点,满足 | AM |?| AN | 。 ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵求圆心 D 到直线 MN 的距离 d 的值。

22. (原创) (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ln x ? 3x ? 8 。
3 ⑴求函数 y ? f ? x ? 在 ? ? e, e ? ? ( e 是自然对数的底数)的值域;

⑵设 0 ? a ? b ,求证: 0 ? 2 f ? a ? ? f ? b ? ? 3 f ?

? 2a ? b ? ? ? ? b ? a ? ln 3 。 ? 3 ?

命题人:薛廷兵 审题人:王中苏
4

2016 年重庆一中高 2017 级高二上期期末考试

数 学 答 案(理科) 2016.1
一.选择题:BACBA BDCDD CA
3 二.填空题:13. 3 2 ;14. ??, e ? ? ;15. 2 ;16. 6 3 。

?

三.解答题 17.解:⑴由题 f ??x? ? e x x 2 ? 2 x ? 3 ? e x ?x ? 3??x ?1? ,故 f ??0? ? ?3 。又 f ?0? ? ?3 ,故曲 线 y ? f ?x ? 在点 ?0, f ?0?? 处的切线方程为 y ? 3 ? ?3x ,即 3x ? y ? 3 ? 0 ; ⑵由 f ??x ? ? 0 可得 x ? 1 或 x ? ?3 , 如右表所示,得 f极大 ?x? ? f ?? 3? ? 6e ,
?3

?

?

x
f ?? x ? f ?x ?

? ??, ?3?
+ ↑

?3
0 极大

?? 3, 1?
- ↓

1 0 极小

?1,???
+ ↑

f极小 ?x? ? f ?1? ? ?2e 。
18.解:⑴由题可知角 A 为钝角,故角

C 为锐角。因 sin A ? 1 ? cos2 A ? 2 2 3 ,故

4 3 2 0 ? ,即 sin C ? ,得 C ? 45 ; 2 2 2 3 sin C

⑵由⑴得 sin B ? sin 45 ? A ?
0

?

?

2 ?sin A ? cos A? ? 4 ? 2 ,故 ?ABC 的面积为 2 6

S?

1 ac sin B ? 4 ? 2 。 (提示:亦可先用余弦定理计算出 b ? 2 2 ? 1 ,再用面积公式计算) 2
19.解:⑴ a2 ? 5 2 , a3 ? 8 3 , a4 ? 11 4 ; ⑵ an ? 3 ?

1 ? ,证明如下:①当 n ? 1 时猜想显然成立;②假设当 n ? k k ? N 时猜想成立, n

?

?

即 ak ? 3 ?

1 2ak ? 9 ? 1 2? ? 1 ? 3k ? 2 ,则 ak ?1 ? ,故当 n ? k ? 1 时猜 ? ? ? 3 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3? k k? ? k ? k ?1 ak ? 4 ? k ?1 1 1 1 1 ? ? ? ,故 n ?1 n n n ?1

想成立。综上知猜想成立; ⑶由⑵可知 bn ?

n 1 n ?1 1 ? 。 Tn ? ? ? ? ? ? ? 1? i ?1? n ?1 n ?1 i ?1 ? i

20.法一:⑴如图,取 AD 的中点 N ,连 PN , BN , BD , 记 BD ? AC ? O , 连 OM 。 则 O 为 BD 中点, 故 OM // PB , 且 PB ? 2OM ,且 ?OMC ? ? 。因为平面 PAD ? 平面
5

ABCD ,且 CD ? AD , PN ? AD ,故 CD ? 平面 PAD , PN ? 平面 ABCD ,因此 CD ? DM , 2 5 PN ? BN 。由题易知 PB ? 2 3 ? 22 ? 32 ? 5 , CM ? 32 ? 22 ? 13 ,故 OM ? 。又 2

? ?

OC ?

5 CM 13 ,故 cos ? ? 即为所求; ? 2 2OM 5

⑵由⑴可知 AM ? 平面 PCM ,故 MC 即为 AC 在平面 PCM 的射影,从而 ?ACM 即为直线

AC 与平面 PCM 所成的角 ? 。因 CM ? 13 , AM ? 2 3 ,故 tan ? ?

AM 2 39 即为所求。 ? CM 13

BC 中点 N , 法二: 如图, 取 AD 中点 O , 由题知 OP ? AD ON ? AD 且 。因平面 PAD ? 平面 ABCD ,故 OP ? 平面

ABCD ,从而 ON , OD, OP 两两垂直。因此可以 O 为原点,以
???? ???? ??? ? ON , OD, OP 分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系,则
A?0,?2,0? , B?3,?2,0? , C ?3,2,0? , P 0,0,2 3 , D?0,2,0? ,
??? ? ??? ? M 0,1, 3 。故 PB ? 3, ?2, ?2 3 , PC ? 3, 2, ?2 3 。

?

?

?

?

?

?

?

?

???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ??? ? |CM ? PB| | ?9 ? 2 ? 6 | 13 ? ??? ? ? ⑴因 CM ? ?3, ?1, 3 ,故 cos ? ?| cos CM , PB |? ???? ; ? 5 | CM || PB | 13 ? 25 ???? ? ??? ? ? ⑵设 n ? ? x, y, z ? 是平面 PCM 的法向量,因 PM ? 0,1, ? 3 , PC ? 3, 2, ?2 3 ,且

?

?

?

?

?

?

? ???? ? ? ??? ? ? ? ?n ? PM ? 0 ? y ? 3z ? 0 ,即 ? ,取 z ? 3 得 n ? 0,3, 3 。又 AC ? ?3,4,0? ,设 AC 与 ? ? ? ??? ? ? ?n ? PC ? 0 ?3x ? 2 y ? 2 3z ? 0

?

?

平面 PCM 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos AC, n |?|

??? ? ?

13 0 ? 12 ? 0 2 3 ,故 cos ? ? ,从而 |? 5 5 5 ? 12

tan ? ?

2 3 2 39 即为所求。 ? 13 13
x2 ? 6c 1 ? ? y 2 ? 1 ,且 F ? c, 0 ? ,则由 | AF |? 5 | FB | 可知 B ? , ? ,代入 2 a ? 5 5? x2 ? y 2 ? 1; 3

21.解:⑴由题可设 C :

C 的方程并化简得 2a 2 ? 3c 2 ? 3?a 2 ?1?,即 a 2 ? 3 ,故 C :

2 x12 x2 2 2 ? y1 ? 1, ? y2 ? 1 。两式 ⑵设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,且 E ? x0 , y0 ? 为 MN 的中点,则 3 3
2 2 2 2 相减得 x1 ? x2 ? 3 y1 ? y2 ? 0 ,故 2 x0 ? 6 y0 ? kMN ? 0 。因 | AM |?| AN | ,故点 A 在线段 MN 的

?

?

6

中垂线上。又点 D 在线段 MN 的中垂线上,故 A, E , D 三点共线,且 AD ? MN 。因 k AD ? ?2 ,故

k MN ?

?2 x0 1 1 3 y ?1 ,从而 y0 ? 。因 ? 2 ? k AD ? k AE ? 0 ,故可解得 x0 ? ? , y0 ? 。所以圆心 2 2 3 4 x0

D 到直线 MN 的距离 d ?| DE |? 5 4 。
22.解:⑴法一:由题易知 f ? ? x ? ? ln x ? 2 ,由 f ? ? x ? ? 0 可得 x ? e 。因为 f ?e? ? 8 ? 2e ,
2
3 2 f e2 ? 8 ? e2 , f e3 ? 8 ,故函数 y ? f ? x ? 在 ? ? e, e ? ? 的值域为 ? ?8 ? e ,8? ?;

? ?

? ?

法二:由题易知 f ? ? x ? ? ln x ? 2 ,由 f ? ? x ? ? 0 可得 x ? e ,由 f ? ? x ? ? 0 可得 0 ? x ? e 。故
2

2

2 2 2 2 3 函数 y ? f ? x ? 在 0, e ? e , ?? ? ,从而 y ? f ? x ? 在 ? ?e, e ? ? ?e , e ? ? ? 。因为 f ?e? ? 8 ? 2e , 3 2 f e2 ? 8 ? e2 , f e3 ? 8 ,故函数 y ? f ? x ? 在 ? ? e, e ? ? 的值域为 ? ?8 ? e ,8? ?;

?

? ?

?

?

? ?

? ?

⑵令 g ? b ? ? 2 f ? a ? ? f ? b ? ? 3 f ?

3b ? 2a ? b ? ? 2a ? b ? ? 0, ? ,则 g ? ? b ? ? f ? ? b ? ? f ? ? ? ? ln 2a ? b ? 3 ? ? 3 ?

故 g ? b ? 在 ? a, ??? ? , 得 g ?b? ? g ?a ? ? 0 。 令 h? b ?? g b? ?? b? a ?

n3 ?l

?? , 则 h? ? b ?? g b

l3 ??n

?

ln

b ? 0 ,故函数 h ? b ? 在 ? a, ??? ? ,得 h?b ? ? h?a ? ? 0 ,故 g ?b ? ? ?b ? a ? ln 3 。综上可知 2a ? b

? 2a ? b ? 0 ? g ?b? ? ?b ? a ? ln3 ,即 0 ? 2 f ? a ? ? f ? b ? ? 3 f ? ? ? ? b ? a ? ln 3 。 ? 3 ?

7


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