武汉市2016届高三数学5月调研试题文科含答案

武汉市 2016 届高三数学 5 月调研试题 (文 科含答案)

武昌区 2016 届高三年级五月调研考试 文科数学试题及参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,,则集合的子集共有(C) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.8 个 2.若复数是实数,则实数(B) A.1B.C.D. 3.若变量 x,y 满足约束条件则的最大值是(C) A.B.0C.D. 4.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录 用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的 概率为(D) A.B.C.D. 5.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的 一条渐近线方程为,则该双曲线的方程为(B) A.B.C.D. 6.已知,,则(A) A.B.1C.D.

7.执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8, 则判断框内可填入的条件是(B) A. B. C. D. 8.设,,,则(C) A.B.C.D. 9.下面是关于公差的等差数列的四个命题: p1:数列是递增数列;p2:数列是递增数列; p3:数列是递增数列;p4:数列是递增数列. 其中的真命题为(D) A.,B., C.,D., 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 表面积为(B) A.54 B.60 C.66 D.72 11.动点 A(x,y)在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速 旋转,12 秒旋转一周.已知时间时,点 A 的坐标是,则

当时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位:秒)的函数的单 调递增区间是(D) A.B.C.D.和 12.已知椭圆 Γ :的离心率为,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0)的直线与 Γ 相交于 A,B 两点.若,则(B) A.1B.C.D.2 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知点,线段 PQ 的中点 M 的坐标为.若向量与向量 a(λ ,1)共线,则 λ . 答案: 14.已知数列是等差数列,若,,构成公比为 q 的等比 数列,则. 答案:1 15.已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上.若, ,则该球的体积等于. 答案: 16.函数在上的最大值为. 答案: 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 12 分) 在中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且.

(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若,,求 a,c. 解:(Ⅰ)由 bsinA=3acosB 及正弦定理,得 sinBsinA =3sinAcosB. 在△ABC 中,sinA≠0, ∴sinB=3cosB,∴tanB=3. ∵0<B<π ,∴B= π 3.………………………………………………………… …6 分 (Ⅱ)由 sinC=2sinA 及正弦定理,得 c=2a.① 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,得 32=a2+c2-2accosπ 3,即 a2+c2-ac=9.② 解①②,得 a=3,c= 23.……………………………………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表: 工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄 140 244 340 441 533

640 745 842 9431036 1131 1238 1339 1443 1545 1639 1738 18361927 2043 2141 2237 2334 2442 2537 2644 27422834 2939 3043

3138 3242 3353 3437 3549 3639 (Ⅰ) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44,列 出样本的年龄数据; (Ⅱ)计算(Ⅰ)中样本的平均值和方差; (Ⅲ)求这 36 名工人中年龄在内的人数所占的百分比. 解: (Ⅰ) 根据系统抽样的方法,抽取容量为 9 的样本, 应分为 9 组,每组 4 人. 由题意可知,抽取的样本编号依次为:2,6,10,14, 18,22,26,30,34, 对应样本的年龄数据依次为: 44 ,40,36,43,36,37, 44,43,37.……4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ),得 x-=44+40+36+43+36+37+44 +43+379=40, s2=19[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2 +(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37 -40)2]=1009.…………………………………………8

分 (Ⅲ)由(Ⅱ),得 x-=40,s=103,∴x--s=3623, x-+s=4313, 由表可知,这 36 名工人中年龄在(x--s,x-+s)内共有 23 人,所占的百分比为 2336×100﹪≈63.89 ﹪.………………………………………………………… ………12 分 19.(本小题满分 12 分) 如图,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点,Q 为 PA 的中点,G 为的重心,AB 是圆 O 的直径,且. (Ⅰ)求证:平面 PBC; (Ⅱ)求 G 到平面 PAC 的距离. 解: (Ⅰ) 如图,连结 OG 并延长交 AC 于 M,连结 QM,QO. ∵G 为△AOC 的重心,∴M 为 AC 的中点. ∵O 为 AB 的中点,∴OM∥BC. ∵OM⊄平面 PBC,BC⊂平面 PBC,∴OM∥平面 PBC. 同理 QM∥平面 PBC. 又 OM⊂平面 QMO,QM⊂平面 QMO,OM∩QM=M, ∴平面 QMO∥平面 PBC. ∵QG⊂平面 QMO, ∴QG∥平面

PBC.………………………………………………………… ………6 分 (Ⅱ)∵AB 是圆 O 的直径,∴BC⊥AC. 由(Ⅰ),知 OM∥BC,∴OM⊥AC. ∵PA⊥平面 ABC,OM⊂平面 ABC,∴PA⊥OM. 又 PA⊂平面 PAC,AC⊂平面 PAC,PA∩AC=A, ∴OM⊥平面 PAC,∴GM 就是 G 到平面 PAC 的距离. 由已知可得,OA=OC=AC=1, ∴△AOC 为正三角形,∴OM=32. 又 G 为△AOC 的重心,∴GM=13OM=36. 故 G 到平面 PAC 的距离为 36.…………………………………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点,直线:.设圆 C 的半径为 1,圆心在上. (Ⅰ) 若圆心 C 也在直线上,过点 A 作圆 C 的切线,求切 线的方程; (Ⅱ)若圆 C 上存在点 M,使,求圆心 C 的横坐标 a 的取 值范围. 解:(Ⅰ)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 与直线 y=x -1 的交点, 由 y=2x-4,y=x-1.解得 C(3,2),于是切线的斜率

必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3,即 kx-y+ 3=0, 由题意,|3k+1|k2+1=1,解得 k=0,或 k=-34. 故所求切线方程为 y=3,或 y=-34x+3,即 y=3,或 3x+4y-12=0.……4 分 (Ⅱ)∵圆 C 的圆心在直线 y=2x-4 上, ∴圆 C 的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1. 设点 M(x,y),由|MA|=2|MO|,得 x2+(y-3)2=2x2+ y2, 化简,得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4, ∴点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上, ∴圆 C 和圆 D 有公共点,则 2-1≤|CD|≤2+1, ∴1≤(a-0)2+[(2a-4)-(-1)]2≤3,即 1≤5a2- 12a+9≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 x∈R; 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤125. 故圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为[0, 125].…………………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 已知函数(k 为常数,是自然对数的底数),曲线在点处

的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)设,其中为的导函数.证明:,. 解:(Ⅰ)由 f(x)=lnx+kex,得 f′(x)=1-kx- xlnxxex,x∈(0,+∞). 由已知,得 f′(1)=1-ke=0,∴k= 1.……………………………………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ),得 g(x)=(x2+x)1-x-xlnxxex=x+ 1ex(1-x-xlnx),x∈(0,+∞). 设 h(x)=1-x-xlnx,则 h′(x)=-lnx-2,x∈(0, +∞). 令 h′(x)=0,得 x=e-2. 当 0<x<e-2 时,h′(x)>0,∴h(x)在(0,e-2)上是 增函数; 当 x>e-2 时,h′(x)<0,∴h(x)在(e-2,+∞)上是 减函数. 故 h(x)在(0,+∞)上的最大值为 h(e-2)=1+e-2, 即 h(x)≤1+e-2. 设 φ (x)=ex-(x+1),则 φ ′(x)=ex-1>0,x∈(0, +∞), ∴φ (x)在(0,+∞)上是增函数, ∴φ (x)>φ (0)=0,即 ex-(x+1)>0,∴0<x+1ex

<1. ∴g(x)=x+1exh(x)<1+e-2. 因此,对任意 x>0,g(x)<1+e- 2.……………………………………………12 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线 分别交两圆于 C,D 两点,连结 DB 并延长交⊙O 于点 E, 已知. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求线段 AE 的长. 解:(Ⅰ)∵AC 切⊙O′于 A,∴∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB,∴△ACB∽△DAB, ∴ACAD=ABBD,即 ACBD=ABAD. ∵AC=BD=3,∴ABAD= 9.…………………………………………………5 分 (Ⅱ)∵AD 切⊙O 于 A,∴∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA,∴△EAD∽△ABD, ∴AEAB=ADBD,即 AEBD=ABAD. 由(Ⅰ)可知,ACBD=ABAD, ∴AE=AC= 3.…………………………………………………………… ………10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线的参数方程为 (t 为参数) .以 原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲 线 C 的极坐标方程为. (Ⅰ) 把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明 它表示什么曲线; (Ⅱ)若 P 是直线上的一点,Q 是曲线 C 上的一点,当取 得最小值时,求 P 的直角坐标. 解: (Ⅰ) 由 ρ =23cosθ ,得 ρ 2=23ρ cosθ ,从而有 x2+y2=23x, ∴(x-3)2+y2=3. ∴曲线 C 是圆心为(3,0),半径为 3 的 圆.…………………………………5 分 (Ⅱ)由题设条件知,|PQ|+|QC|≥|PC|,当且仅当 P, Q,C 三点共线时,等号成立, 即|PQ|≥|PC|-3,∴|PQ|min=|PC|min-3. 设 P(-32t,-5+12t),又 C(3,0), 则|PC|=(-32t-3)2+(-5+12t)2=t2-2t+28=(t -1)2+27. 当 t=1 时,|PC|取得最小值,从而|PQ|也取得最小值, 此时,点 P 的直角坐标为(-32,- 92).………………………………………10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知,,函数的最小值为 2. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)证明:与不可能同时成立. 解:(Ⅰ)∵a>0,b>0, ∴f(x)=|x-a|+|x+b|≥|(x-a)-(x+b)|=|-a- b|=|a+b|=a+b, ∴f(x)min=a+b. 由题设条件知 f(x)min=2, ∴a+b= 2.…………………………………………………………… ……………5 分 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 及基本不等式,得 2ab≤a+b=2,∴ab≤1. 假设 a2+a>2 与 b2+b>2 同时成立, 则由 a2+a>2 及 a>0,得 a>1. 同理 b>1,∴ab>1,这与 ab≤1 矛盾. 故 a2+a>2 与 b2+b>2 不可能同时成 立.……………………………………10 分


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