浙江省镇海中学2017年高中数学竞赛模拟(五)试题Word版含答案

2017 年镇海中学数学竞赛模拟试卷(5) 一、填空题(每小题 7 分,共 56 分) 姓名_______ . 1 、若 y ? log 2016 x 2 ? ax ? 65 的值域为 R ? ,那么 a 的取值范围是 ? ? 2 、四面体 ABCD 中, ?ABC 是一个正三角形, AD ? BD ? 2 , AD ? BD , AD ? CD ,则 D 到面 ABC 的距离为 . 3 、若对于所有的正数 x, y ,均有 x ? y ? a x ? y ,则实数 a 的最小值是 . 4 、已知 P 是正方形 ABCD 内 切 圆 上 的 一 点 , 记 ?APC ? ? , ?BPD ? ? , 则 tan 2 ? ? tan 2 ? ? . Y D P O C X A B 5 、等差数列 2, 5, 8,? , 2015与 4,9,14,?, 2014 的公共项(具有相同数值的项)的个数 是 . 6 、设 x 为锐角,则函数 y ? sin x sin 2 x 的最大值是 . 7 、若将前九个正整数 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 分别填写于一张 3 ? 3 方格表的九个格子中,使得 每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是 二、解答题(共 64 分) 8、 ( 14 分)如图, CD 是椭圆 x2 y 2 ? ? 1 的一条直径, a 2 b2 Y N M O D B X 过椭圆长轴的左顶点 A 作 CD 的平行线,交椭圆于 另一点 N ,交椭圆短轴所在直线于 M , 证明: AM ? AN ? CO ? CD . A C 9、 ( 15 分)设 x, y, z 为正数,满足: xy ? yz ? zx ? 1 ,证明: xyz( x ? y)( y ? z)( x ? z) ? (1 ? x2 )(1 ? y 2 )(1-z2 ) 10、 ( 20 分) 设集合 A ? ?1,2,?,2016? , 对于 A 的任一个 1008 元子集 X , 若存在 x, y ? X , 满足 x ? y, x y , 则称 X 为 “好集” , 求最大的正整数 a , (a? A ) , 使得任一个含 a 的 1008 元子集皆为“好集” . 2017 年高中数学竞赛模拟试卷(5)答案 一、填空题(每小题 7 分,共 56 分) 1 、若 y ? log 2016 x 2 ? ax ? 65 的值域为 R ? ,那么 a 的取值范围是 ? ? .答案: ?16 ? a ? 16 . 解:由值域 y ? R ? ,? x ? ax ? 65 ? 1 , ? x ? ax ? 64 ? 0 2 2 ?? ? a 2 ? 4 ? 64 ? 0 ,? ?16 ? a ? 16 . 2 、四面体 ABCD 中, ?ABC 是一个正三角形, AD ? BD ? 2 , AD ? BD , AD ? CD ,则 D 到面 ABC 的距离为 解:如图,据题意得, AB ? .答案: 2 3 . 3 AD2 ? BD2 ? 2 2 , A C 于是 BC ? CA ? AB ? 2 2 , CD ? 2 2 2 AC2 ? AD2 ? 2 , 因 BC ? BD ? CD ,得 BD ? CD ,从而以 D 为顶点的三面角是三直三面角, 四面体体积 V ? D B 1 4 3 AD ? S ?BCD ? ,而 S?ABC ? ? AB 2 ? 2 3 , 3 3 4 若设 D 到面 ABC 的距离为 h ,则 V ? 1 2 3 2 3 4 h ? S?ABC ? h ,由 h? , 3 3 3 3 得到 h ? 2 3 . 3 . 答案: 3、 若对于所有的正数 x, y , 均有 x ? y ? a x ? y , 则实数 a 的最小值是 2. ? y y ? x x ? ? ? ? 2, 解:由 ? ?? ? 1 ,得 ? ? x? y ? ? x? y ? ? x? y x? y ? ? ? ? 当 x ? y 时取等号. 2 2 4 、已知 P 是正方形 ABCD 内 切 圆 上 的 一 点 , 记 ?APC ? ? , ?BPD ? ? , 则 tan 2 ? ? tan 2 ? ? .答案: 8 . Y D P O C X A B 解:如图建立直角坐标系,设圆方程为 x2 ? y 2 ? r 2 , 则正方形顶点坐标为 A(?r , ?r ), B(r , ?r ), C (r , r ), D(?r , r ) , 若点 P 的坐标为 P(r cos ? , r sin ? ) ,于是直线 PA, PB, PC , PD 的斜率分别为 k PA ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? , k PB ? ? , k PD ? ? , k PC ? , 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 2 ? k ? k PA ? 2 所以 tan ? ? ? PC ? ? 4(cos ? ? sin ? ) , ? 1 ? k PA k PC ? ? k ? k PB ? 2 tan ? ? ? PD ? ? 4(cos ? ? sin ? ) , 1 ? k k ? PB PD ? 2 2 由此立得 tan 2 ? ? tan 2 ? ? 8 . 解 2:取特例, P 在坐标轴上,则 ? ? ? , 这时, tan ? ? cot ? ? 2 ? 2 ? tan ? ,? tan 2 ? ? tan 2 ? ? 22 ? 22 ? 8 1 5 、等差数列 2, 5, 8,? , 2015与 4,9,14,?, 2014 的公共项(具有相同数值的项)的个数 是 .答案:

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