高中数学“圆锥曲线”教学研究


专题讲座
高中数学“圆锥曲线”教学研究
金宝铮 北京师范大学二附中 一、对“圆锥曲线”数学知识的深层次理解 (一)“圆锥曲线”知识结构 圆锥曲线的内容在新课标中安排在选修课程的选修系列 1 和选修系列 2 之中. 知识结构图:

圆锥曲线研究的图形对于学生来讲是比较陌生的图形. 虽然在初中阶段学习函数的时 候,同学们听说过抛物线、双曲线的名词,当时的认识只是停留在直观的感受. 从二次函数 的图像,经过教师的授课,知道二次函数的图像叫做抛物线;学习反比例函数时,教师告知 反比例函数的图像是双曲线,并且是以坐标轴为渐近线的. 对于满足什么条件的点的轨迹是抛物线、双曲线学生的认识仍然是一片空白. 只有学 习了本单元内容之后,学生才会对圆锥曲线有一个全面、准确的认识.本讲从轨迹方程的角 度研究圆锥曲线.首先给出椭圆、双曲线、抛物线的定义,依据定义推导他们的方程,在此 基础上,依据他们的方程研究三种曲线的几何性质.

虽然椭圆、双曲线、抛物线都属于平面图形,但是运用平面几何的知识和研究方法很 难研究的透彻.解析几何学科的特点和优越性从这个研究过程中开始有强烈的显现.在此之 前用代数的方法研究直线和圆的教学,从学习方法上来说,为本讲的学习奠定了基础.区别 在于,尽管同样是研究几何图形的性质,在研究直线与圆的阶段,平面几何的知识得到充分 的应用,利用了平面几何的相关知识,有时可以使得运算过程得到简化. 选修系列 1 和选修 2 系列对于教学的要求上有所不同.主要体现在两点. 第一点: 选修 系列 1 中没有曲线与方程这一节的要求.这样安排教学要求的目的是,对于学习选修系列 1 的同学从理论的学习要求做了适当的降低.只要求直观的解决问题,直观的认识具体曲线的 定义、性质.第二点是选修系列 1 中没有直线与圆锥曲线的教学内容,对于这一点的要求不 同,我们建议教师还是应该予以适当的补充.从目前的考试要求以及高考试题看,在文科数 学试卷中,对于这个内容还是有要求的.但是不会要求太高,教师在教学中可以侧重以直线 与椭圆的位置关系的开展讨论,其他的曲线讨论可以轻描淡写的处理,体现出选修系列 1 和选修系列 2 的区别. (二)如何把握圆锥曲线的定义 圆锥曲线的定义有多种形式, 教师应该尽量的了解和知道.椭圆的定义学生首先接触的 都是到两个定点距离之和等于定长的点的集合(轨迹). 为什么椭圆、双曲线、抛物线称为圆锥曲线?教科书中有详细的说明.建议教师不要忽 视其中的原委.有些试题还是在考查该项定义. 下面请看几个案例,虽然都是利用圆锥曲线的定义解题,但是各有特点.

例 1 如图 为斜足, 若点

是长度为定值的平面 在平面 内运动, 使得

的斜线段,点 的面积为定值,

则动点 P 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行线

我们通过这个例题可以让学生进一步认识圆锥曲线的定义. 根据已知条件 积为定值, 是长度为定值的平面 的斜线段,那么点 到直线

的面

的距离为定值,仅 到

仅考虑这一点,点 P 应该在一个圆柱的侧面上,这个圆柱是以 PA 所在的直线为轴,点

直线

的距离为底面半径.同时这个点又在平面α 上,点 P 的轨迹是平面α 与圆柱侧面的

截线,依据圆锥曲线的定义,应该选 B. 对于概念的认识,不仅仅限于对概念的记忆,甚至个别的老师还让学生齐声背诵定义, 这样的结果往往是学生知其然,不知其所以然.教师如果能够选择像上面类似的题目,对于 学生深刻理解概念是有积极作用的.下面例题的选取也是这个目的. 例 2 如图,线段 绕点 旋转后与点 =8,点 绕点 在线段 上,且 .设 =2, 为线段 = , 上一动点,点 .则

旋转后重合于点

的面积为

的定义域为________;

的最大值为 ________.

据题意,PD=PB,PD+PC=BC=6,又 CD=CA=2,依据定义知: 点 P 在以 C、D 为焦点的椭圆上,其焦距为 2,其长轴长为 6,可得 出短轴长为 大值为 . ,PC= 时, 的面积取得最大值,最

当看到一个动点到两个定点距离之和为定长时,学生应该联想到椭圆的定义,学生能 否做到这一点,教师的引导和适当的例题是关键. (三)圆锥曲线不同形式的方程 在选修系列 4 教学要求中,选修 4-4 是坐标系与参数方程.在部分的教学内容中,将增 加圆锥曲线的参数方程的形式和极坐标形式.虽然只是一种初步的、带有介绍形式的,建议 教师还是抓住机会与选修系列 1、选修系列 2 的内容进行有机的整合.具体建议稍后再详细 说明. (四)教学内容的重点、难点 圆锥曲线的教学重点是:三种圆锥曲线的方程与性质.在此之前的学习中,我们已经初 步感受了解析几何学科的特点,以及如何用代数的方法研究几何图形的性质.本讲与之前的 研究所不同的是, 之前研究的对象是学生熟知的图形, 直线和圆.利用方程研究曲线的性质, 从知识上学生没有感到有新的收获,没有获得直线与圆的新的几何性质.然而本章研究的曲 线对于学生来说是陌生的.学生对于椭圆、 双曲线、 抛物线的认识几乎接近空白.什么取值范 围、对称轴、对称中心、顶点、离心率、渐近线等,对于学生来说都是全新的.研究之前,

学生对于曲线的这些性质处于无知或者是朦胧的状态, 学习之后成就感明显的高于直线与圆 的学习. 圆锥曲线的难点是:圆锥曲线的综合问题. 特别是直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合题目,学生感觉难度较大. 与圆锥曲线 有关的综合题,题目呈现的方式是多样的.不像三角函数、立体几何题目的呈现方式那样单 纯,可以从模仿入手. 对于学生来说,对于分析问题、解决问题的能力要求较高.模式化的 东西相对少一些.

二、“圆锥曲线”的教学策略以及学生学习中常见的错误与问题的分析与解决策略 (一)正确认识曲线的方程 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程由于焦点的位置不同,方程的形式相应的不同.椭圆 按照焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上, 相应的有两个标准方程; 双曲线也是按照焦点在 x 轴上 和焦点在 y 轴上,相应的有两个标准方程;而抛物线则是按照焦点在 x 轴的正半轴上、焦点 在 x 轴的负半轴上、 焦点在 y 轴的正半轴上、 焦点在 y 轴的负半轴上相应的有四个标准方程. 确定曲线的方程,就是根据条件确定方程中的参数的具体数值.根据题目所给的条件, 使用数学中常见的待定系数法,通常可以确定参数的数值,换一个角度来说,曲线方程的确 定也是方程思想的应用.依据条件,找到参数适合的方程或方程组,从本质上来说,与列方 程解应用题是相同的. (二)数学思想的渗透与培养 前面已经提到利用方程的思想确定椭圆、双曲线、抛物线的方程. 其他几个重要的数 学思想在本讲中也应该积极的渗透. 数形结合的数学思想. 同一个问题可以有数、形两种不同的表现形式. 比如直线与椭 圆的位置关系有相交、相切、相离.如何描述直线与椭圆相交?从“形”的角度说,直线与 椭圆恰有一个公共点;如果从“数”的角度来描述,将直线的方程代入椭圆的方程,得到一 个关于 x 的(或者是关于 y 的)一元二次方程.这个方程的判别式应该为 0. 化归思想的应用对于本讲内容来说也是很好的渗透的平台. 分类讨论的思想在本讲学习中, 也是应该给予足够的重视.分类讨论的思想一定要让学 生明确不是为了分类而分类.许多的分类在解题之前是不明确的,在解题的过程中,依据算 法、算理的需求,对字母的取值限制进行讨论.

化归是数学中对能力要求较强的一种思想方法.所谓化归,就是将复杂的问题、不熟悉 的问题转化为简单的、熟悉的问题.对于解析几何的综合性问题,我们建议将解题的过程划 分为两个阶段,设计解题方案、实施解题方案的两个过程.

例 1 已知椭圆



)的焦距为

,离心率为

.

(Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)设过椭圆顶点 成等比数列,求

,斜率为 的直线交椭圆于另一点 的值.

,交 轴于点

,且

化归的思想教师说起来很简单, 但是学生做起来往往找不到实施的办法.需要教师的示 范和在具体问题解决中的认识,需要一定时间的培养和训练. 例 1 中解决第 (Ⅱ) 问可以设计三个解题方案.第一个方案是按照常规思路设法把点 B、 D、E 的坐标用斜率 k 表示出来,之后用两点间距离把 利用他们成等比数列,求出 的长度表示出来,再

的值.表面一看,这个思路很好,但是在实际的解题过程中可

以看到,题目的运算量较大.第二个方案也是按照常规思路设法把点 B、D、E 的坐标用斜率

k 表示出来,之后将三条线段

投影到 x 轴上, 利用相似三角形的知识可以证

明,投影到坐标轴上的三条线段按照相应的对应关系也是成等比数列的.等比数列这个限制 条件就变成三个点的横坐标的限制条件.第三个方案也是按照常规思路设法把点 B、D、E 的 坐标用斜率 k 表示出来,之后将三条线段 投影到 y 轴上,利用相似三角形

的知识可以证明,投影到坐标轴上的三条线段按照相应的对应关系也是成等比数列的.等比 数列这个限制条件就变成三个点的纵坐标的限制条件.比较上述三个方案,显然第一个方案 的运算量最大, 后两个方案的运算量显著的下降. 当我们把三条线段投影到坐标轴上, 运算 量下降了,达到了将复杂的问题转化为简单问题的目的.再细致的比较后两个方案,由于点

E 的纵坐标为 0,第三个方案比第二个方案的运算量还要再小一些,所以选择方案三.
详解如下:

(Ⅰ)由已知



.

解得



所以



椭圆的方程为

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得过

点的直线为









所以

,所以



依题意



.

因为

成等比数列,所以



所以

,即





时,

,无解,



时,

,解得



所以

,解得



所以,当

成等比数列时,

.

回顾对这个问题的分析与解答,教师设计了三个解题方案,在实施方案之前,要对设 计的三个方案进行比较、分析,从中选出简捷的方案. (三)对于参数方程处理方式的建议 参数方程的学习在这一阶段的学习过程中, 是一个相对独立的内容.原则上不需要做过 多的补充.但是对于椭圆的参数方程, 还是建议教师更具学生的实际情况做适当的补充.主要

是对椭圆

上的点的坐标可以表示为

, 特别是对于一些最值有关

的问题解决还是有益处的.

例 1 已知矩形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 形 ABCD 面积的最大值.

上, 且对称轴平行于坐标轴.求矩

解:设点 A

在第一象限,

例 2 已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD 是椭圆 上.求梯形 ABCD 面积的最大值. 解法仿照例 1,此处略去.

的长轴,顶点 B、C 都在椭圆

以上两个例题的特点是很明确的,使用参数方程形式描述椭圆上的点的坐标,其中 a、

b 都是常量,只有θ 一个字母是变量,这样面积的公式将是仅有一个自变量的解析式.学生
在中学学习的函数仅限于一元函数, 对于两个自变量的函数学生往往感到困惑, 使用参数方 程处理上述问题, 回避了出现二元函数的矛盾, 建议教学中考虑介绍椭圆的参数方程的应用. (四)直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系比直线与圆的位置关系要复杂.首先打破了学生头脑中固 有的认识:直线与曲线有恰一个公共点,直线与曲线相切.当直线与抛物线的对称轴平行的 时候,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线相交而不是相切!同样,当直线与

双曲线的渐近线平行的时候, 直线与双曲线恰有一个公共点, 此时直线与双曲线也是相交而 不是相切!直线与圆锥曲线的问题,通常不要真的把直线与圆锥曲线的交点求出来,一般交 点的坐标比较难求.联立方程组之后,先转化为一元二次方程,可以借助一元二次方程根与 系数的关系,将与根有关的问题转化为两根和、两根积的形式,分别把两根之和、两根之积 看做两个整体,再做整体的代换,可以使的整体的运算过程比较简化.

例 1 已知椭圆

经过点

其离心率为

.

(Ⅰ)求椭圆

的方程;

(Ⅱ)设直线 与椭圆 其中顶点 P 在椭圆 上,

相交于 A、B 两点,以线段 为坐标原点. 求

为邻边作平行四边形 OAPB,

到直线距离的 最小值.

解:(Ⅰ)由已知,

,所以

, ①

又点

在椭圆

上,所以

, ②

由①②解之,得

.

故椭圆

的方程为

.

(Ⅱ) 当直线 有斜率时,设

时,

则由

消去

得,



, ③

设 A、B、

点的坐标分别为

,则:



由于点

在椭圆

上,所以

.

从而 又点 到直线 的距离为:

,化简得

,经检验满足③式.

当且仅当

时等号成立

当直线 无斜率时,由对称性知,点 线 的方程为 ,所以点

一定在 轴上,从而

点为

,直

到直线 的距离为 1 .

所以点

到直线 的距离最小值为

.

这是一个典型的直线与圆锥曲线有关的问题. 对于题目解答的思路粗略的说,可以将 直线的方程代入椭圆的方程,消去字母 y(也有时消去字母 x),得到一个关于 x 的一元二 次方程.在解题的过程中,我们设 A、B、 我们并没有真的去把 点的坐标分别为 ,但是

这四个量求解出来,而是利用一元二次方程的根系关

系,用含有参数 k、m 的代数式将其表示出来.

学生在学习的开始阶段,对于上述的解法并不熟悉. 其中一个重要的原因是义务教育 阶段的课程标准中, 对于一元二次方程的根系关系较之前的教学大纲的要求有所降低, 学生 对于这个内容的基础知识以及理解程度都不是很高,教师可以适当的加以补充. 学生对于分析问题的综合能力需要一个比较长的螺旋式上升的过程,学生在学习的过 程中,注意力往往只关注本单元的学习内容,不善于联想其他的数学知识,为了提高学生综 合运用知识的能力,使得学生能够主动地、有意识的联想各个模块知识间的联系,教师在选 择题目时候, 要有意识的选择一些综合其他模块知识的题目, 避免全部都是当前每模块的试 题.

例 2 已知椭圆 C 的左, 右焦点坐标分别为

,离心率是

.椭圆

C 的左,右顶点分别记为 A,B.点 S 是椭圆 C 上位于 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线

分别交于 M,N 两点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 长度的最小值;

(3)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上的 T 满足:T 到直线 AS 的距离等于

.

试确定点 T 的个数. 例 2 的第二问是求弦长的最小值, 问题解决的思路与例 1 是一致的.第三问是研究在第 二问的条件下, 判断符合条件的点 T 的个数, 这个问题的解决要注意用数形结合的思想去分 析,构造与 AS 平行的直线系,在这个直线系中,找到与椭圆相切的两条直线,不难得出问 题的答案.

进一步引导学生思考,当我们调整数值 发生什么变化? (五)关于动点轨迹的研究

时,随着这个数值的变化,问题的结论会

对于不同基础的学生可以采用不同的研究方式.基础中等的学生,可以从教师示范,学 生模仿开始.之后再进行创造.模仿的过程中, 教师要揭示解题的思路和关键要点, 而不是简 单的解题步骤.

例 1 已知圆 O 的方程为:

,点 A(3,0),P 是圆 O 上的动点,M 是线段

PA 的中点.求点 M 的轨迹方程.

分析:首先我们设动点 M 的坐标为

,点 P 的坐标为

,依据题意找到这两

个点坐标之间的关系. 得到:

,进一步得到 为所求轨迹方程.

,因为 P 是圆 O 上的点,代入

我们的教学应该避免就题论题的模式.在解决一个问题的同时,应该揭示问题的本质, 使得学生掌握一类问题的解题策略. 本题的特点是动点 M 是随着点 P 的运动而运动, 通常把这两个点称为相关点.解题的关 键是找到相关点的坐标之间的关系.利用其中一个点在曲线上,将这个点的坐标代入曲线的 方程即可得到所求轨迹的方程. 如何训练学生从一个问题的解决,提升为对一类问题的深刻认识?当一个题目解决之 后,建议作一些变式的工作,一方面使得学生对于解题的思路有深入的理解和认识,同时也 有助于学生跳出题海. 具体的说,变式可以从相关点的关联性入手,这个题目点 M 是 AP 的中点,可以变为三 等点,甚至 MA 与 MP 的长度比值为λ 等等;从另外一个角度,可以变换动点 P 所在曲线的方 程,不难看出,将圆换成椭圆、双曲线、抛物线,其解决问题的思路完全相同,只是在问题 的最后一步有所不同. 更进一步说, P 所在的曲线只要能用解析式描述, 点 上述方法就可以 运用,不限制一定是圆锥曲线. 常用的求轨迹方程的方法有:相关点法、参数法、几何法、定义法??等等,因篇幅 所限,这里再举例 2,分析一下定义法.定义法的思路是:先设动点的坐标,找到动点满足 的几何条件,在依据几何条件,变换为代数条件,之后对这个代数条件做适当的化简工作, 得出所求轨迹方程.

例 2 已知直线 满足 (

上有一个动点

,过点

作直线 垂直于 轴,动点 .

在 上,且

为坐标原点),记点

的轨迹为

求曲线

的方程.

解:设点

的坐标为

,则点

的坐标为

.



, 几何条件



. 代数条件



时,得

,化简得

. 代数方程



时,





三点共线,不符合题意,故

.

∴曲线

的方程为

. 轨迹方程

这个方法是求轨迹方程的最基础的方法,让学生在理解的基础上,较好的掌握这个方 法. (六)向量与圆锥曲线 向量知识的出现,使得解析几何命题的思路又开了一扇门.但是有一些题目表面上与 向量有关,实际上与向量无关.例如原来在解析几何中关于垂直的描述,现在表现为两个向 量的点积为 0.我们可以戏称为假向量.即题目的本质与向量并没有关系.还有一类真的与向 量有关,主要反映在一些计算的问题上.

例 1 已知椭圆

的中心在坐标原点,焦点在 轴上,离心率为

,椭圆

上的点到焦

点距离的最大值为 3.

(Ⅰ)求椭圆

的标准方程;

(Ⅱ)若过点 的取值范围.

的直线 与椭圆

交于不同的两点

,且

,求实数

解:(Ⅰ)设所求的椭圆方程为:

由题意:

所求椭圆方程为:



(Ⅱ)若过点

的斜率不存在,则



若过点

的直线斜率为 ,即:

时,

直线

的方程为



因为

和椭圆

交于不同两点

所以



所以





由已知

,则





将③代入②得:

整理得:

所以

代入①式得

,解得



所以





综上可得,实数

的取值范围为:



前面提到过学习圆锥曲线的问题, 要注意与其他模块的内容相结合.在这里特别强调与 向量知识的结合.因为向量的知识内容,与解析几何有一个共同的特点,用数量关系来描述 图形的性质. 教师在讲解问题的过程中,应特别突出如何运用向量的知识,解决解析几何的综合题. 例如本题题目解答的思路主体上与其他的解析几何题目是相同的. 将直线的方程代入圆锥 曲线的方程, 整理后得到一个关于 x 的一元二次方程.不同点在于有了向量的相关条件之后,

A、B、P 三点的坐标之间除了原有的一元二次方程的根系关系之外,还有由向量条件得到的
特定的关系“ ”,只有充分利用好这个条件,才能使本题得到顺利的解决.

三、学生学习目标的检测 (一)课程标准与高考对“解析几何初步”内容的要求 以下摘自普通高中数学课程标准: 圆锥曲线与方程(约 16 课时) (1)圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景, 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、 几何图形及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质. ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题 (直线与圆锥曲线的位置关系) 和实际问题. ⑤通过圆锥曲线的学习,进一步体会数形结合的思想. (2)曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结 合的基本思想. 课程标准对于圆锥曲线的教学要求具体明确.我们认为重点还是放在以下三个方面: 首 先是进一步体现解析几何中用代数的方法研究几何图形性质的基本思想; 其次应该突出对于 圆锥曲线的研究.既有对圆锥曲线基本性质的研究, 也有对于圆锥曲线教委复杂问题的研究; 第三是渗透和培养常见的数学思想以及方法,使得学生在学习知识的同时,学会分析问题、 解决问题的方法,进而达到培养学生能力的目的. (二)典型题目的检测分析 检测的题目选择的原则,既要强调注重基础知识和基本方法,同时还要体现能力的要 求.

例 1 双曲线 有相同的焦点,则 ______.

的离心率为______;若椭圆

与双曲线

例 1 就是以离心率、 焦点坐标这些基础的知识为检测目标. 在圆锥曲线的学习过程中, 学生对于椭圆、双曲线中出现的字母 a、b、c 容易混淆,特别是这几个字母之间的关系. 针 对学生出现的问题,教师可以结合图形强调:在椭圆中 a、b、c 的关系是: 而在双曲线中 a、b、c 的关系是: . ,

对于检测题目的选择要重视考查学生综合运用知识的能力. 既要检测学生对圆锥曲线 内容的掌握情况,同时要检测学生将以往所学知识与圆锥曲线知识综合运用的能力.

例 2 已知椭圆 过 作垂直于

的焦点为 的直线交椭圆于点



,在长轴

上任取一点 的点



,则使得

的概率为

( )

A.

B.

C.

D.

例 2 涉及了三个模块的知识. 有椭圆的知识,也是本题的主干;有向量的知识,由向 量的点积小于 0 可以得出∠ 是个钝角; 还有概率的知识.这里涉及的是一个几何概型.

从以上分析可以看出, 在学习新的知识的同时, 要适时的与之前学习的内容进行有机的整合. 例3

已知椭圆 .

经过点

,离心率为

,动点

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)求以 OM 为直径且被直线

截得的弦长为 2 的圆的方程;

(Ⅲ)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,

证明线段 ON 的长为定值,并求出这个定值. 例 3 一共分为 3 个小题.第 1 个小题是利用曲线与方程的概念确定椭圆的方程.这是一 个基本的问题,用到了待定系数法等,难度不大,一般同学都可以顺利解决;第 2 问就是解 决一类圆锥曲线的问题, 用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题, 确定圆的方程. 如果使用弦长公式解决,运算量较大,如果使用平面几何的知识,将直线被圆所截得弦长的 问题转化为点到直线的距离问题,体现了思维多样性、灵活性的考查;第 3 问是进一步研究 曲线的性质,证明线段 ON 的长为定值,并求出这个定值,既可以使用解析几何的的知识解 决,也可以运用向量的知识来解决,体现了对综合分析问题、解决问题能力的考查. 详解如下:

(Ⅰ)由题意得



因为椭圆经过点

,所以







由①②③ 解得



.

所以椭圆方程为

.

(Ⅱ)以 OM 为直径的圆的圆心为

,半径



方程为:

因为以 OM 为直径的圆被直线

截得的弦长为 2,

所以圆心到直线

的距离

.

所以

,解得

.

所求圆的方程为

.

(Ⅲ)方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K,由平几知:

.

则直线 OM:

,直线 FN:



,得:

.



.

所以线段 ON 的长为定值

.

方法二:设

,则







.



,∴

.∴

.

又∵

,∴





.



为定值.

解析几何的综合题往往是集中检测运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力于一身, 因此解析几何的综合题成为我们检测的重要内容之一. 我们建议教师在设计解析几何综合题这类检测题目的时候,要注意对学生运算能力、 空间想象能力、逻辑推理能力的检测. 在具体题目的设计时,还需要注意几个问题. 首先题目要有一定的梯度.综合题也应该有一个由易到难的过程, 对于基础较弱的同学 也能够有入手之处;其次,虽然注重运算能力的考查,但是还要有逻辑思维能力的考查,尽 量不要有过大的运算量.按照减小运算量、增加思维量的原则处理为宜;第三适当的与其他 模块的知识综合,比如与函数的知识综合,与向量的知识综合,与不等式的知识综合,与概 率的知识综合、与三角函数的知识综合等等. 以上是对高中“圆锥曲线”教学的一些想法和认识,供各位老师参考,不妥之处,敬 请批评指正.

互动对话
【参与人员】 金宝铮:北京师范大学二附中 程 敏:北京师范大学二附中

赵瑞娟:北京师范大学二附中

【互动话题】 1.如何突破“解析几何综合题”这个难点 高中数学“圆锥曲线”教学中,椭圆、双曲线、抛物线主要是直线和圆锥曲线的位置 关系,学生往往感到困惑。如何在教学中,克服学生的畏难情绪,几位教师作了较为详细的 论述,建议教师遵循循序渐进的教学原则,综合问题也要由浅入深,并且列举一些案例。 2.圆锥曲线的“包络”身份与几何画板作图

经常看到一些教师在课堂上,利用折纸“折出”圆锥曲线,几位教师谈话揭露了其中 的奥妙。几位教师从什么是包络开始讲起,借助几何画板的演示,详细叙述了圆锥曲线的包 络,还介绍了在高考中出现的与包络有关的试题。 3.重视与其它知识的交汇点 圆锥曲线的知识与其他模块的知识之间存在有诸多的联系。三位老师建议教师在教学 过程中不要忽视与其他知识的结合。 他们列举的实例虽然仅仅是立体几何的联系, 但是教师 在体会了其中的意思之后,会举一反三,自然地迁移到其他的模块。 4.圆锥曲线发展史 数学文化往往被强大的升学压力所淹没,我们还是希望我们的教师能够更多的关注知 识形成过程, 这样有助于加深我们对知识完整的理解。 几位老师对圆锥曲线发展史简单的介 绍,丰富了解析几何学科内容的同时,感受数学文化的熏陶。

案例评析
【案例信息】 案例名称:《抛物线的焦点弦》 讲课教师:汪燕铭(北师大二附中,高级教师) 评析教师:金宝铮(北师大二附中,特级教师)

【课堂实录】

【案例评析】 汪燕铭老师的教学课例《抛物线的焦点弦》是选修系列 2-1 中的一个内容。 普通高中数学课程标准中明确指出:数学教育作为教育的组成部分,在发展和完善人 的教育活动中、 在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、 在推动社会进步和发展的进程 中起着重要的作用。

这节课,首先由教师提出研究课题:抛物线的焦点弦。把抛物线的焦点弦作为研究的 主要对象,带领学生进行探讨。这种探讨,既不是教师提出问题让学生解答,也不是放羊式 的让学生漫无边际的空想。 教师首先启发学生思考,有哪些与抛物线的焦点弦有关的问题,从录像课中我们可以 看到学生的思维是非常活跃的, 提出了弦的中点的轨迹问题; 顶点与弦的两个端点构成的三 角形产生的面积关系;?,有了这些感性的、具体的问题,教师进行了适当的归纳:首先是 点和直线的关联,可以探究由此产生的问题;第二可以从研究抛物线本身的关系入手;第三 研究直线和抛物线的关系。 教师这样的提示有利于学生积极地探索,同时也渗透了如何从未知的角度发现新问题 的方法。汪老师还强调了一点,首先是发现结论得出猜想,如果时间不够,可以把证明先放 一放。这个作法可以让学生更放松的去探讨未知的性质。 教师让学生自主研讨,并且不时地走到同学面前和他们交谈,对于学生探讨中遇到的 障碍给予帮助。整个自主探讨的过程持续了 11 分钟,足以看出教师对于学生的放手是充分 的。 学生的讨论是否会有成果,能否发现抛物线的焦点弦的性质?接下来的讨论完全可以 让我们放心。 教师先后让六位同学发言,简单记录如下(根据录像整理,不是原话): 生 1: 我探讨的是抛物线的焦点弦的弦长的最小值, 当弦垂直于其对称轴时取得最小值, 没有最大值。

同时我还得到焦点弦两个端点纵坐标之间的关系:



生 2:弦中点与准线的距离等于弦长的一半,从弦 AB 的中点向准线引垂线,如果垂足 是 C,则∠ACB=90°,点 C 在以 AB 为直径的圆上,准线是这个圆的切线。 生 3:△AOB 的面积有最小值。 生 4:焦点弦的中垂线与抛物线的交点到焦点弦的距离相等。

生 5:如果 A、B 在准线上的射影分别为:

,那么



生 6:弦中点的轨迹亦为抛物线,新抛物线的焦点与原抛物线的焦点是有联系的。

至此,教师启发、引导学生进行探索的阶段已经完成。无论是学生经过自身努力获得 探索的结果,还是受其他发言同学的启发思路更加开阔,对于学生来是说,都是一种巨大的 收获。 普通高中数学课程标准在理念的论述中指出:倡导积极主动、勇于探索的学习方式。 学生的数学学习活动不应只限于接受、 记忆、 模仿和练习, 高中数学课程还应倡导自主探索、 动手实践、 合作交流、 阅读自学等学习数学的方式。 这些方式有助于发挥学生学习的主动性, 使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。同时,高中数学课程设立“数学探 究”“数学建模”等学习活动,为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件,以激发学生的数学学习兴趣,鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习 惯。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和 创造的历程,发展他们的创新意识。 高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一。人们 在学习数学和运用数学解决问题时, 不断地经历直观感知、 观察发现、 归纳类比、 空间想像、 抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程 是数学思维能力的具体体现,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判 断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。 汪老师的这节课,成功之处在于真正的实施让学生自主探索,在学习知识的同时,能 力得到提升。 在学生交流之后,教师又带领学生一起对抛物线的焦点弦的中点的轨迹等两个问题进 行了论证,体现了对学生思维能力的培养。 纵观整节课程,汪老师较好的体现了新的课程标准的理念,同时注重基础知识、基本 方法和基本技能的落实,确实值得我们借鉴。

思考与活动
1.同课异构活动 围绕圆锥曲线综合题,自选一节课,约请一个区域(或几个学校)的几个数学老师作 课,相互观摩实际的授课,听课之后一起评议。重点探讨如何突破教学难点。 2.目标检测设计 选择一个单元的内容,约请一个区域(或几个学校)的几个数学分别命制目标检测题, 交流之后, 安排一次研讨, 品评每一道题目的优劣, 达到提高命制目标检测题目水平的目的。

3.教学设计交流 选择一个大家公认难教的课题,约请一个区域(或几个学校)的几个数学老师作该课 程的教学设计,之后相互交流研讨,达成共识。

参考资料
【相关资源】 1.一类圆锥曲线交点问题的常用解法(PDF) 2.一类过定点的椭圆和双曲线方程的求法(PDF) 3.一类非标准双曲线离心率的求法(PDF) 4.一道高考题另一种形式的推广(PDF) 5.三角形和圆的性质在圆锥曲线中的运用(PDF) 6.优美圆锥曲线(PDF) 7.再议圆锥曲线上两点关于直线对称的问题(PDF) 8.双曲线中有关中点弦存在性问题的探索(PDF) 9.双曲线的轨迹问题求解四法(PDF) 10.向量与解析几何的交汇(PDF) 11.圆的垂径定理的推广_椭圆_双曲线的性质探究及应用(PDF) 12.圆锥截线若干性质的解析证明(PDF) 13.圆锥曲线一个有趣的关系式(PDF) 14.圆锥曲线一组统一性质的推广(PDF) 15.圆锥曲线与其他热点知识的交汇(PDF) 16.圆锥曲线与方程的探究性学习(PDF)

17.圆锥曲线中“范围问题”的解法——高考热点问题专题复习设计(PDF) 18.圆锥曲线中的定值与最值问题(PDF) 19.圆锥曲线几类问题的简明解法(PDF) 20.圆锥曲线定点弦的一个奇妙定值(PDF) 21.圆锥曲线平行弦性质探究(PDF) 22.圆锥曲线最值问题的处理方法(PDF) 23.圆锥曲线焦点弦的性质及应用(PDF) 24.圆锥曲线焦点弦的长度与条数关系(PDF) 25.圆锥曲线的“共轭直线”及应用(PDF) 26.圆锥曲线的“内部”作用(PDF) 27.圆锥曲线的一个优美性质(PDF) 28.圆锥曲线的切线性质相关性(PDF) 29.圆锥曲线的应用性问题(PDF) 30.圆锥曲线的新性质探究(PDF) 31.圆锥曲线的有趣性质(PDF) 32.圆锥曲线的通径公式及其应用(PDF) 33.圆锥曲线解题误区辨析(PDF) 34.圆锥曲线问题中一对奇异的“伴侣点”(PDF) 35.探析解析几何中的例索性_存在性问题(PDF) 36.探究双曲线四种定义的_统一_性_一节选修课的设计思路(PDF) 37.数学高考复习综合能力题选讲——解析几何(PDF)

38.有关圆锥曲面镜面反射的几个结论(PDF) 39.有关椭圆焦点弦的高考题的探究(PDF) 40.有心圆锥曲线的一组性质(PDF) 41.椭圆与双曲线的一个重要性质(PDF) 42.椭圆与双曲线的两个统一性质(PDF) 43.椭圆与双曲线的另一定义(PDF) 44.椭圆准线上点的有趣性质的简证及新性质(PDF) 45.椭圆第二定义的应用(PDF) 46.现代手持教育技术支持下的数学实验探究_圆锥曲线焦点弦的一种性质(PDF) 47.用几何画板画椭圆的六种方法(PDF) 48.运用圆锥曲线的光学性质解题续谈(PDF) 49.运用圆锥曲线范围解题例说(PDF) 50.2005 年高考全国试题分类解析(圆锥曲线)(PDF) 51.2006 年高考数学试题分类汇编(圆锥曲线)(PDF) 52.2007 年高考数学试题分类汇编(圆锥曲线)(PDF) 53.2008 年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线(PDF) 54.2009 年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线(共 77 页)(PDF) 55.2011 年高考数学试题分类汇编——直线与圆(PDF)

课程简介
高中数学“圆锥曲线”教学研究
【课程简介】

高中数学“圆锥曲线”教学研究分为三个方面。首先是对“圆锥曲线”数学知识的深 层次理解。在对“圆锥曲线”的知识结构分析之后,对这部分内容在整个解析几何中的地位 与作用作了详尽的分析;接下来第二部分是“圆锥曲线”的教学策略以及学生学习中常见的 错误与问题的分析与解决策略。 这一部分是本讲的重点, 从教师的教和学生的学两个方面作 了论述。第三是学生学习目标的检测。重点讲解了检测题目设置的原则和一些具体的问题。 学习本课程,帮助教师准确把握课程标准的要求尺度以及教学的重点和难点。由于本 讲内容难度较大, 学生学习困难也较大, 我们对一些教学内容的处理提出几种不同层次的要 求,希望教师结合自己学生的实际情况,恰当地把握教材,较好的完成相应的教学内容。 本课程结合主讲教师的教学实践经验,既有从宏观上把握教学重点、难点的经验,还 配合有大量的教学案例, 使得听课教师有直观的切身感受, 有脚踏实地的感受。 换个角度说, 主讲教师将教学理论和教学实践作了较好的整合。听课教师不会感到空洞。

【学习要求】 1.高中数学“圆锥曲线”教学的学习要求,首先要求教师整体把握全章的知识结构。 对全章内容有一个整体的了解。 这样才能把握好每一个具体知识点的教学要求。 避免忽深忽 浅。 思考题:如何区别高中数学“圆锥曲线”的内容中对于三种曲线(椭圆、双曲线、抛 物线)在教学要求中的相同点和不同点? 2.正确理解高中数学“圆锥曲线”教学的重点、难点。明确哪些内容是基础的,对于 学生学习是不困难的, 哪些内容学生的学习是困难的。 对于常用的数学方法要引导学生深入 理解。不宜过分强调一些特殊的、偏怪的解题技巧。 思考题:我们应该采取哪些措施,突破教学的重点和难点? 3.明确高中数学“圆锥曲线”教学中,对于学生的目标检测的原则和要求。特别是在 检测知识的同时,要注意能力要求的检测。 思考题:如何设计好本讲的目标检测题?

教师团队
【主讲教师】

金宝铮

北京市数学特级教师,任教于北京师大二附中。现任中国教育学会中学数学教学专业委员会理事; 北京市教育学会中学数学教学研究会常务理事;北京市西城区数学学会常务理事。

1991 年至 1993 年被教育部派往日本研修教育理论;2000 年被教育部选为骨干教师国家级培训学员, 在华东师范大学研修。

2004 年被评为北京市中学数学学科带头人;2003 年开始参加北京市义务教育数学教科书编写工作; 现任《数学通报》编委会委员;

1998 年被西城区评为首批数学学科带头人;2001 年至 2009 年担任北京数学会理事;曾任《中学生 数学》编委会委员。

【互动教师】
程敏:北京师大二附中青年骨干教师。2010 年在中国教育学会中学数学教学专业委员会举办的第五 届全国高中青年教师优秀课观摩与评比中,程敏老师的课题《归纳推理》获得全国一等奖。2011 年被西城 区教育委员会评为西城区先进教育工作者。


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