100测评网江苏省建湖中学08-09学年度第一学期高三第四次调研考试数学试题(理)


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江苏省建湖中学 08-09 学年度第一学期高三第四次调研考试 数学试题(理)
A 必做题部分(本部分满分 160 分,考试时间 120 分钟)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

35 ? ) 的值是 ▲ . 3 1 2. 当 n ? {1,2,?1, } 时,幂函数 y=xn 的图象不可能经过第___▲______象限 2 3 . 已 知 复 数 z1 ? ? , 1 ?2i , z2 ? 1 ?i , z i 它们所对应的点分别为 A,B,C.若 3 ?3 ?2
1. cos( ?
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O C? x O A ?
4.已知向量 P ?

,则 yO B x ? y 的值是

▲ .

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a b ? ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 P 的取值范围是 a b
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5.命题“ ? x∈R,x2-2x+l≤0”的否定形式为 ▲ . . 6.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 x ? sin A ? ay ? c ? 0 与 ▲ . 7.在小时候,我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按
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bx ? y ? sin B ? sin C ? 0 的位置关系是

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如图所示的规则练习数数,数到 2008 时对应的指头是 名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).
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.(填出指头的名称,各指头的

8.已知等差数列 {an } 满足: a1 ? ?8, a2 ? ?6 .若将 a1 , a4 , a5 都加上同 一个数, 所得的三个数依次成等比数列, 则所加的这个数为
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▲ .

9.若向量 a ? ( 3,1) , b ? (sin ? ? m, cos ? ) , ( ? ? R ),且 a // b , 则 m 的最小值为_▲____ 10
x
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已知函数 f ( x) ? 3 ? x ? 5 的零点 x0 ?? a, b? ,且 b ? a ? 1 , a , . www.ks5u.com
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b ? N ? ,则 a ? b ? ▲

11. 已知 ?an ? 是首项为 a,公差为 1 的等差数列, bn ? 则实数 a 的取值范围是
2

1 ? an * .若对任意的 n ? N ,都有 bn ? b8 成立, an
▲ .



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12.已知 f ( x) ? x ? 2x, 则满足条件 ?

? f ( x) ? f ( y ) ? 0 的点 ( x, y ) 所形成区域的面积为 ? f ( x) ? f ( y ) ? 0

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13. 若函数 f ( x) = - 1 e ax 的图象在 x=0 处的切线 l 与圆 C: x2 + y 2 = 1 相离,则 P(a,b)与圆 C 的 b 位置关系是 ▲ .
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14.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点, 动点 P 在圆锥底面内 (包括圆周) 。 若 AM⊥MP, 则 P 点形成的轨迹的长度为 ▲ .
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二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分)
2 2 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? x x ? (2m ? 3) x ? m ? 3m ? 0, m ? R 2
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?

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?

?

?

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(1)若 A ? B ? [2,4] ,求实数 m 的值;
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(2)设全集为 R,若 A ? C R B ,求实数 m 的取值范围。
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16. (本小题满分 14 分)

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cos ?ABC ? ? 在半径为 R 的圆的内接四边形 ABCD 中, AB= 3 ? 1 , BC= 3 ? 1 ,
的面积等于 ? ABC 面积的 3 倍,求:
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1 , 且 ? ACD 4

(1)圆的半径 R; (2) DA ? DC 的值; (3)四边形 ABCD 的周长.
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D

17. (本小题满分 15 分)一个多面体的直观图及三视图如图所示: (其中 M、 N 分别是 AF、BC 的中点). (1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面 体 A—CDEF 的体积.
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A B

C

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x2 y 2 ? ? 1 上的一个点,过点 P 作椭圆的切线与 18 . (本小题满分 15 分) 设 P 为椭圆 4 3 O : x2 ? y 2 ? 12 相交于 M,N 两点,⊙O 在 M,N 两点处的切线相交于点 Q.
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3 (1)若点 P 坐标为 (m, ) ,求直线 MN 的方程。 2 (2)若 P 为椭圆上的一个动点,求点 Q 的轨迹方程;
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D C
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D C E O B

19. (本小题满分 16 分)如图:在一个奥运场馆建

F G

A H
F G A H

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设现场,现准备把一个半径为 3 m 的球形工件吊起平放到 6 m 高的平台上,工地上有一个吊臂长

DF ? 12 m 的吊车,吊车底座 FG 高 1.5m .当物件与吊臂接触后,钢索 CD 长可通过顶点 D 处的滑
轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度, 并判断能否将该球形工件 吊到平台上?
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20. (本小题满分 16 分) 设定义在[0,2]上的函数 f ( x ) 满足下列条件: ①对于 x ? [0, 2] ,总有
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f (2 ? x) ? f ( x) , 且 f ( x )? 1 , f (1) ? 3 ; ② 对 于 x, y ? [ 1 , 2 ,] 若 x ? y ? 3 , 则 f ( x)? f ( y) ? f (? x ? y 2? ). 1 证 明 :( 1 ) 对 于 x, y ? [0,1] , 若 x ? y ? 1 , 则 1 2 f ( x? y ) ? f( x )? f( y ? ) ( 1 2 ) f ( n ) ? n ?1 ( n ? N* ) ; ( 3 ) x ? [1, 2] 时 , 3 3 1 ? f ( x )? 1 3 ? x 6 .
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B.附加题部分
三、附加题部分
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21.已知直线 y ? 2 x ? k 被抛物线 x 2 ? 4 y 截得的弦长 AB 为 20, O 为坐标原点. (1)求实数 k 的值; (2)问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时,△ ABC 面积最大?
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22. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. (I) 求二面角 C—DE—C1 的正切值; (II) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.

23.试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式,其中 M = ?

?1 ? ?1 0 ? ? 2 0? . , N = ? ? 0 1? ?0 2 ? ? ?

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24.用数学归纳法证明不等式:

1 1 1 ? ? ? n n ?1 n ? 2

?

1 ? 1(n ? N ?且n ? 1) . 2 n

命题:王朝和

审核:徐所扣

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高三数学月考试卷卷参考答案
一、填空题: 1. 6.垂直;

08、12

1 ; 2.四; 3. 5 ; 4.[0,2]; 5. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ; 2 7.食指. 8. ? 1 ; 9.-2 ; 10.3; 11. ? ?8, ?7 ? ;
14.

12. ? ; 13.在圆内;

二、15.解:(Ⅰ)∵ A ? [?2,4] , ∴

7 2

B ? [m ? 3, m]

A ? B ? [2,4] ,

?m ? 3 ? 2 ∴m ? 5 ? ?m ? 4 (Ⅱ) CR B ? {x x ? m ? 3, 或x ? m} ∵ A ? ? R B
∴ m ? ?2, 或m ? 3 ? 4 , ∴ m ? 7或m ? ?2 16. (1) R ?

3 2 15 ; (2) DA ? DC ? ; (3)周长为 2 6 ? 2 3 2 5
∴∠CBF=

17.解:由三视图可知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱住 ADE—BCF, 且 AB=BC=BF=2,DE=CF=2 2.

? . 2

(1) 取 BF 中点 G,连 MG、NG,由 M、N 分别为 AF、BC 的中点可得,NG∥CF,MG∥EF, ∴平面 MNG∥平面 CDEF.∴MN∥平面 CDEF. (2)取 DE 的中点 H.∵AD=AE,∴AH⊥DE,在直三棱柱 ADE—BCF 中,平面 ADE⊥平面 CDEF, 面 ADE∩面 CDEF=DE.∴AH⊥平面 CDEF. ∴多面体 A—CDEF 是以 AH 为高,以矩形 CDEF 为底面的棱锥,在△ADE 中,AH= 2, S矩形CDEF ? DE ? EF ? 4 2 , ∴棱锥 A—CDEF 的体积为 V ? 18.(1)

1 1 8 ? S 矩形CDEF ? AH ? ? 4 2 ? 2 ? . 3 3 3

x y x y ? ? 1或 ? ? ? 1 4 2 4 2

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19.解:吊车能把球形工件吊上的高度 y 取决于吊臂的张角 ? ,由图可知,

y ? AB ? 1.5 ? AD ? OD ? OB ? 1.5 ? DF sin ? ?

3 3 ? 3 ? 1.5 ? 12sin ? ? ? 3 ? 1.5 所 以 cos ? cos ?

3? s ? i n ,由 y / ? 0 , y/ ? 1 2 c ?? o s 2 c o? s 3 sin ? 得 12 cos? ? ,4 3 cos3 ? ? sin ? , 4 3 ? tan? (1 ? tan3 ? ) ,? tan? ? 3 ,? ? 600 。 2 cos ? 0 0 0 0 当 0 ? ? ? 60 时, y? ? 0 , y 单调递增,同理,当 60 ? ? ? 90 时, y? ? 0 , y 单调递减,所
以 ? ? 60 时, y 取最大值.
0

ymax ? 12sin ? ?

3 ? 3 ? 1.5 ? 3 3 ? 1.5 ? 6.6(m) cos ?

所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到

6 m 高的桥墩上. 20 .证明:由 f (2 ? x ) ? f ( x )知,函数 f ( x ) 图像关于直线 x ? 1 对称,则根据②可知:对于

x, y ? [0,1] ,若 x ? y ? 1 ,则 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1.……………2 分 设 x1 , x2 ? [0,1] ,且 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? [0,1] .
∵ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ? f ( x1 )

? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 ,
∴ f ( x ) 在[0,1]上是不减函数.………………………4 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f ( n ? n ? n ) ? f ( n ? n ) ? f ( n ) ?1 ? 3 f ( n ) ? 2 , 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ∴ f ( n ) ? f ( n ?1 ) ? ? 2 f ( n ? 2 ) ? 2 ? ? ... ? n f ( n ? n ) ? n ? ... ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2 ? n ?1 ? 1 ? n ? n ? 1 .…………8 分 3 3 3

(1)∵ f (

n ?1

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1 1 ? x ? n ?1 . n 3 3 1 1 因为 f ( x ) 在(0,1)上是不减函数,所以 f ( n ) ? f ( x) ? f ( n ?1 ) , 3 3 1 2 1 由(1)知 f ( n ?1 ) ? n ?1 ? 1 ? 6 n ? 1 ? 6 x ? 1 . 3 3 3 由①可得 f (2) ? 1 ,在②中,令 x ? y ? 2 ,得 f (2) ? 1 ,∴ f (2) ? 1 . 1 1 而 f (2) ? f (0) ,∴ f (0) ? 1 ,又 f ( n ) ? f (0) ,∴ f ( n ) ? 1 , 3 3 ∴ x ? [0,1] 时, 1 ? f ( x) ? 6 x ? 1 ..………………12 分 ∵ x ? [1, 2] 时,2 ? x ? [0,1] , 且 f ( x) ? f (2 ? x) , ∴ 1 ? f (2 ? x) ? 6(2 ? x) ? 1 ? 13 ? 6 x , 因此, x ? [1, 2] 时, 1 ? f ( x) ? 13 ? 6 x .………….14 分
(2)对于任意 x ? (0,1] ,则必存在正整数 n ,使得

B.附加题部分
21.解: (1)将 y ? 2 x ? k 代入 x ? 4 y 得 x ? 8x ? 4k ? 0 ,--2 分 由 △ ? 64 ? 16 k ? 0 可 知 k ? ?4 , 另 一 方 面 , 弦 长
2
2

AB ? 5 ? 64 ? 16k ? 20 ,解得 k ? 1 ;------6 分 (2)当 k ? 1 时,直线为 y ? 2 x ? 1 ,要使得内接△ABC 面

? ? 积最大,则只须使得 y C

1 ? 2 xC ? 2 ,-------------10 分 4

即 xC ? 4 ,即 C 位于(4,4)点处.----------------12 分 22.解: (I)以 A 为原点, AB, AD, AA 1 分别为 x 轴, y 轴,z 轴的 正向建立空间直角坐标系, 则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2) 于是, DE ? (3,?3,0), EC1 ? (1,3,2), FD 1 ? (?4,2,2) 设向量 n ? ( x, y, z) 与平面 C1DE 垂直,则有

cos ? ?

EC1 ? FD1 | EC1 |? | FD1 |

?

1 ? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 12 ? 32 ? 2 2 ? (?4) 2 ? 2 2 ? 2 2

?

21 14

n ? DE ? ? 1 ? 3x ? 3 y ? 0 ?? ?? x ? y ?? z x ? 3 y ? 2 z ? 0? 2 n ? EC1 ? ? z z z ? n ? (? ,? , z ) ? (?1,?1,2), 其中z ? 0 2 2 2 取n0 ? (?1,?1,2),则n0 是一个与平面C1 DE垂直的向量, ?向量 AA1 ? (0,0,2)与平面CDE垂直, ? n0 与 AA1所成的角?为二面角C ? DE ? C1的平面角 ? cos? ? ? t an? ? n0 ? AA1 | n0 | ?| AA1 | ? ? 1? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 2 1?1? 4 ? 0 ? 0 ? 4 ? 6 3

2 2 (II)设 EC1 与 FD1 所成角为β ,则

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cos ? ? EC1 ? FD1 | EC1 |? | FD1 | ? 1 ? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 12 ? 32 ? 2 2 ? (?4) 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 21 14
A

23. 证明: (1)过 D 点作 DG∥BC,并交 AF 于 G 点, ---2 分 ∵E 是 BD 的中点,∴BE=DE,又∵∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG, ∴△BEF≌△DEG,则 BF=DG,∴BF:FC=DG:FC, 又∵D 是 AC 的中点,则 DG:FC=1:2, 则 BF:FC=1:2;----4 分 (2)若△BEF 以 BF 为底,△BDC 以 BC 为底,则由(1)知 BF: BC=1:3,又由 BE:BD=1:2 可知 h1 : h2 =1:2,其中 h1 、 h2 分别 为△BEF 和△BDC 的高,则 则 S1 : S 2 =1:5. --8 分

G E

D

S ?BEF 1 1 1 ? ? ? , S ?BDC 3 2 6

B

F

C

24. 解: (1)消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ;-----------------------2 分

4 消去参数 ? ,得⊙ C 的直角坐标方程为: ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2 ---------------------4 分
(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

? ? ? 2 2 (sin ? ? ) 即 ? ? 2(sin? ? cos? ) ,两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) ,
| 2 ?1?1|

2 2 ? 12 ?1 0? ? 1 0? ? 1 0? 25.解:MN = ? ? ? 2 ? = ? 2 ? ,------------------4 分 0 2 ? ? ? ? ?? ? 0 1? ? 0 2? ? x? ? x ?? ? ? 1 x ? 即在矩阵 MN 变换下 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,-------------6 分 ? ? y? ? y ??? ? ?2y ? 1 则 y ?? ? sin 2 x ?? , 即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2 sin 2 x .-----8 分 2
26.证明: (1)当 n ? 2 时,左边=

?

2 5 ? 2 ,所以直线 l 和⊙ C 相交.----8 分 5

1 1 1 13 ? ? ? ? 1,? n ? 2 时成立 2 3 4 12 1 1 1 1 ? ? ? 2 ?1 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时成立,即 ? k k ?1 k ? 2 k 1 1 1 1 ? ? 2 ?( 2 ? ? ) 那么当 n ? k ? 1 时,左边 ? k ?1 k k ?1 (k ? 1)2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 ?( 2 ? ? )? 2 k k ?1 k k ?1 (k ? 1) k

----------2 分

1 1 k 2 ? k ?1 ? 1 ? (2k ? 1) ? 2 ? ? 1? ?1 k ?1 k k (k 2 ? 1) -----------------7 分 ? n ? k ? 1 时也成立 根据(1) (2)可得不等式对所有的 n ? 1 都成立 -------------8 分

=========================================================== 适用版本:

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