高中数学第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算3-1-3空间向量的数量积运算优化练习新人教A版选修2_1

高中数学第三章空间向量与立体几何 3-1 空间向量及其运算 3-1-3 空间向量的数量积运算优化练习新人教 A 版选修 2_1 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a, E,F,G 分别是 AB,AD,DC 的中点,则下列向量的 数 量积等于 a2 的是( ) A.2·→AC B.2·→DB C.2·→AC D.2·→CB 解析:2·=-a2,故 A 错;2·=-a2,故 B 错;2·=-a2,故 D 错, 只有 C 正确. 答案:C 2.设平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知(+-2 )·(-)=0, 则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析:(+-2 )·(-) =(-+-)·(-) =(+)·(-) 1/9 =-=0 ∴||=||,∴△ABC 是等腰三角形. 答案:B 3.已知向量 a,b,c 两两交角为 60°,其模都为 1,则|a-b+2c|等 于( ) A. B.5 C.6 D. 6 解析:因为|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, 所以 a·b=b·c=a·c=, a2=b2=c2=1, 所以|a-b+2c|= -b+ = a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c = 1+1+4-2×12+4×12-4×12 ==. 答案:A 4.已知平行四边形 ABCD 中,AD=4,CD=3,∠D =60°, PA⊥平面 ABCD,且 PA=6,则 PC=( ) A.3 B.7 C.4 D.6 解析:||2=·=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42 +32+2||||cos 120°=49. 答案:B 2/9 5.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若 2a-b 与 b 垂直, 则|a|等于( ) A. B. 37 2 C. D.3 2 5 解 析 : ∵a = (1 , n,2) , b = ( - 2,1,2) . ∴2a - b = (2,2n,4) - ( - 2,1,2) =(4,2n-1,2),∵2a-b 与 b 垂直,∴(2a-b)·b=0,即 -2×4+1×(2n-1)+4=0,∴n=,故|a|==. 答案:D 6.在四面体 OABC 中,棱 OA、OB、OC 两两垂直,且 OA=1,OB=2,OC =3,G 为△ABC 的重心,则·(++)=________. 解析:由已知·=·=·=0,且=, 故·(++) =(++)2 =(||2+||2+||2) =(1+4+9)=. 答案:134 7.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λ b,〈a,b〉=135°, m⊥n,则 λ =________. 解析:因为 m⊥n,所以 m·n=0, 即(a+b)·(a+λ b)=0, 所以 a2+(λ +1)a·b+λ b2=0, 3/9 所以(3)2+(λ +1)×3×4×cos 135°+λ ·42=0, 所以 18-12(λ +1)+16λ =0, 所以 4λ +6=0, λ =-. 答案:-32 8.已知空间向量 a,b 满足|a|=|b|=|a-b|=2,则|3a-2b|= ________. 解析:∵|a|=|b|=|a-b|=2, ∴|a-b|2=4,即 a2-2a·b+b2=4, ∴a·b=2, ∴|3a-2b|2=(3a-2b)2=9a2-12a·b+4b2=28, 故|3a-2b|=2. 答案:2 7 9.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD.求证: PA⊥BD. 证明:∵=-,=+. ∴·=(-)·(+) =2+·-·-·→DC =DA2+DA·2DA·cos 120° =0. ∴⊥,即 PA⊥BD. 4/9 10.如图,已知线段 AB⊥平面 α ,BC? α ,CD⊥BC, DF⊥平面 α ,且∠DCF=30°,D 与 A 在 α 的同侧, 若 AB=BC=CD=2,求 A,D 两点间的距离. 解析:∵=++, ∴||2=·→AD =(++)·(++)=||2+||2+||2+2·+2·+2·① ∵AB=BC=CD=2,∴||=||=||=2 ② 又∵AB⊥α ,BC? α ,∴AB⊥BC. ∴·=0. ③ ∵CD⊥BC,∴·=0. ④ 把②③④代入①可得||2=4+4+4+2·C→D =12+2||·||cos〈,〉 =12+8cos〈,〉. ⑤ ∵∠D CF=30°,从而∠CDF=60°. 又∵AB⊥α ,DF⊥α ,∴AB∥DF. ∴〈,〉=〈,〉=60°. ∴〈,〉=120°.代入⑤式得到 ||2=12+8cos 120°=8,∴||=2. ∴A,D 两点间距离为 2. [B 组 能力提升] 1.若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),则 cos〈a,b〉为( ) 5/9 A. B.- C.- D. 3 3 解析:由(a+b)·(2a-b)=0,(a-2b)·(2a+b)=0 得 2a2+a·b-b2=0, ① 2a2-3a·b-2b2=0, ② 所以 8a2-5b2=0,a·b=-b2, 所以 cos〈a,b〉===-. 答案:B 2 . 三 棱 柱 ABC?A1B1C1 中 , 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 , ∠BAA1 = ∠CAA1=60°,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( ) A. B.- C. D. 3 3 解析:设底面边长为 a, 因为=+, ||2=(+)

相关文档

新高中数学第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算3-1-3空间向量的数量积运算优化练习新人教A版选修2
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算优化练习新人教A版选修21
【推荐】2019高中数学第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算3..3空间向量的数量积运算优化练习选修83
高中数学第三章空间向量与立体几何3-1空间向量及其运算3-1-5空间向量运算的坐标表示优化练习新人教A版选修2
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3两个向量的数量积课后训练新人教B版选修2_1
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算课后训练新人教B版选修2_1
【推荐】2019高中数学第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算3..3..空间向量的数乘运算优化练习选修83
电脑版