三角恒等变换技巧之七变


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数 学 有 数

2 2 2 θcosθ+2cos2θ = sin2θ +sinθcosθ +2cos2θ = sin θ+sinθcosθ+2cos θ = sin θ+sin 1 sin2θ+cos2θ tan2θ+tanθ+2 = 22+2+2 = 8 . tan2θ+1 22+1 5 评 析 解答本题的关键是实施变 “名” ,即将 sin2θ+sinθcosθ +2cos2θ 化成只 含有 tanθ 的式子,从而快速解题. 分析 已知角为 α+β 、 β- π , 未知角 α+ π , 发现有 5 5 例 2 已 知 A 为 三 角 形 的 一 个 内 角 , 且 满 足 tan 2 A 的值 . α+ π = (α+β ) - (β- π ) 成立 , 且 tan (α+ π )=tan[ (α+β ) ( π +A ) = 1 , 求 sin2A-cos 5 5 5 4 2 2cos2A 2 A 是齐次式, 分子分母同 (β- π )] 问题便迎刃而解 . 分 析 因 为 sin2A-cos 5 2cos2A 解析 因为 α+ π = (α+β ) - (β- π ), 除 于 cos2A , 便 可 得 到 2tanA-1 , 所 以 由 已 知 条 件 只 5 5 2

三 角 恒 等 变 换 技 巧 之 七 变

三角恒等变换是三角的精华 , 三角恒等变换是以三角基本关系式 , 诱导公 式 , 和 、 差 、 倍角等公式为基础的 , 三角变换的常见策略有 :(1 ) 发现差异 ;(2 ) 寻找 联系 ;(3 ) 合 理 转 化 . 概 括 起 来 就 是 : 利 用 和 、 差 、 倍 等 三 角 公 式 实 行 各 种 转 化 , 从 而达到问题解决的目的 , 本文归纳以下七种主要的变换技巧 , 供同学们在学习时 参考 . 一 、 变 “名 ”

三角变换的主要目的在于“消除差异,化异为同” ,而题目中经常出现不 同名的三角函数,这就需要变“名” ,即化异名函数为同名函数.变换的依据是 同角三角的关系式和诱导公式,切化弦、弦化切等. 例 1 已知 tanθ-1 = 1 , 求 sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ 的值 . tanθ+1 3

■ 梅 州 市 五 华 中 学
黄 伟 军

分 析 由 已 知 可 得 tanθ=2. 若 由 tanθ=2 分 别 求 出 sinθ ,cosθ 的 话 可 以 解 答 此 题 , 但需要对 θ 分别在第一 、 三象限两种情形进行讨论 , 相当繁琐且运算量大 , 仔 细 阅 读 sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ 的 话 , 发 现 这 是 一 个 关 于 正 弦 和 余 弦 的 三 项 齐 次 式 , 倘若能把所求的式子转化为 只 含 有 tanθ 的 式 子 , 则 题 目 就 相 当 容 易 解 答 了 . 联想所学过的公式知道 sin2θ+cos2θ=1 , sinθ =tanθ 因此得到下面的简单解法 .

cosθ

解析 由已知可得 tanθ=2.

要求出 tanA 的值即可 . 解析 由 tan ( π +A ) = 1 可 得 1+tanA = 1 , 解

4

2

1-tanA

2

2 -1 (α+β ) -tan(β- π ) tan π 5 5 4 所以 tan (α+ )= = 5 1+tan (α+β ) tan(β- π ) 1+ 2 × 1 5 5 4 = 3 . 22
评析 通过变 “ 角 ” 巧妙地解答了此题 . 例 4 已 知 sinβ =msin (2α+β), 且 α+β≠ π +kπ( k ∈

得 tanA=- 1 . 3 sin2 A-cos2A = 2tanA-1 =- 1 - 1 =- 5 . ∴ 2cos2A 2 3 2 6 评析 挖掘题目中的隐含条件,通过分子分母同除

cos2A 后得到含有 tanA 的式子,因此达到快速解题目的.
二 、 变 “角 ”

在三角化简、求值中,题目中的表达式中往往会 出现较多的相异角,根据角与角之间的和差 、 倍角 、 互补、互余的关系,这时需要变“角” ,即寻找已知 条件与结论中角的差异,从而使问题获解 . 常见的变 角方式有 α= (α+β ) -β, 2α= (α+β ) + (α-β ) ,等等. 例 3 已 知 tan (α +β ) = 2 ,tan (β - π ) = 1 , 求 tan 5 5 4 (α+ π ) 的值 . 5

2 k π (k∈Z ), m≠1. 求证 : tan (α+β Z ), α≠ ) = 1+m 2 1-m tanα. 分析 已知角为 β 、 2α+β , 未知角为 α+β 、 α , 发现 有 β= (α+β )-α ,2α+β= (α+β )+α 成立 , 且 sin[ (α+β )-α]= msin[ (α +β ) +α] , 又 tanα = sinα ,tan (α +β ) = sin (α+β ) , cosα cos (α+β ) 所以 (1+m)sinαcos (α+β )= (1-m)cosαsin (α+β ), 因此我 们找到了解题的思路 .
证明 由 sinβ=msin (2α+β ), 得 sin[ (α+β )-α]=msin

[ (α+β )+α] , 展 开 得 sin (α +β )cosα -cos (α +β )sinα =msin

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(α+β )cosα+mcos (α+β )sinα , 整理得 (1+m)sinαcos (α+β )= (1-m)cosαsin (α+β ), 因为 α+β≠ π +kπ(k∈Z ),α≠ kπ (k∈Z ),m≠1. 分 析 要 求 y =sinx + 姨 3 cosx +1 的 周 期 及 最 大 值 , 一 定 要 先 将 三 角 函 数 化 成 y =Asin (ωx +φ ) 的 形 式 才 能 够作出判断 , 由 sinx+ 姨 3 cosx=2 ( 1 sinx+ 姨 3 cosx)

2 2 ( ) ( ) 1+ m sin α sin α + β 所以 , 得 tan (α +β ) = = (1-m )cosα cos (α+β ) (1+m ) tanα. (1-m )
评 析 三角证明中经常要化未知角为已知角,看

2

2

联想逆用两角和的正弦公式即可得到解题思路 . 解 析 y=sinx + 姨 3 cosx +1=2 ( 1 sinx + 姨 3 cosx)+

2

2

准角与角的关系,相当重要 . 哪些角消失了,哪些角 变化了,结论中是哪个角,条件中有没有这些角,在 审题中必须认真观察和分析,本题正是抓住了 “ 角 ” 的变换顺利获得了证明.
三 、 逆变

1=2sin (x+ π )+1 , 3
所以 y=sinx+ 姨 3 cosx+1 的周期为 2π,最大值为 3. 评 析 本题逆用两角和的正弦公式化简了式子,

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从而解答了此题.
四、 “1 ” 的变换

在进行三角变换时,顺用公式较多,但有时若能 逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式解题可以帮助 我们快速开拓解题思路.
例 5 已 知 A ,B 为 三 角 形 ABC 的 两 个 内 角 ,sin (A-B )cosB+cos (A-B )sinB= 1 , 求 sin (A+ π )的值 .

在三角函数变换过程中, “ 1” 的作用有时是相 当 大 的 , “ 1” 的 变 换 主 要 有 1 =sin2θ +cos2θ, 1 = tan45°,1=tanθ · cosθ 等等. 例 7 求 y= 12 + 42 的最小值 . sin x cos x
分 析 观 察 式 子 , 由 分 母 的 结 构 我 们 联 想 到 1=
2 2 x + sin θ +cos2θ 的 代 换 , 有 y = 12 + 42 = sin x+cos 2 sin x cos x sin x 2

3

3

分析 从所求的结果来看与角 B 无关 , 因此我们应 想方设法把角 B 去掉 . 由已知条件联想所学过的知识 逆用两角和的余弦公式得 :sin (A-B )cosB+cos (A-B )

sinB= 1 , 即 sinA= 1 . 因为 A 为三角形 ABC 的内角 , 3 3 所 以 A 可 能 为 钝 角 ,也 可 能 为 锐 角 ,接 下 来 我 们 便 得
到了题目的思路 . 解 析 由 已 知 sin (A-B )cosB+cos (A-B )sinB= 1 ,

4 (sin2x+cos2x ) , 于是我们找到了解题的思路 . cos2x 2 2 x + 4(sin2x+cos2x) = 解析 y= 12 + 42 = sin x+cos sin x cos x sin2x cos2x
· cot2x =9 ( 当 且 仅 当 5 +cot2x +4tan2x ≥5 +2 姨4tan2x tan2α= 1 时取等号 ), 即函数的最小值是 9. 2 评 析 解答本题的关键是灵活应用了 1=sin2θ + cos2θ , 从而巧妙解答了此题. 五 、 利用降次与升幂进行变换

3

可得 sin (A-B+B )=sinA= 1 . 3 当 A 为 第 一 象 限 角 时 , 所 以 cosA =

2 姨2 . 3 3 3

姨1-( 3 )
3 3

1

2

=

分析题目的结构,掌握题目结构上的特点,通过 降次升幂等手段,为使用公式创造条件,也是三角变 换的一种重要策略,常见的降次与升幂公式主要有 cos2α = 1+cos2α , sin2α = 1-cos2α , cos4α +sin4α =12 2 2sin2αcos2α 等 . 4 4 例 8 化简 1-cos6α-sin6α . 1-cos α-sin α
分析 这道题的分子与分母部分的次数分别是 4 次与 6 次 , 次数较高 , 题目不容易下手解答 , 应当考 虑 降 低 式 子 的 次 数 , 联 想 学 过 的 知 识 我 们 有 cos4α +

所以 sin (A+ π )=sinAcos π +cosAsin π = 1 × 1 +

2

2 姨 2 × 姨 3 = 1+2 姨 6 . 3 2 6
当 A 为 第 二 象 限 角 时 , 所 以 cosA =-

=- 2 姨 2 . 3 3 3

姨1-( 3 )
3 3

1

2

所 以 sin ( A+ π ) =sinAcos π +cosAsin π = 1 ×

1 - 2 姨 2 × 姨 3 = 1-2 姨 6 . 2 3 2 6
评 析 本题根据已知条件逆用两角和的余弦公式

sin4α=(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α, cos6α+ sin6α=(cos2α)3+(sin2α)3=(cos2α+sin2α)(cos4α-sin2αcos2α+ sin4α)=1-3sin2αcos2α, 这样我们就容易处理问题了 . 4 4 解析 因为 1-cos6α-sin6α 1-cos α-sin α =
2 1( cos2α+sin2α ) +2sin2αcos2α (cos4α-sin2αcos2α+sin4α) 1-(cos2α+sin2α )

得到了 sinA= 1 ,再对 A 进行讨论, A 可能为钝角, 也 3 可能为锐角, 所以需要利用分类讨论思想方法求解.
例 6 求函数 y=sinx+ 姨 3 cosx+1 的周期及最大值 .

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=
2 2 2sin2αcos2α = 2sin αcos α = 2 . 1-(1-3sin2αcos2α) 3sin2αcos2α 3 评析 在三角恒等变换过程中,若能充分利用降次

sinC =cosA +sin (π - π -A) =cosA +sin ( π +A) =cosA + 1 6 6 2 cosA+ 姨 3 sinA= 姨 3 sin (A+ π ). 2 3
由 △ABC 为锐角三角形知 ,

与升幂等三角变换手段, 能快速帮助我们解答一些涉及 到高次幂的三角函数问题, 希望同学们在备考复习中要 注重总结这种方法, 以提高自己解答这类题的能力
例 9 已知函数 f (x )=sin2x+ 姨 3 cosx+2cos2x ,x∈R. 求函数 f (x ) 的最小正周期和单调增区间 .

π -A> π -B, π -B= π - π = π ·2π <A+ π < π , 2 2 2 2 6 3 3 3 6
所以 1 sin(A+ π )< 姨 3 .

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分析 要求出三角函数的周期及单调增区间 ,关键是 要先化简三角函数式 ,能得到 f(x)=Asin(ωx+准)的形式 , 再利用周期公式及单调性的定义来解答 , 观察题目的条 件是二次式 , 考虑降次 , 联想 sin2α= 1-cos2α , cos2α=

2

3

2

由此有 姨 3 < 姨 3 sin(A+ π )< 姨 3 × 姨 3 , 所

2

3

2

以 cosA+sinC 的取值范围为 ( 姨 3 , 3 ) .

2

2

2

1+cos2α , 我们便得到了解题的思路. 2
解析

评析 在三角恒等变换过程中,若能充分利用一

些重要的数学思想和方法,能快速帮助我们找到解题 思路,本小题主要考查利用消元思想与两角和差公式 求三角函数式的范围值.
七 、 结构的变换

f (x )= sin2x+ 姨 3 cosx + 2cos2x = 1-cosx + 2

姨 3 sin2x+(1+cos2x ) = 姨 3 sin2x+ 1 cos2x+ 3 =sin 2 2 2 2 π 3 (2x+ )+ . 6 2 所以 f (x )的最小正周期 T= 2π =π. 2 由题 意 得 2kπ- π ≤2x+ π ≤2kπ+ π , k∈Z , 即 2 6 2 π π kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6 所 以 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 [ kπ - π , kπ + π ] , 3 6 k∈Z.
评析 本小题主要考查三角函数的基本公式、三

在三角函数变换过程中,认真观察题目,挖掘题 目的隐含条件,充分把握题目的整体结构,有助于我 们找到解题的思路.
例 11 求 cos20°cos40°cos60°cos80° 的值 . 分析 表面上看 , 因为 20° 、40° 、80° 都 不 是 特 殊 角 , 想直接求出它们的值是不可能的 , 认真观察题目 , 从把 握题目的整体结构入手的话我们可以看出式子结构上 给人一种对称美 、 和谐美的感觉 . 由已知条件联想 类 比 所学过的二倍角公式 2sinαcosα=sin2α, 我们不妨通过 设置辅助因子 23sin20° , 于是我们找到了解题的思路 . 解析 cos20°cos40°cos60°cos80°

角恒等变换、三角函数的图像和性质等基本知识,以 及推理和运算能力,这类题是高考的考查热点,解答 的关键是充分利用三角公式进行降幂.
六 、 利用数学思想方法进行变换

数学思想与方法是数学知识在更高层次上的概 括,它蕴涵在数学知识发生 、 发展和应用的过程中 . 数学思想方法主要有转化与化归思想 、整体化思想 、 特殊与一般化思想等等 例 10 设锐角三角形 ABC 的内角 A ,B ,C ,B= π , 6
求 cosA+sinC 的取值范围 . 分 析 由 三 角 形 的 内 角 和 定 理 可 得 A +C =π - π =

= 1 cos20°cos40°cos80° 2 3 °cos40°cos80° = 2 sin20°cos20 24sin20° 2 = 2 sin40°4cos40°cos80° 2 sin20° 2sin80 °cos80° = sin160° = sin20° = 1 . = 24sin20° 24sin20° 24sin20° 16 评析 凡呈二倍角的余弦的连乘结构的题目,均 可采用本题之方法,此法有火烧连营之势,妙得很.
总之, 解答三角恒等变换的题目的方法不拘泥, 万 变 不 离 其 宗 ,要 注 意 灵 活 运 用,要 注 意 这 样 的 口 决 , 要 努 力 作 到 “ 三 看 ”, 即 (1 ) 看 角 , 把 角 尽 量 向 特 殊 角 或 可 计 算 角 转 化 ;(2 ) 看 名 , 把 一 道 等 式 尽 量 化 成 同 一 名 称或相近的名称 , 例如把所有的切都转化为相应的弦 , 或 把 所 有 的 弦 转 化 为 相 应 的 切 ;(3 ) 看 式 , 看 式 子 是 否 满足三角函数的公式 . 如果满足直接使用 , 如果不满足 转化一下角或转换一下名称 , 就可以使用 . 责任编校

6

5π , 要 想 求 得 cosA+sinC 的 范 围 我 们 必 须 利 用 消 元 6 思想把 A , C 用另一个角表示 , 即化成只有一个角 的 形式 , 这样我们就容易处理问题了 .
解析 因为 B= π , 所以 C=π- (A+ π ), 得 cosA+ 6 6

徐国坚

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