【人教版】数学选修2-2《合情推理与演绎推理》课后练习(含答案)

合情推理与演绎推理课后练习 主讲教师:纪荣强 北京四中数学教师 题一:古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…,第 n n?n+1? 1 2 1 个三角形数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形 2 2 2 数中第 n 个数的表达式: 1 1 三角形数 N(n,3)= n2+ n, 2 2 正方形数 N(n,4)=n2, 3 1 五边形数 N(n,5)= n2- n, 2 2 六边形数 N(n,6)=2n2-n ……………………………………… 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=____________. 题二:观察下列各式: a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+b10 等于 ( ) A.28 B.76 C.123 D.199 题三:在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 S1 1 = .推广到空间几何可以得到类似结论: 若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1, 外接球体积 S2 4 V1 为 V2,则 =____. V2 1 题四:已知正三角形内切圆的半径是其高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论 3 是( ) 1 1 A.正四面体的内切球的半径是其高的 B.正四面体的内切球的半径是其高的 2 3 1 1 C.正四面体的内切球的半径是其高的 D.正四面体的内切球的半径是其高的 4 5 题五:观察下列等式: (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5 … 照此规律,第 n 个等式可为______________. 题六:观察下列三角形数表,假设第 n 行的第二个数为 an(n≥2,n∈N*). (1)依次写出第六行的所有 6 个数字; (2)归纳出 an+1 与 an 的关系式并求出 an 的通项公式. 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 题七:观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +…+ > ,1+ + +…+ >2, 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 1 1 1 5 1+ + +…+ > ,…,由此猜想第 n 个不等式为______. 2 3 31 2 2 2 3 3 4 4 b b 题八:已知 2 + =22× ,3 + =32× ,4 + =42× ,…,若 9 + =92× (a、b 为正整数), 3 3 8 8 15 15 a a 则 a + b=________. 题九:观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y|=2 的不同整数解(x, y)的个数为 8,|x|+|y|=3 不同整数解(x,y)的个数为 12,…,则|x|+|y|=10 的不同整数解(x, y)的个数为( ) . A . 32 B . 40 C . 80 D . 100 题十:在数列{an}中,若 a1=2,a2=6,且当 n∈N*时,an+2 是 an· an+1 的个位数字,则 a2 014 等 于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 题十一:将全体正奇数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第 45 行从左向右的第 17 个数为________. 题十二: 下列关于五角星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是 ( ) A.an=n2-n+1 n?n-1? B.an= 2 n?n+1? C.an= 2 n?n+2? D.an= 2 2 ? 2 ? 2 ? 题十三:已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ? 3 3 2 ? 2 ? 2 ? , sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 2 2 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明. 题十四:观察下列等式: ①cos2α=2cos2α-1; ②cos4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推测,m-n+p=________. 合情推理与演绎推理 课后练习参考答案 题一: 1000. 详解:由 N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,…,可以推测: k-2 2 4-k 当 k 为偶数时,N(n,k)= n+ n, 2 2 24-2 4-24 ∴N(10,24)= ×100+ ×10=1100-100=1000. 2 2 题二: C. 详解:令 an=an+bn,则 a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,…, 得 an+2=an+an+1,从而 a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123. 题三: 1 . 27 详解:本题考查类比推理,也即是由特殊到特殊的推理.平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方 V1 1 成正比,而在空间几何中,球的体积与半径的立方成正比,所以 = . V2 27 题四: C. 1 1 1 详解:原问题的解法为等面积法,即 S= ah=3× ar?r= h, 2 2 3 1 1 1 类比问题的解法应为等体积法,V= Sh=4× Sr?r= h, 3 3 4 1 即正四面体的内切球的半径是其高的 ,所以应选 C. 4 题五: (n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1) 详解:由已知的三个等式左边的变化规律,得第 n 个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n),由已知的三个等式右边的 变化规律,得第 n 个等式右边为 2n 与 n 个奇数之积, 即 2n×1×3×…×(2n-1). 题六

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