2015-2016学年海淀区初三【数学】期末试卷及答案


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海淀区九年级第一学期期末练习
数 学
2016.1 (分数:120 分 时间:120 分钟) 一、选择题 1 本题共 30 分,每小题 3 分) 下面各题均有四个选项, 其中只有一个 是符合题意的, 请将正确选项前的字母填在表格中相 .. 应的位置. 题号 答案 1.在 ?ABC 中, ∠C = 90° , BC = 3 , AB = 5 ,则 sin A 的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 3 100° ,则 ∠ACB 的度数是 2.如图, ?ABC 内接于 ?O ,若 ∠AOB =
A. B. C. A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° 3.抛物线 y =( x ? 2) + 1 的顶点坐标是
2

3 5

4 5

D.

3 4

A. (?2, ?1) D. (2,1)

B. (?2,1)

C



(2, ?1)

4.若点 A(a, b) 在双曲线 y = A. ?12 比为 A.

3 上,则代数式 ab ? 4 的值为 x B. ?7 C. ?1

D. 1

5.如图,在 ? ABCD 中,E 是 AB 的中点,EC 交 BD 于点 F,则 ?BEF 与 ?DCF 的面积

4 9 1 C. 4
2

B.

1 9 1 D. 2

6.抛物线 y = 2 x 向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位,则平移后的 抛物线解析式为 A. y = 2( x + 1) 2 + 3 B. y = 2( x + 1) 2 ? 3

九年级数学试题及答案 第 1 页(共 16 页)

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C. y = 2( x ? 1) 2 ? 3 7.已知点 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 、 ( x3 , y3 ) 在双曲线 y =

D. y = 2( x ? 1) 2 + 3

1 ,当 x1 < 0 < x2 < x3 时, y1 、 y2 、 x

y3 的大小关系是
A. y1 < y2 < y3 D. y2 < y3 < y1 8.如图,AB 是 ?O 的直径,C、D 是圆上的两点.若 BC = 8 , cos D = B. y1 < y3 < y2 C .

y3 < y1 < y2

2 ,则 AB 的长为 3

A.

8 13 3 24 5 5

B.

16 3

C.

D. 12

A 为双曲线 y = ? 9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 的面积为 6,则点 A 的坐标为 A. ( ?4, ) D. (?3, 2) 或 (3, ?2)

6 上一点, 点 B 的坐标为 (4, 0) . 若 ?AOB x
C .

3 2

B. (4, ? )

3 2

(?2,3)



(2, ?3)

10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y = x + bx + c 与 x 轴只有一个交点 M,与
2

平行于 x 轴的直线 l 交于 A、B 两点.若 AB = 3 ,则点 M 到直线 l 的距离为 A.

5 2

B.

C. 2

9 4 7 D. 4

二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11.请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式____________. 12 .已知关于 x 的方程 x 2 ? 6 x + m = 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 ____________. 13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, ?ABC 与 ?A′B′C ′ 顶点的横、纵坐标都是整 数.若 ?ABC 与 ?A′B′C ′ 是位似图形,则位似中心的坐标是____________. 14.正比例函数 y = k1 x 与反比例函数 y =

k2 的图象交于 A、B 两点,若点 A 的坐标 x

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是 (1, 2) ,则点 B 的坐标是____________. 15.古算趣题:“笨人执竿要迸屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭, 有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足.借问竿长多少数, 谁人算出我佩服.”若设竿长为 x 尺,则可列方程为________________________. 16.正方形 CEDF 的顶点 D、E、F 分别在 ?ABC 的边 AB、BC、AC 上.

BE 的值为___________; BC (2)将 ?ABC 绕点 D 旋转得到 ?A′B′C ′ ,连接 BB′ 、 CCB .若
(1)如图,若 tan B = 2 ,则

CC ′ 3 2 ,则 tan B 的值为___________. = BB′ 5
三、解答题(本题共 72 分,第 17 ~26 题,每小题 5 分,第 27 题 6 分, 第 28 题 8 分,第 29 题 8 分) 17.计算: sin 30° + 3 tan 60° ? cos 2 45° .

18.解方程: x 2 + 2 x ? 5 = 0.

19.如图,D 是 AC 上一点,DE//AB, ∠B = ∠DAE . 求证: ?ABC ? ?DAE .

20.已知 m 是方程 x 2 + x ? 1 = 0 的一个根,求代数式 (m + 1) 2 + (m + 1)(m ? 1) 的值.

21.已知二次函数 y = x 2 + bx + 8 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,点 A 的坐标为 (?2, 0) ,求 点 B 的坐标.

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22.如图,矩形 ABCD 为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园,其中两边靠墙(墙 足够长),另外两边用长度为 16 米的篱笆(虚线部分)围成,设 AB 边的长度为 x 米,矩 形 ABCD 的面积为 y 平方米. (l)y 与 x 之间的函数关系式为________________(不要求写自变量的取值范围); (2)求矩形 ABCD 的最大面积.

90° ,D 为 AC 上一点, DE ⊥ AB 于点 E, 23.如图,在 ?ABC 中, ∠ACB =

AC = 12 , BC = 5 .
(l)求 cos ∠ADE 的值; (2)当 DE = DC C 时,求 AD 的长.

24 .如 图,在 平面 直角坐 标系 xOy 中 ,双 曲线 y =

m 与 直线 x

= y kx ? 2 交于点 A(3,1) .
(1)求直线和双曲线的解析式; (2)直线 = y kx ? 2 与 x 轴交于点 B,点 P 是双曲线 y =

m 上一点,过点 P 作直线 PC∥x 轴, x

交 y 轴于点 C,交直线 = y kx ? 2 于点 D.若 DC = 2OB ,直接写出点 P 的坐标为____.

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25.如图,小嘉利用测角仪测量塔高,他分别站在 A、B 两点测得塔顶的仰角 α = 45° ,

β = 50° ,AB 为 10 米.已知小嘉的眼睛距地面的高度 AC 为 1.5 米,计算塔的高度.(参
考数据: sin 50° 取 0.8. cos 50° 取 0.6. tan 50° 取 1.2)

26.如图, ?ABC 内接于 ?O ,过点 B 作 ?O 的切线 DE,F 为射线 BD 上一点,连接 CF.

∠A ; (l)求证: ∠CBE =
(2)若 ?O 的直径为 5, BF = 2 , tan A = 2 ,求 CF 的长.

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27.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,定义直线 x = m 与双曲线 yn = 为正整数)为“双曲格点”,双曲线 yn =

n 的交点 Am , n ( m、n x

n 在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行 x

于 x 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”.

(1)①“双曲格点” A2,1 的坐标为___________; ②若线段 A4,3 A4, n 的长为 1 个单位长度,则 n = ________ ; (2)图中的曲线 f 是双曲线 y1 =

1 的一条“派生曲线”,且经过点 A2,3 ,则 f 的解析式为 x

y = __________ ;
(3)画出双曲线 y3 =

3 3 的“派生曲线”g(g 与双曲线 y3 = 不重合),使其经过“双曲格点” x x

A2,a、、 A3,3 A4,b .

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28. (1)如图 1, AB 的垂直平分线交 AC 于点 D, 连 接 BD. 若 AC = 2 , ?ABC 中, ∠C = 90° ,

BC = 1 ,则 ?BCD 的周长为________________;
(2)O 为正方形 ABCD 的中心,E 为 CD 边上一点,F 为 AD 边上一点,且 ?EDF 的周长等 于 AD 的长. ①在图 2 中求作 ?EDF (要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); ②在图 3 中补全图形,求 ∠EOF 的度数; ③若

AF 8 OF 的值为____________. = ,则 CE 9 OE

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29.在平面直角坐标系 xOy 中,定义直线 = = y ax 2 + bx 的特征直线, y ax + b 为抛物线

= y ax 2 + bx 与其特征直线交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的 C (a, b) 为其特征点.设抛物线
左侧). (1)当点 A 的坐标为 (0, 0) ,点 B 的坐标为 (1,3) 时,特征点 C 的坐标为____; (2)若抛物线 = y ax + bx 如图所示,请在所给图中标出点 A、点 B 的位置;
2

(3)设抛物线 = y ax + bx 的对轴与 x 轴交于点 D,其特征直线交 y 轴于点 E,点 F 的坐标为
2

(1, 0) ,DE∥CF.
①若特征点 C 为直线 y = ?4 x 上一点,求点 D 及点 C 的坐标; ②若

1 < tan ∠ODE < 2 ,则 b 的取值范围是__________________________. 2

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答案及评分标准 2016.1 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 题 号 答 案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 B 7 B 8 D 9 C 10 B

二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 题 号 答 案 11 12 13 14 15 16

y= ?

1 x

m<9

(8, 0)

(?1, ?2)

( x ? 2) 2 + ( x ? 4) 2 = x2

1 3 (1) ;(2) 3 4

(答案不唯一) 三、解答题(本题共 72 分,第 17~26 题,每小题 5 分,第 27 题 6 分,第 28 题 8 分,第 29 题 8 分) 17.(本小题满分 5 分)

? 2? 1 解:原式 =+ 3 3 ? ? ? 2 ? ? ……………………………3 分 2 ? ? 1 1 = + 3 3 ? ……………………………4 分 2 2 = 3 3 .……………………………5 分
18.(本小题满分 5 分) 解法一: x 2 + 2 x = 5 .

2

x 2 + 2 x + 1 = 5 + 1 . ……………………………2 分

( x + 1) 2 = 6 . ……………………………3 分 x +1 = ± 6 . x = ± 6 ?1.
∴ x1 =

6 ? 1 , x 2 = ? 6 ? 1 . ……………………………5 分

解法二: a = 1,b = 2,c = ?5 .

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? = b 2 ? 4ac = 2 2 ? 4 × 1 × (?5) = 4 + 20 = 24 > 0 . …………………………2 分
∴x=

?b ± b 2 ? 4ac 2a

=

?2 ± 24 2 ×1 ?2 ± 2 6 2

……………………………3 分

=

=?1 ± 6 .
∴ x1 =

6 ? 1 , x 2 = ? 6 ? 1 . ………………………………5 分

19.(本小题满分 5 分) 证明:∵DE//AB, ∴∠CAB =∠EDA. ………………………………3 分 ∵∠B=∠DAE, ∴△ABC∽△DAE. ………………………………5 分 20.(本小题满分 5 分) 解:∵ m 是方程 x 2 + x ? 1 = 0 的一个根, ∴ m2 + m ? 1 = 0 . ………………………………1 分 ∴ m2 + m = 1. ∴ 原式= m 2 + 2m + 1 + m 2 ? 1 ………………………………3 分

= 2m 2 + 2m
= 2 . ………………………………5 分
21.(本小题满分 5 分) 解:∵二次函数 y = x 2 + bx + 8 的图象与 x 轴交于点 A (?2, 0) , ∴0 = 4 ? 2b + 8 . ………………………………1 分 ∴ b = 6 . ………………………………2 分 ∴二次函数解析式为 y = x 2 + 6 x + 8 . ………………………………3 分

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即y= ( x + 2)( x + 4) . ∴二次函数 y = ( x + 2)( x + 4) 与 x 轴的交点 B 的坐标为 ( ?4,0) . ……5 分

22.(本小题满分 5 分)

? x + 16 x ; ………………………………2 分 解:(1) y =
2

? x + 16 x , (2)∵ y =
2

?( x ? 8) + 64 . ∴y=
2

………………………………4 分

∵ 0 < x < 16 , ∴当 x = 8 时, y 的最大值为 64. 答:矩形 ABCD 的最大面积为 64 平方米. ………………………………5 分 23.(本小题满分 5 分) 解:解法一:如图,(1)∵DE⊥AB, ∴∠DEA=90°. ∴∠A+∠ADE=90°. ∵∠ACB= 90° , ∴∠A+∠B=90°. ∴∠ADE=∠B. ………………………………1 分 在 Rt△ABC 中,∵AC=12,BC=5, ∴AB=13. ∴ cos = B
A E B D C

BC 5 . = AB 13

∴ cos ∠ADE = cos B =

5 . ………………………………2 分 13 DE 5 (2)由(1)得 cos ∠ADE = = , AD 13 5 设 AD 为 x ,则 DE = DC = x .………………………………3 分 13
5 x+x= 12 . .………………………………4 分 13

∵ AC = AD + CD = 12 , ∴

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26 . 3 26 . …………………………5 分 ∴ AD = 3
解得 x = 解法二:(1) ∵ DE ⊥ AB,∠C = 90° , ∴ ∠DEA = ∠C = 90° . ∵ ∠A = ∠A , ∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ∠ADE = ∠B . ………………………… 1 分

= AC 12, = BC 5 , 在 Rt△ ABC 中,∵
∴ AB = 13.

= B ∴ cos

BC 5 . = AB 13 5 . …………………………2 分 13

∴ cos ∠ADE = cos B =

(2) 由(1)可知 △ ADE ∽△ ABC . ∴

DE AD ………………………………3 分 = . BC AB

= DC = 12 ? x . 设 AD = x ,则 DE

12 ? x x = . .………………………………4 分 5 13 26 解得 x = . 3 26 .…………………………5 分 ∴ AD = 3
∴ 24.(本小题满分 5 分) 解:(1) ∵直线 y = kx ? 2 过点 A(3,1),

1 3k ? 2 . ∴=
∴ k = 1. ∴直线的解析式为 y= x ? 2 . ………………………………2 分 ∵双曲线 y = ∴m = 3. ∴双曲线的解析式为 y =

m 过点 A(3,1), x
3 . ………………………………3 分 x

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(2) ?

?3 ? ? 1 ? , 2 ? 或 ? ? , ?6 ? . ………………………………5 分 2 2 ? ? ? ?

25.(本小题满分 5 分) 解:如图,依题意,可得

CD = AB = 10 , FG = AC = 1.5 , ∠EFC = 90° .
在 Rt△ EFD 中,∵ β =50°, tan β = ∴ EF = 1.2 FD . 在 Rt△ EFC 中,∵ α =45°, ∴ CF = EF = 1.2 FD . ………………………2 分 ∵ CD = CF ? FD = 10 , ∴ FD = 50 . ∴ EF = 1.2 FD = 60 . ……………………4 分
F G β Dα B C A

EF = 1.2 , FD

E

∴ EG = EF + FG = 60 + 1.5 = 61.5 . 答:塔的高度为 61.5 米. ………………………………5 分 26.(本小题满分 5 分) 解:如图, (1)连接 BO 并延长交⊙O 于点 M,连接 MC. ∴∠A=∠M,∠MCB=90°. ∴∠M+∠MBC=90°. ∵DE 是⊙O 的切线, ∴∠CBE+∠MBC=90°. ∴ ∠CBE = ∠M . ∴ ∠CBE = ∠A . ………………………………2 分 (2) 过点 C 作 CN ⊥ DE 于点 N .
90° . ∴ ∠CNF =

由(1)得, ∠M = ∠CBE = ∠A .
tan ∠CBE = tan A = 2. ∴ tan M =

在 Rt△ BCM 中,
= , tan M 2 , ∵ BM 5=

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∴ BC = 2 5 . ………………………………3 分 在 Rt△ CNB 中,

= 2 5, tan ∠CBE = 2, ∵ BC
= CN 4= ,BN 2 . ∴

.………………………………4 分

∵ BF = 2 , ∴ FN = BF + BN = 4 . 在 Rt△ FNC 中,

= FN 4, = CN 4 , ∵
∴ CF = 4 2 . …………………………5 分 27.(本小题满分 6 分) 解:(1)①(2,

1 ); ………………………………1 分 2

②7; ………………………………2 分 (2) y =

1 + 1 ; ………………………………4 分 x

(3)如图. ………………………………6 分

28. (本小题满分 8 分) 解:(1) 3 ; ………………………………1 分 (2)①如图,△ EDF 即为所求; ………………………………3 分

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②在 AD 上截取 AH,使得 AH=DE,连接 OA、OD、OH. ∵点 O 为正方形 ABCD 的中心,

90° , ∠1 =∠2 =45° . ∴ OA = OD , ∠AOD =
∴△ ODE ≌△ OAH . ………………………………4 分

∠AOH , OE = OH . ∴ ∠DOE = 90 . ∴ ∠EOH =°
∵△ EDF 的周长等于 AD 的长, ∴ EF = HF . ………………………………5 分

∴△ EOF ≌△ HOF . ∴ ∠EOF = ∠HOF = 45° . ③ ………………………………6 分

2 2 . ………………………………8 分 3

29.(本小题满分 8 分) 解:(1)(3,0); ……………………1 分 (2)点 A 、点 B 的位置如图所示;…………………………3 分

(3)①如图,∵特征点 C 为直线 y = ?4 x 上一点, ∴ b = ?4a . ∵抛物线 = y ax 2 + bx 的对称轴与 x 轴交于点 D, ∴对称轴 x = ?

b = 2. 2a 九年级数学试题及答案 第 15 页(共 16 页)

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∴点 D 的坐标为 . (2, 0) 分 ∵点 F 的坐标为(1,0), ∴ DF = 1 .

……………………………4

∵特征直线 y=ax+b 交 y 轴于点 E, . ∴点 E 的坐标为 (0, b) , ∵点 C 的坐标为 (a, b) ∴CE∥DF. ∵DE∥CF, ∴四边形 DECF 为平行四边形. ∴ CE = DF = 1 .………………………………5 分 ∴ a = ?1 . . ∴特征点 C 的坐标为 ( ? 1, 4) ②? ………………………………6 分

5 1 ≤ b < 0 或 < b < 4 . ………………………………8 分 8 2

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