2017苏教版高一数学异面直线3.doc


第 12 课时 异面直线(三)
教学目标:
熟练掌握反证法的证题步骤,会用反证法证明简单的问题,掌握异面直线的证明方法; 通过对简单问题的证明,使学生掌握证题规律、方法和步骤,并从中学会认识事物、分析问 题、转化矛盾.

教学重点:
反证法、异面直线的证明

教学难点:
反证法、异面直线的证明.

教学过程:
Ⅰ.课题导入 [师]上节课我们在研究异面直线所成的角与异面直线间距离的定义的基础上,通过具 体问题,讨论了异面直线所成角与异面直线的距离的计算.清楚了求角、求距离的关键是—— [生甲]求异面直线所成角的关键是找到一个恰当的点,通过平移,把异面直线所成的 角化为相交直线所成的角,然后在含这个角的某一三角形中,运用解三角形的知识,求得角 的大小. [生乙]求异面直线的距离,关键是找到含公垂线段在内的某一三角形,仍是运用解三 角形的知识,求得线段的长. [生丙]角所在的三角形,线段所在的三角形,都要能较好的联系已知,这两类问题解 决的方法都是将空间问题化成了平面问题. [师]好!对这两类问题的解法,同学们都要切实增强化归意识,理清化归思路,具体 问题具体分析,设法使所求与已知产生联系,寻求到好的解题途径.这节课我们来讨论异面直 线的证明. Ⅱ.新课讨论 [师]关于异面直线的证明,常用反证法,请同学们回忆一下,反证法是怎样的一种推 理方法? [生]反证法是通过否定命题结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的一种推理方法. [师]反证法证题的步骤是怎样的? [生]首先假设结论的反面成立,其次在假设的基础上,按照正确的推理,推出矛盾(与 已知矛盾、与真命题矛盾、与定理公理矛盾、自相矛盾等),第三否定假设肯定结论. [师]好!下面我们来看个例子. [例 1]求证:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面 直线 . [师]为了证题过程表述的方便,先把文字语言写成符号语言. [生]已知:a ? α 、A∈ \ α 、B∈α 、B∈ \ a. 求证:直线 AB 和 a 是异面直线. [师]观察原题、图形,已知、求证写得正确吗? [生]正确.

[师]好.下面我们一起用反证法来给出证明. 证明:假设直线 AB 和 a 共面于β . 即 AB ? β ,a ? β 于是 A∈β ,B∈β ∵a ? α ,B∈α ,B∈ \a ∴过 a 和 B 有且仅有一个平面 于是α 与β 是同一平面,即α =β 由假设知 A∈β ,∴A∈α 这与已知 A∈ \ α 矛盾 ∴假设错误,故直线 AB 与 a 是异面直线. [例 2]已知α ∩β =a,b ? β ,a∩b=A,c ? α ,c∥a,求证 b、c 是异面直线. [师]仍然采用反证法来证.请同学动手证明(教师巡视, 发现有两种证明方法,指派各一人板书于黑板上). 证法一:假设 b、c 共面于γ ,则 b ? γ ,c ? γ ∵A∈b,b ? γ ,∴A∈γ ,即 c ? γ ,A∈γ ∵A∈a,a∥c,∴A∈ \ c,且 c ? α ,A∈α 而经过直线 c 与其外一点 A 的平面有且只有一个. ∴α 与γ 重合. ∵a ? α ,α 与γ 重合,∴a ? γ . 又 b ? γ 且 a∩b=A ∴a、b 是γ 内的两条相交直线. 由已知,a、b 是β 内的两条相交直线. 而经过两条相交直线 a、b 的平面有且只有一个 ∴β 与γ 重合,又α 与γ 重合 ∴α 与β 重合,这与α ∩β =a 矛盾. ∴假设错误,故 b、c 是异面直线. 证法二:假设 b、c 共面,则 b∥c 或 b、c 相交 若 b∥c,又 a∥c, ∴a∥b,这与 a∩b=A 矛盾. 若 b∩c=P,又 c ? α ,b ? β , ∴P∈α ∩β =a,∴a∩c=P,这与 a∥c 矛盾. 由上可知,b、c 既不平行又不相交 ∴b、c 是异面直线. [师]由上面两题的证明可以看出,在假设的基础上,按照正确的推理,都要推出矛盾, 这是反证法证题必然出现的结果.之所以出现矛盾,原因都是假设错误,因而才有否定假设, 才能肯定结论之说.至于究竟与什么矛盾,这要在假设的基础上,即把假设作为一个条件,理 清思路,再去推理,千万不能漫无目标,信手做来.反证法证题三步曲,推出矛盾是反证法证 题的关键所在. [例 3]如图,不共面的三条直线 a、b、c 相交于点 O,点 M∈a,点 N∈b,点 Q∈b,

N、Q 不是同一点,点 P∈c. 求证:MN 与 PQ 异面 [师]请同学们来讨论、分析怎样进行证明? (学生讨论、分析之后让学生汇报讨论结果.汇报时,要求其余 学生注意听,待汇报完毕,再让其他学生补充,必要时,教师再作 提示,直至分析完整为止.) 证明:假设 MN 与 PQ 共面于α , 则 M、N、P、Q∈α , 又 Q、N∈b,∴b ? α 又 O∈b,∴O∈α 又 P∈α ,∴c ? α 同理 a ? α ,∴a、b、c 共面. 这与已知 a、b、c 不共面矛盾. ∴假设错误,故 MN、PQ 是异面直线. Ⅲ.课堂练习 已知:平面α ∩β =l,A∈l、D∈l、AC ? α ,BD ? β . 求证:AC 和 BD 是异面直线. 证明:假设 AC 与 BD 共面于γ ∵A、D、C 既在γ 内又在α 内,且 A、D、C 三点不共线 ∴α 与γ 重合. ∵A、B、D 既在γ 内又在β 内,且 A、B、D 三点不共线. ∴β 与γ 重合. 综上α 与β 重合,这与α ∩β =l 矛盾. ∴假设错误,故 AC 和 BD 是异面直线. Ⅳ.课时小结 本节课我们讨论了异面直线的证明,应用的方法是反证法,请同学们注意,反证法证题 的三步曲是:第一步,假设结论的反面成立;第二步,在假设的基础上,按照正确的推理, 推出矛盾;第三步,否定假设,肯定结论.三步曲中,关键是第二步,它是反证法证题的核心 所在,至于与什么矛盾,要认真做好分析,不能盲目乱推,造成到处碰壁的局面.关于哪些命 题宜用反证法来证.这里又补充进了一个内容:异面直线的证明一般用反证法来证. Ⅴ.课后作业 (一)补充 1.a、b 是异面直线,且分别在平面α 、β 内,α ∩β =l.求证:a、b 至少有一条与 l 相交. 证明:假设 a、b 都与 l 不相交. ∵a ? α ,l ? α ,∴a∥l 同理 b∥l ∴a∥b,这与 a、b 是异面直线矛盾. ∴假设错误,故 a、b 中至少有一条与 l 相交. 2.如图,a、b 是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,E、F 分别 是线段 AC 和 BD 的中点,判断 EF 与 a、EF 与 b 的位置关系, 并证明你的结论. 证明:假设 EF 与 a 共面于α 则 EF ? α ,AB ? α ∴A、B、E、F∈α ∴EA、FB ? α ,则 A、B、C、D∈α

∴CD ? α ,AB ? α ,即 a、b 共面 这与已知 a、b 是异面直线矛盾. ∴假设错误,故 EF 与 a 是异面直线. 同理可证:EF 与 b 也是异面直线 3.求证:空间四边形的两条对角线是异面直线. 已知:ABCD 是空间四边形. 求证:AC、BD 是异面直线. 证明:假设 AC、BD 不是异面直线,即 AC、BD 共面于α 则 AC ? α ,BD ? α ∴A、B、C、D∈α 即 A、B、C、D 都在平面α 内. 这与 ABCD 是空间四边形(四个顶点不在同一平面内)相矛盾. ∴假设错误,故 AC、BD 是异面直线. 4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、Q 分别是正方形 ABB1A1、BCC1B1 的中心. (1)求证:A1Q 与 D1P 是异面直线; (2)求异面直线 A1Q 与 D1P 所成角的余弦值. (1)证明:连结 A1B、BC1、A1C1, 则 P∈A1B,Q∈BC1 ∴A1Q ? 面 A1BC1 ∵P∈A1B,A1B ? 面 A1BC1 ∴P∈面 A1BC1 又 D1∈ \ 面 A1BC1,P∈ \ A1Q. 由过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线 ∴D1P 与 A1Q 是异面直线. (2)解:设 BQ 的中点为 R,连结 PR, 则 PR∥A1Q ∴D1P 与 PR 所成的锐角(或直角)为异面直线 D1P 与 A1Q 所成的角. 连结 D1R,在 Rt△D1C1R 中 D1R2=D1C12+C1R2 设正方体的棱长为 a. 3 则 D1R2=a2+( 4 在 Rt△D1A1P 中, D1P2=D1A12+A1P2=a2+( 在 Rt△A1QB 中, A1Q= 2 2 3 2 a) = a 2 2 2 a)2= 17 2 a (因为 Q 是 BC1 的中点,R 是 BQ 的中点) 8

1 6 A1 B 2 ? BQ2 ? 2a 2 ? a 2 ? a 2 2

而 D、R 分别为 A1B、BQ 的中点

1 6 ∴PR= A1Q= a 2 4 ∴cosD1PR=

D1 P 2 ? PR2 ? D1 R 2 1 ? ? <0. 2D1 P ? PR 6
1 . 6

故异面直线 A1Q 与 D1P 所成角的余弦值为

5.S 是矩形 ABCD 所在平面外的一点,SA⊥BC、SB⊥CD、SA 与 CD 成 60°角,SD 与 BC 成 30°角,SA=a. (1)求证:AD 是异面直线 SA、CD 的公垂线段, 并求 SA 与 CD 之间的距离; (2)求证:AB 是异面直线 SB、AD 的公垂线段, 并求 SB 与 AD 之间的距离. 证明:(1)在矩形 ABCD 中,BC∥AD ∵SA⊥BC,∴SA⊥AD. 又 CD⊥AD, ∴AD 是异面直线 SA 与 CD 的公垂线段. 其长度为异面直线 SA 与 CD 的距离. 在 Rt△SAD 中, ∵∠SDA 是 SD 与 BC 所成的角 ∴∠SDA=30° 又 SA=a ∴AD= 3 a. (2)在矩形 ABCD 中,AB∥CD ∵SB⊥CD,∴SB⊥AB 又 AB⊥AD ∴AB 是异面直线 SB、AD 的公垂线段. 其长度为异面直线 SB 与 AD 的距离. 在 Rt△SBA 中,∵∠SAB 是 SA 与 CD 所成的角 ∴∠SAB=60° 又 SA=a 1 ∴AB=acos60°= a 2 即直线 SB 与 AD 的距离为 1 a. 2

(二)1.预习课本直线与平面的位置关系、直线和平面平行的判定至例 1 结束. 2.预习提纲 (1)直线和平面平行的定义是什么? (2)直线和平面的位置关系有几种?各有什么特征? (3)直线在平面外是不是可以断定直线和平面平行? (4)直线和平面的各种位置关系用图形语言怎样表示?用符号语言怎样表示? (5)直线与平面平行的判定定理是什么? (6)直线与平面平行应具备几个条件?


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