【精选高中试题】广西南宁市高三第二次适应性考试数学理试卷 Word版含答案

2017 年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷(理科) 一、选择题
2 1.已知集合 A ? ?x | 3x ?1 ? 0? , B ? x | 6 x ? x ? 1 ? 0 ,则 A ? B ?

?

?

1 1 1 1 B. ? C. (??, ) D. { } 3 2 3 3 1 2.复数 (a ? R) 在复平面内对应的点在第一象限,则 a 的取值范围是 1 ? ai
A. [? , ] A. a ? 0 3.若椭圆 C: 的离心率为 A. B. 0 ? a ? 1 C. a ? 1 D. a ? ?1

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的短轴长等于焦距,则椭圆 a 2 b2

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

2 4

4.在 ?ABC 中, cos B ? 值为 A.

3 , AC ? 5,AB ? 6 ,则角 C 的正弦 5 9 25 7 25

24 25 1 3

B.

16 25 2 3 4 D. 3
B.

C.

D.

5.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是 A.

C. 1

开始

(1, 0) ( 1, 2) 6.已知向量 a ? ,b ? ,向量 c 在 a 方向上的投影为 2.
若 c // b ,则 c 的大小为 A.. 2 B.

?

?

?

?

A=1,S=0
A=A+1

?

?

?

5

C. 4

D. 2 5

A≤9 是 否 输出 S

S=S+A

7.执行如图的程序框图,输出的 S 的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 55

8.若以函数 y ? Asin ?x?? ? 0? 的图像中相邻三个最值点为顶点的 三角形是面积为 1 的直角三角形,则 ? 的值为 A.1 B. 2 C.
结束 第 7 题图

?

D. 2?

9.已知底面是边长为 2 的正方形的四棱锥 P ? ABCD 中,四棱锥的侧棱长都为 4, E 是 PB 的中点,

则异面直线 AD 与 CE 所成角的余弦值为 A.

6 4

B.

3 3

C.

1 2

D.

2 2

10.定义 min{a, b} ? ?

?a, a ? b, 2 1 设 f (x )= min{x , } ,则由函数 f (x) 的图像与 x 轴、直线 x =2 所围 x ?b, a>b,

成的封闭图形的面积为 A.

7 12

B.

5 12

C.

1 + ln 2 3

D.

1 + ln 2 6

11.函数 f ( x) ? A. 奇函数

1 ?3 是 3x ?1
B. 偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数

C. 既是奇函数也是偶函数

12.设实数 a, b, c, d , e 同时满足关系: a ? b ? c ? d ? e ? 8, a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? e 2 ? 16 ,则实数 e 的 最大值为 A.2 B.

16 5

C. 3

D. 2 【

5

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填答题卷相应题中横线上.

?x ? 2 y ? 2 ? 13.设变量 x , y 满足约束条件 ?3x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? y ? 2 x 的最大值是 ? x ? y ? ?4 ?
14 若锐角 ? , ? 满足 sin ? ?

4 2 , tan( ? ? ? ) ? ,则 tan? ? 5 3
2 2





15. 过动点 M 作圆: (x ? 2)? (y ? 2) ? 1 的切线 MN ,其中 N 为切点,若 | MN |?| MO | ( O 为坐 标原点),则 | MN | 的最小值是 ▲ .

16.定义在 R 上的函数 f ( x ) ,如果存在函数 g ( x) ? ax ? b , (a, b 为常数) ,使得 f ( x) ? g ( x) 对一切实数 x 都成立,则称 g ( x) 为函数 f ( x ) 的一个承托函数.给出如下命题: ①函数 g ( x) ? ?2 是函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0, 的一个承托函数; ?1, x ? 0

②函数 g ( x) ? x ? 1 是函数 f ( x) ? x ? sin x 的一个承托函数; ③若函数 g ( x) ? ax 是函数 f ( x) ? e 的一个承托函数,则 a 的取值范围是 [0, e] ;
x

④值域是 R 的函数 f ( x ) 不存在承托函数.

其中正确的命题的个数为



.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? n2 ? 2n, n ? N * . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记数列 ?

?

1 ? 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 6 ? an an ?1 ?

18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 某食品店为了了解气温对销售量的影响,随机记录了该店 1 月份中 5 天的日销售量 y (单位:千克) 与该地当日最低气温 x (单位: C )的数据,如下表:

x
y

2 12
?

5 10
? ?

8 8

9 8

11 7

(1)求出 y 与 x 的回归方程 y ? b x ? a ; (2)判断 y 与 x 之间是正相关还是负相关;若该地 1 月份某天的最低气温为 6 C ,请用所求回归方 程预测该店当日的销售量; (3)设该地 1 月份的日最低气温 X ~ N (?, ? ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x ,? 近似为样本方差
2
2

s 2 ,求 P(3.8 ? X ? 13.4) .

附: ①回归方程 y ? b x ? a 中, b ?

?

?

?

?

? ( x y ) ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

,a ? y ?b x.

?

?

2 i

? n( x ) 2

② 10 ≈3.2,

3.2 ≈1.8.若 X ~ N (?,? 2 ) ,则 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 .

19. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如 图 , 已 知 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 柱 ABCD - A1B1C1D1 中 ,

A B= A D =1 , CB ? CD ? 3, ?BCD ? 60 , CC1 ? 3 .
(1)若 E 是线段 A1 A 上的点且满足 A 1E ? 3 AE , 求证: 平面 EBD ⊥平面 C1BD ; (2)求二面角 C - C1D - B 的平面角的余弦值.
M

20. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F (1, 0) , C1 的中心和 C2 的顶点都在坐标原点,过点 M (4, 0) 的 直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A, B 两点(其中点 A 在第四象限内). (1)若 | MB |? 4 | AM | ,求直线 l 的方程; (2)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长 轴长的最小值.

21. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ?

1 ?a. x

(1)讨论函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) ? g ( x) ? 0 在定义域内恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆 E 的极坐标方程为 ? ? 4sin? ,以极点为原点、极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系, 取相同单位长度(其中 ? ≥0, ? ?[0, 2? )) .若倾斜角为

3? 且经过坐标原点的直线 l 与圆 E 相交于 4

点 A(A 点不是原点).(1)求点 A 的极坐标; (2)设直线 m 过线段 OA 的中点 M ,且直线 m 交圆 E 于 B,C 两点,求 || MB | ? | MC || 的最大值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? 4 ; (2)若 a , b 满足(1)中不等式,求证: 2 | a ? b |?| ab ? 2a ? 2b | .

2017 年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 数学试卷(理科)答案与评分标准 一、选择题 1.B 5.D 9.A 12.B 解: 将题设条件变形为 a ? b ? c ? d ? 8 ? e, a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? 16 ? e 2 , 代入由柯西不等式得如下不等式 (1? a ? 1? b ? 1? c ? 1? d )2 ? (12 ? 12 ? 12 ? 12)(a2 ? b2 ? c2 ? d 2) 有 (8 ? e) 2 ? 4(16 ? e 2 ) ,解这个一元二次不等式,得 0 ? e ? 所以,当 a ? b ? c ? d ? 2.A 6.D 10.C 3.C 7.C 11.D 4.A 8.C

16 . 5

6 16 时,实数 e 取得最大值 . 5 5

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填答题卷相应题中横线上. 13.14 14

6 17

15.

7 2 8

16.2 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 解: (1)第一类解法: 当 n=1 时 ,

a1 ? 3 ................................................................................
....................1 分 当

n?2



an ? Sn ? Sn?1 ........................................................................
.............2 分

? n2 ? 2n ? (n ?1)2 ? 2(n ?1) ............................................................
....................3 分

? 2n ? 1 ..............................................................................
......................................4 分 而

a1 ? 3







an ? 2n ? 1 ............................................................................
.......5 分 ∴ 数 列

?an ?













an ? 2n ? 1 ............................................................................
.....6 分 第二类解法:

an ? Sn ? Sn?1 ........................................................................
................1 分

? n2 ? 2n ? (n ?1)2 ? 2(n ?1) ............................................................
.........2 分

? 2n ? 1 ..............................................................................
........................3 分 ∴ 数 列

?an ?













an ? 2n ? 1 ............................................................................
.....4 分 第三类解法:

a1 ? S1 ? 3 ..........1 分; a2 = S2 - S1 .......1 分; an ? 2n ? 1...........1 分,共 3 分

第四类解法: 由 Sn

? n2 ? 2n





?an ?







列.........................................................................2 分 且

a1 ? 3



d = a 2 - a1 = S2 - S1 - 3 = 2 .............................................................
..................4 分 ∴ 数 列

?an ?













an ? 2n ? 1 ............................................................................
.....5 分 ( ∵ an ? 2n ? 1 ,∴ ....7 分 2 )

1 1 ................................................ ? an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 3)

?

1 1 1 ( ? ) ................................................................... 2 2n ? 1 2n ? 3

.......8 分 则

1 1 1 1 1 1 1 Tn ? [( ? ) ? ( ? ) ? ....... ? ( ? )] ......................................... 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3
.......9 分

?

1 1 1 ( ? ) ....................................................................... 2 3 2n ? 3 1 1 ? .......................................................................... 6 4n ? 6

..10 分

?

.11 分

1 ? . ................................................................................. 6
..........................................................12 分 18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........

附: ①回归方程 y ? b x ? a 中, b ?

?

?

?

?

? ( x y ) ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

,a ? y ?b x.

?

?

2 i

? n( x ) 2

② 10 ≈3.2,

3.2 ≈1.8.若 X ~ N (?,? 2 ) ,则 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 ,

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 .
解: 【提示:本题第(1) 、 (2)问与第(3)问没有太多关系,考生第(1) 、 (2)问做不对,第(3) 问也可能做对,请老师们留意】 (1) ∵ 令

n ? 5 , x?
.1 分

1 n 35 1 n 45 x ? ? 7, y ? yi ? ? 9 ,........................................ ? ? i n i ?1 5 n i ?1 5

【说明:如果考生往下算不对结果,只要上面的两个平均数算对其中一个即可给 1 分】 ∴

? ( x y ) ? nx y ? 287 ? 5 ? 7 ? 9 ? ?28.
i ?1 i i

n

...............................................

........................2 分

?x
i ?1
?

n

2 i

? n( x)2 ? 295 ? 5 ? 72 ? 50. ........................................................

.......................................3 分 ∴b ?

?28 ? ?0.56 50

..........................................................

..........................................4 分 【说明:2 分至 4 分段,如果考生不是分步计算,而是整个公式一起代入计算,正确的直接 给完这部分的分;如果结果不对,只能给 1 分】 ∴

a ? y ? b x ? 9 ? (?0.56) ? 7 ? 12.92.

?

?









323 ) 25

?

...............................................5 分 所 求 的 回 归 方 程 是

y ? ?0.56 x ? 12.92
.......6 分

.............................................................

(2) 关,



b ? ?0.56 ? 0

?



y



x











....................................................................7 分

【说明:此处只要考生能回答负相关即可给这 1 分】 将 x ? 6 代入回归方程可预测该店当日的销售量 y ? ?0.56 ? 6 ? 12.92 ? 9.56 (千克) ( 或 者 :
?

239 ) 25
.................8 分

...................................................

【说明:此处只要考生能算得正确的答案即可给这 1 分】
2 2 (3)由(1)知 ? ? x ? 7 ,又由 ? ? s ?

1 [(2 ? 7) 2 ?(5 ? 7)2 ? (8 ? 7)2 ? (9 ? 7)2 ? (11 ? 7)2 ] 5


? 10,

? ? 3.2

..........................................................................

............................................9 分 【说明:此处要求考生算对方差才能给这 1 分】 从 而

P(

?X?

? P(? ? ? ? X ? ? ? ?

.......................................... 3

................10 分

? P(? ? ? ? X ? ? ) ? P( ? ? X ? ? ? 2? )

?

1 1 P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? P ( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) 2 2

.................................

..............11 分 【说明:此处不管考生用什么方法进行变换,只要有变换过程都给这 1 分】

? 0.8185


........................................................................12

【说明:此处是结论分 1 分,必须正确才给】

19. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........

解:(1) 解法(一):

?BCD ? 60 , AB ? AD ? 1, CB ? CD ? 3,

CA ? 2 .. ...............1 分(没有这一步扣一分) ? ?CDA ? 90 , ?

? 以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系. ...............2
分 设

M



BD







,





MC1 .................................................................................
........................2 分 C C1⊥平面 ABCD, CB ? CD ? 3, ? C1D ? C1B .

M



BD





点 , ? MC1 ⊥ BD ...................................................................... ..........................3 分

3 3 3 , 0) , C1 (0, 3,3) , E( 1,0, ) , M ( , 4 4 4 3 3 3 3 , 3) , DE ? (1, 0, ) . .............................................. ? MC1 ? (? , 4 4 4
.. ..........4 分

3 3 3 3 MC1 DE ? ? ?1 ? ?0 ? 3? ? 0 , ? MC1 ⊥ DE ............................... 4 4 4
...............5 分 (证得 MC1 ⊥ ME 或 BE 也行)

DE 与 BD 相交于 D, ? MC1 ⊥平面 EBD .

MC1







C1BD



,

?





EBD







C1BD ..............................................................6 分
解 法 ( 二 ): 设

M



BD







,





EM



MC1 , EC1 ..............................................................1 分
AB ? AD, CB ? CD, ? BD ⊥ CA 且 C, A, M 共线. ? BD ⊥ ME , BD ⊥ MC1 .

EA⊥平面 ABCD, C C1⊥平面 ABCD ,

?



EMC1









E ? BD ? C1







角...........................................................2 分

?BCD ? 60 , AB ? AD ? 1, CB ? CD ? 3,

1 3 ? ?CDA ? 90 , MA = , MC = ................................................3 分(正 2 2
确计算出才给这 1 分)

A1E ? 3 AE , CC1 ? 3 ,? EM ?
C1 E ?

7 21 , C1M ? . ………………4 分(至少算出一个) 4 2

91 , ........................................................................ 4

.....................5 分

? C1E 2 ? C1M 2 ? EM 2 ,即 C1E ⊥ EM .? 二面角 E ? BD ? C1 的平面角为直角.
?
平 面

EBD⊥





C1BD ................................................................................
......................6 分 解法(三):

CA ? 2 . ?BCD ? 60 , AB ? AD ? 1, CB ? CD ? 3, ? ?CDA ? 90 , ?

以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系. ...............1 分 设 M 是 BD 的中点,连接 EM 和 MC1 , EC1 ..

AB ? AD, CB ? CD,

?

BD



CA



C, A, M



线. ........................................................2 分

EA⊥平面 ABCD, C C1⊥平面 ABCD ,? BD ⊥ ME , BD ⊥ MC1 .

?



EMC1









E ? BD ? C1







角.............................................................................3 分 则 E( , C1 (0, 3,3) , M ( , 1,0, ) 的坐标)

3 4

3 3 , 0) ......................4 分(至少正确写出一个点 4 4

1 3 3 3 3 3 , ) , MC1 ? (? , , 3) . ? ME ? ( , ? 4 4 4 4 4 1 3 3 3 3 3 ? ? 3 ? 0 ................................5 分 ? ME ? MC1 ? ? (? ) ? (? ) ? 4 4 4 4 4
? ME ⊥ MC1 ,∠ EMC1 ? 90 ,
二 面 角

E ? BD ? C1















,





EBD⊥





C1BD ................................................6 分

O 和 N ,如图. 解法四: 连结 AC , AC 1 1 , B1 D 1 ,交点为
?BCD ? 60 , AB ? AD ? 1, CB ? CD ? 3,
N

CA ? 2 .以 O 为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y ? ?CDA ? 90 , ? ON 为 z 轴,建立空间直角坐标系. ...............1 分
则 O 是 BD 的中点. C C1⊥平面 ABCD, CB ? CD ? 3, O 是 BD 的中点,
O

轴,

?

C1D ? C1B

.

O



BD





点,? OC1 ⊥ BD ............3 分

3 3 1 3 3 3 1 3 , B( E (0, ? , ) , 0, 0) , C1 (0, , 3) ? OC1 ? (0, , 3) , BE ? (? ,? , ) . 2 2 2 4 2 2 2 4

OC1 BE ? ?

3 3 1 3 ? 0 ? ? (? ) ? 3 ? ? 0 , ? OC1 ⊥ BE ............................. 2 2 2 4

............5 分

BE 与 BD 相交于 O, ? OC1 ⊥平面 EBD .

OC1







C1BD



,

?





EBD







C1BD ..............................................................6 分
(2) 解法一: (若第 1 问已经建系)

A(1, 0, 0) , DA ⊥平面 C1DC ,? DA ? (1,0,0) 是平面 C1DC 的一个法向量...........8 分

3 3 3 3 , C1 (0, 3 B ( , ,0) ,3) , DB ? ( , , 0) , DC1 ? (0, 3 ,3) 2 2 2 2

?3 3 ? y?0 ?m DB ? 0, ? x ? 设平面 C1BD 的法向量是 m ? ( x, y, z) ,则 ? , ?2 , 2 m DC ? 0 ? ? ? 1 ? 3 y ? 3z ? 0


x ? 1,



y ? ? 3, z ? 3

.





C1BD







m?( ? 1

分 , ...................................10 3 , 3 )

ME ⊥平面 C1BD ,则平面 C1BD 的法向量是 【另解:由(1)知当 A 1E ? 3 AE 时,

1 3 3 ME = ( , ? , )】 4 4 4

cos ? DA, m ??

DA ? m .......................................................... | DA | ? | m |

...................................11 分

?

7 7

? 由 图 可 知 二 面 角 C - C1D - B 的 平 面 角 的 余 弦 值 为

7 . ....................................12 分 7
解法二: (第 1 问未建系)

CA ? 2 ?BCD ? 60 , AB ? AD ? 1, CB ? CD ? 3, ? ?CDA ? 90 , ?
以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系. ..................7 分

A(1, 0, 0) , DA ⊥平面 C1DC ,

?

DA ? (1,0,0)







C1DC







量 .................................................................................... .8 分

3 3 3 3 , C1 (0, 3 B ( , ,0) ,3) , DB ? ( , , 0) , DC1 ? (0, 3 ,3) , 2 2 2 2

?3 3 ? y?0 ?m DB ? 0, ? x ? 设平面 C1BD 的法向量是 m ? ( x, y, z) ,则 ? , ?2 , 2 m DC ? 0 ? ? 3 y ? 3z ? 0 ? 1 ?


x ? 1,



y ? ? 3, z ? 3

.





C1BD







m?( ? 1

分 , .......................................10 3 , 3 )

cos ? DA, m ??

DA ? m .......................................................... | DA | ? | m |

.......................................11 分

?

7 7

. ? 由 图 可 知 二 面 角

C-

1

C - D 的B 平 面 角 的 余 弦 值 为

7 . .......................................12 分 7
解法三: 设 (几何法) 是

N

CD

的 中



,



N



NF⊥

C1 D



F, 连 接

FB, 如

图.......................................................7 分

?BCD ? 60 , CB ? CD ? 3, ? NB⊥CD.
侧面 C1 D ⊥底面 ABCD, ? NB⊥侧面 C1 D ..........8 分

NF⊥ C1 D ,? BF⊥ C1 D

F N

? ∠BFN 是二面角 C - C1D - B 的平面角 ...................9
依 题 意 可 得



NB

=

3 2

,

NF

=

6 4

,BF

=

42 ..................11 分 4
NF 7 7 = . ? 二面角 C - C1D - B 的平面角的余弦值为 . ....................12 BF 7 7

? cos ∠BFN=


20. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 解 : ( 1 ) 解 法 一 : 由 题 意 得 抛 物 线 方 程 为

y 2 ? 4x .......................................................................1 分





线

l









x?

? 4 ............................................................................ m y

............................2 分 令

A(

y12 , y1 ), 4

B(

2 y2 , y2 ), 4





y1 ? 0

.



| MB |? 4 | AM |

,



y2 ? ?4 y1 ................................3 分
? y 2 ? 4 x, ? ? x ? my ? 4,









y ?4
2

m ?1 y

6, ?

? y1 y2 ? ?16, ? 0y2 ? ?4 y1 , ? ? y ? y ? 4m 2 ? 1





y1 ? ?2 , y2 ? 8 ,..................4 分
?m?
3 .............................................................................. 2

...........................................................5 分

?
2x ? y ? ?



线

l









........................................................................ 3 8 0

........................6 分 解 法 二 : 由 题 意 得 抛 物 线 方 程 为

y 2 ? 4x ..............................................................................
.......1 分 设 直 线

l









y? ( ?

.......................................................................... k 4 x )

.........................2 分 令

A(

y12 , y1 ), 4

B(

2 y2 , y2 ), 4





y1 ? 0

.



| MB |? 4 | AM |

,



y2 ? ?4 y1 ................................3 分
4 ? ? y1 ? y2 ? k , ? 6 , ?k ? 0y2 ? ?4 y1 , ? y y ? ?16 ? 1 2 ?





? y 2 ? 4 x, ? ? y ? k ( x ? 4)





k

2

?y 4

?1 y





y1 ? ?2 , y2 ? 8 ,................4 分
?k?
2 .............................................................................. 3

...........................................................5 分

?
2x ? y ? ?



线

l









........................................................................ 3 8 0

.......................6 分 解 法 三 : 由 题 意 得 抛 物 线 方 程 为

y 2 ? 4x ..............................................................................
...1 分 设 直 线

l









y? ( ?

.......................................................................... k 4 x )

.........................2 分 令 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 其中 x2 ? 4 ? x1 ? 0, 由 | MB |? 4 | AM | , 得 x2 ? 20 ? 4 x1 , k ? 0 ..............3 分

? 8k 2 ? 4 x ? x ? , ? 1 2 2 k 2 ? ? y ? 4 x, ? 2 2 2 2 联立 ? 可得 k x ? (8k ? 4) x ? 16k ? 0 , ? x2 ? 20 ? 4 x1 , ? y ? k ( x ? 4) ? x x ? 16 ? 1 2 ? ?
解 得

x1 ? 1 , x2 ? 16 ,.......................................................................
........................................4 分

2 ? k ? . ............................................................................. 3
.....................................................5 分

?
2x ? y ? ?



线

l









........................................................................ 3 8 0

.................6 分 第一问得分点分析: (1)求出抛物线方程,得 1 分。

(2)设出直线 l 方程,得 1 分 (3)求出 A,B 两点横纵标关系( x2 ? 20 ? 4 x1 )或纵坐标关系( y2 ? ?4 y1 ) ,得 1 分 (4)联立方程组,求出纵坐标( y1 ? ?2 , y2 ? 8 )或横坐标( x1 ? 1 x2 ? 16 ) ,得 1 分 (5)求出待定的字母,得 1 分 (6)下结论,写对直线 l 方程,得 1 分。 (若学生得两种结果,不得分) (2)设 P( x0 , y0 ) ,直线 l : x ? my ? 4, 点 P 在抛物线 C2 上,

? 直线 l 的斜率存在, m ? 0. …………………………………7 分

y ? x0 8 ? ? m ? 0 ? 4, x0 ? , ? 2 ? 2 ?2 ? 1 ? m . 解得 ? ...............8 O, P 关于直线 l : x ? my ? 4 对称 , 所以 ? ? y ? ?8 m , ? 1 ? y0 ? ?1, 0 ? ? 1 ? m2 ? ? m x0
分 故 P( 直

8 ?8 m , ) 代入抛物线 C2 : y 2 ? 4x ,可得 m1 ? 1, m2 ? ?1 ...................9 分 2 2 1? m 1? m
线

l









x ? y?4



x ? ? y ? 4 ............................................................................
...10 分 设椭圆为

x2

?

?

y2 ? 1 , (? ? 1) . 联立直线和椭圆,消去 x 整理得 ? ?1
? ? 0,
解 得

(2? ?1) y 2 ? 8(? ?1) y ? ? 2 ? 17? ?16 ? 0
?

64(? ?1)2 ? 4(2? ?1)(? 2 ?17? ? 16) ? 0.
17 .....................................................11 分 2

??


a2 ?

17 , 2



a?

34 2

.

?





C1



















34 ...........................................12 分
第二问得分点分析: (1)点 P 坐标算对,得 2 分,若点 P 坐标不对,有过程,过程无论对错,得 1 分 (2)利用对称关系,得到点 P 坐标与待定字母之间关系,得 1 分。 、 (3)将点 P 坐标代入抛物线方程,求出待定字母,得 1 分。

(4)写出直线方程,得 1 分。 (5)由直线与椭圆有公共点,得椭圆方程中待定字母的范围,得 1 分 (6)求出长轴长的最小值,得 1 分 (另外:若设直线方程为 y ? k ( x ? 4) ,则 P(

8k 2 ?8k , ) 代入抛物线 C2 : y 2 ? 4x ,得 k ? ?1, 直线 2 2 1? k 1? k

l 的方程为 y ? ?( x ? 4) .也对应给分)
21. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 解: (1) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ax ?

1 ? a , ( x > 0) . x

F ' ( x) =

1 1 - a + 2 ..................................................................... x x

............................................1 分

(0, ? ?) ①若 a ? 0 时, F ?( x) ? 0 ,则 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 上是增函数.................2 分
② 若

a?0







F ( x) ? f ( x) ? g ( x)

在 (0,

1 ? 1 ? 4a ) 上 是 增 函 2a

数...........................3 分

F ( x) ? f ( x) ? g ( x)



1 ? 1 ? 4a ( , ? ?) 2a









数.....................................................4 分 (说明: (1) f ( x), g ( x) 分别求导正确没有作差也给 1 分求导分, (2)忘记讨论 a ? 0 且 a ? 0 单调性正确,不扣分,这 1 分也给。 ) (2)若 f ( x) ? g ( x) ? 0 在定义域内恒成立,考虑以下情形: ①当 f ( x) ? 0 , g ( x) ? 0 同时恒成立时, 由

f ( x) ? ln x ? ax ? 0,a ?

ln x x





立..........................................................................5 分 得 :

a?

1 ................................................................................ e 1 g ( x) ? 0, ? a ? 0 x

...............................................6 分 ∵ 由 恒 成 立 得 :

a ? 0 .∴ a ?
② 当

1 ...............................................................7 分 e
f ( x) ? 0


g ( x) ? 0















a





在;..........................................................8 分 ③ 当

a?0 时 , ∵

f ( x) ? ln x ? ax 为 增 函 数 ,

g ( x) ?

1 ?a x

为 减 函

数, ............................9 分 若 它 们 有 共 同 零 点 , 则

f ( x) ? g ( x) ? 0





立........................................................................10 分 由

f ( x) ? ln x ? ax ? 0



g ( x) ?

1 ?a?0 x

,

















a = - e ..............................11 分
综 上 :

a?

1 e



a = - e ...............................................................................
...................................12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (1) (解法一) 分 代入圆 E 的极坐标方程得 直线 l 的倾斜角为

3? 3? ,? 点 A 的极角 ? ? .........................1 4 4

? ? 2 2 .............................................................................
...........2 分

? 点 A 的极坐标
(2 2, 3? ) ............................................................................ 4

..........................3 分 (解法二)由已知得直线的 l 的直角方程为 y ? ? x ①, 圆 E 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ②.....................................................1 分
(写对其中一个方程均给 1 分) 联立①②得 A 点直角坐标为 (-2,2) ,.... ........................... ................................2 分 由? ? 分

x 2 ? y 2 , tan ? ?

3? y ? 得 A 点极坐标 A ? 2 2, x 4 ?

? ? ...........................3 ?

(不写公式不扣分) (2)(解法一,第一(1)问用极坐标做的)由(1)得线段 OA 的中点 M 的极坐标是 ( 2,

3? ), 4


?

M











(?1,1) ................................................................................
......................4 分 圆 E 的极坐标方程为 ? ? 4sin? ,

?



E

















x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 .......................................................................
.5 分 设 直 线

m













? o s , ? x ? ?1 ? t c ( t 为 ? s i n , ? y ? 1? t ?
? ? 4(sin ? ? cos ? )2 ? 8 ? 0
次 为



数).........................................................6 分 代入 x ? y ? 4 y ? 0 得 t ? 2t (sin ? ? cos ? ) ? 2 ? 0 .
2 2 2

,



B, C









t1 , t2

,



t1 ? t2 ? 2(sin ? ? cos ? ) ..........................................................7 分
? || MB | ? | MC || ?|| t1 | ? | t2 || ?| t1 ? t2 | ..................................................
.................................8 分

? 2 | sin ? ? cos ? | ? 2 2 | sin(? ?

?
4

) | ...................................................

................................9 分

? || MB | ? | MC || 的 最 大 值 为 2 2 | ( 此 时 直 线 m 的 倾 斜 角 为

? )........................................10 分 4
(解法二)由(1)知 A(2,-2),则 M(1,-1)………………1 分

MB man ? ME ? 2 ? 2 ? 2 …………………………3 分 MC mIn ? 2 ? ME ? 2 ? 2 ……………………………5 分
MB ? MC ? MB
max

? MC

min

? 2 2 ………………6 分

(解法三)由(1)A 点直角坐标为(-2,2) ,M 是 OA 中点,所以 M 点坐标为(-1,1)......4 分 圆 E 的极坐标方程为 ? ? 4sin? ,

?



E

















x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ..........................................................5 分

当 BC⊥x 轴时,直线 BC 方程为 x ? ?1 ............................6 分(会分类就给 1 分)

?

x ? ?1 x ? ?1 ? 或 2 x ? y ? 4y ? 0 y ? 2? 3
2

?

?1 ? y ?x ? 2? 3

不妨设 B(?1, 2 ? 3), C(?1, 2 ? 3)

|| MB | ? | MC ||? 2 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 ?

3 ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ........................7 分

当 BC 与 x 轴不垂直时,设直线 BC 方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 )

?xy ??1y? ?k (4xy??1)0
2 2

2 2 2 消 y 得 1 ? k x ? 2k ? k ? 1? x ? k ? 2k ? 3 ? 0

?

?

x1 ? x2 ? ?

2k ? k ? 1? 1? k2

,

k 2 ? 2k ? 3 x1 x2 ? , 1? k2

....................................

...........8 分 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) , MB ? 1 ? k
2

x1 ? 1 , MC ? 1 ? k 2 x2 ? 1

|| MB | ? | MC ||? 1 ? k 2 x1 ? 1 ? 1 ? k 2 x2 ? 1 ...........................................
..................9 分

|| MB | ? | MC ||? 1 ? k 2 x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 1 ? k x1 ? x2 ? 2
2

(若会用两点间距离公式给 1 分)

= 1? k ?
2

2?k ? 1? 2k ?k ? 1? …………………8 分 ? 2 ? 1? k 2 1? k 2

= 2 1?

2k 2k ? 2 1? ………………………9 分 2 1k 1? k
……………………10 分

=2 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (1)当 x ? ?3 时 | x ? 1| ? | x ? 3 | ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ?2 x ? 4 ? 4 , 解得 x ? ?4 .所以 ?4 ? x ? ?3 . 当 ?3 ? x ? ?1 时 | x ? 1| ? | x ? 3 | ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? 2 ? 4 , 解得 ?3 ? x ? ?1 当 x ? ?1 时 | x ? 1| ? | x ? 3 |? x ? 1 ? x ? 3 ? 2 x ? 4 ? 4 解 得

x?0





?1 ? x ? 0 ............................................................................
...................4 分 (分类标准对统一给 1 分,每个不等式去掉绝对值正确各给 1 分)







| x ? 1 | ? | x ? 3 |? 4









?x | ?4 ? x ? 0? ;..................................................6 分
(2)证明: (解法一) 4?a ? b? ? ?ab ? 2a ? 2b? ……………………7 分
2 2

= a 2 b 2 ? 4a 2 b ? 4ab2 ? 16ab …………………8 分 = ab?b ? 4?(a ? 4) >0………………………………9 分

? ?


4?a ? b? ? ?ab ? 2a ? 2b?
2

2

2 a ? b ? ab ? 2a ? 2b ……………………10 分
解 法 二 )

?4 ? a ?

? ? b ? ................................................................ 0 , 4

0

...............7 分 则

a(b ? 4) ? 0,4a ? ?ab , 2a ? 2b ? ?ab ? 2a ? 2b ...........................................
..........8 分 同 理

ab ? 2a ? 2b ? 2a ? 2b ,................................................................
.............................9 分 所 以 ................................................................ | b?

2 a?

..........................10 分


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