【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章 不等式复习课导学案新人教A版必修5

【步步高】 2014-2015 学年高中数学 第三章 不等式复习课新人 教 A 版必修 5
【课时目标】 1.熟练掌握一元二次不等式的解法,并能解有关的实际应用问题. 2.掌握简单的线性规划问题的解法. 3.能用基本不等式进行证明或求函数最值.

不等式 — — 不等式的性质 ?— 不等关系 —? ? ?— 实数比较大小 ? ? ? 一元二次不 — ? 等式的解法 ? — 一元二次不等式 — ? 一元二次不 ? ?— 等式的应用 ? ? 二元一次不等式 组 — ? 与平面区域 ? ? ? — 简单线性规划 —?— 简单线性规划 ? ?— 简单线性规划的应用 ? — 算术平均数与几何平均数 ? ? — 基本不等式 —? ?— 基本不等式的应用 ? ?

一、选择题 1.设 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( A.a-b<0 C. ab< 答案 B.0< <1 D.ab>a+b )

a b

a+ b
2

C )

1 1 2 2 2.已知不等式 ax -bx-1≥0 的解是[- ,- ],则不等式 x -bx-a<0 的解是( 2 3 A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞)

1

1 1 C.( , ) 3 2 答案 A 解析

1 1 D.(-∞, )∪( ,+∞) 3 2

b 5 1 1 由题意知,a<0, =- ,- = , a 6 a 6 ∴a=-6,b=5. 2 ∴x -5x+6<0 的解是(2,3).
2x+y≤40, ? ?x+2y≤50, 3.若变量 x,y 满足? x≥0, ? ?y≥0, A.90 B.80 C.70 答案 C 解析 作出可行域如图所示 .

则 z=3x+2y 的最大值是(

)

D.40

1 3 由于 2x+y=40、x+2y=50 的斜率分别为-2、- ,而 3x+2y=0 的斜率为- ,故线 2 2 性目标函数的倾斜角大于 2x+y=40 的倾斜角而小于 x+2y=50 的倾斜角, 由图知, 3x+2y =z 经过点 A(10,20)时,z 有最大值,z 的最大值为 70. x-1 4.不等式 ≥2 的解为( )

x

A.[-1,0) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞) 答案 A x-1 x-1 -x-1 解析 ≥2? -2≥0? ≥0

x

x

x

?

?x x+ ? x+1 ≤0?? x ? ?x≠0

?-1≤x<0. 5.设 a>1,b>1 且 ab-(a+b)=1,那么( A.a+b 有最小值 2( 2+1) 2 B.a+b 有最大值( 2+1) C.ab 有最大值 2+1 D.ab 有最小值 2( 2+1) 答案 A a+ b 2 解析 ∵ab-(a+b)=1,ab≤( ), 2 a+b 2 ∴( ) -(a+b)≥1, 2 它是关于 a+b 的一元二次不等式,

)

2

解得 a+b≥2( 2+1)或 a+b≤2(1- 2)(舍去). ∴a+b 有最小值 2( 2+1). 又∵ab-(a+b)=1,a+b≥2 ab, ∴ab-2 ab≥1,它是关于 ab的一元二次不等式, 解得 ab≥ 2+1,或 ab≤1- 2(舍去), ∴ab≥3+2 2,即 ab 有最小值 3+2 2. 3x-y-6≤0, ? ? 6.设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?x≥0,y≥0, 2 3 大值为 12,则 + 的最小值为( 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最

a b

) D.4

A.

25 6 答案 解析

8 B. 3 A

11 C. 3

不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y +2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0, b>0)取得最大值 12, 2 3 2 3 2a+3b 13 b a 13 25 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 + =( + )· = +( + )≥ +2= (a a b a b 6 6 a b 6 6 6 =b= 时取等号). 5 二、填空题 6 4 2 7.已知 x∈R,且|x|≠1,则 x +1 与 x +x 的大小关系是________. 6 4 2 答案 x +1>x +x 6 4 2 解析 x +1-(x +x ) 6 4 2 =x -x -x +1 4 2 2 =x (x -1)-(x -1) 2 4 =(x -1)(x -1) 2 2 2 =(x -1) (x +1) 2 6 4 2 ∵|x|≠1,∴x -1>0,∴x +1>x +x . 2 8.若函数 f(x)= 2x -2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 答案 [-1,0] 2 解析 由 f(x)= 2x -2ax-a-1的定义域为 R. 2 2 2 可知 2x -2ax-a≥1 恒成立,即 x -2ax-a≥0 恒成立,则 Δ =4a +4a≤0,解得- 1≤a≤0. 9.若 x,y,z 为正实数,x-2y+3z=0,则 的最小值为____. 答案 3

y2 xz

y2 解析 由 x-2y+3z=0,得 y= ,将其代入 , 2 xz 2 2 x +9z +6xz 6xz+6xz y2 得 ≥ =3,当且仅当 x=3z 时取“=”,∴ 的最小值为 3. 4xz 4xz xz 10.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的 x+3z
3

价格 c 如下表: a b/ c/ 万 百 吨 万 元

A 50% 1

3

B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿 石的最少费用为________(百万元). 答案 15 解析 设购买 A、B 两种铁矿石分别为 x 万吨、y 万吨,购买铁矿石的费用为 z 百万元, 则 z=3x+6y. 由题意可得约束条件为

?2x+10y≥1.9, ? 1 ?x+2y≤2, x≥0, ? ?y≥0.
1 7 作出可行域如图所示,由图可知,目标函数 z=3x+6y 在点 A(1,2)处取得最小值,zmin =3×1+6×2=15.

三、解答题

ax-5 <0 的解集为 M. x2-a (1)若 3∈M,且 5?M,求实数 a 的取值范围. (2)当 a=4 时,求集合 M. 3a-5 5 解 (1)∵3∈M,∴ <0,解得 a< 或 a>9; 9-a 3 5a-5 若 5∈M,则 <0, 25-a 解得 a<1 或 a>25. 则由 5?M,知 1≤a≤25,
11.已知关于 x 的不等式 5 因此所求 a 的范围是 1≤a< 或 9<a≤25. 3 4x-5 (2)当 a=4 时, 2 <0. x -4

4

?4x-5>0 ? 4x-5 <0?? 2 2 x -4 ?x -4<0 ?

?4x-5<0 ? 或? 2 ?x -4>0 ?

.

5 ? ?x> 4 ?? ? ?-2<x<2

5 ? ?x< 4 或? ? ?x<-2或x>2

5 ? <x<2 或 x<-2. 4 5 ∴M={x|x<-2 或 <x<2}. 4 12.当 x>3 时,求函数 y= 解 2x 的值域. x-3 +18 18 +12 x-3
2

∵x>3,∴x-3>0. 2 2x x- 2+ x- ∴y= = x-3 x-3 =2(x-3)+ =24. 当且仅当 2(x-3)= 18 18 +12≥2 x-3 ,

x-

x-3

即 x=6 时,上式等号成立, 2 2x ∴函数 y= 的值域为[24,+∞). x-3 【能力提升】 1 1 2 13.设 a>b>0,则 a + + 的最小值是( ) ab a a-b A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 1 1 1 1 2 2 解析 a + + =a -ab+ab+ + =a(a-b)+ ab a a-b ab a a-b a 1

1

a-b

+ab+

ab

≥2+2=4. 当且仅当 a(a-b)=1 且 ab=1,即 a= 2,b=

2 时取等号. 2 2 2 14.若关于 x 的不等式(2x-1) <ax 的解集中的整数恰有 3 个,则实数 a 的取值范围是 ________. 25 49 答案 ( , ] 9 16 2 2 2 解析 由(2x-1) <ax 成立可知 a>0,整理不等式可得(4-a)x -4x+1<0,由于该不等 2- a 2+ a 式的解集中的整数恰有 3 个, 则有 4-a>0, 即 a<4, 故 0<a<4, 解得不等式有 <x< , 4-a 4-a 即 , + a - a + a - a 1 1 1 1 亦即 < <x< ,要使该不等式的解集中的整数恰有 3 个,那么 3< ≤4, 4 2+ a 2- a 2- a 25 49 解得 <a≤ . 9 16 2- a <x< 2+ a

5

1.不等式是高中数学的重要内容,其中蕴含着许多重要的思想方法,是高考考查的重 点. 2.本章内容主要有以下四个方面:①不等式的性质,②一元二次不等式的解法,③简 单的线性规划问题,④基本不等式及应用.

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