南昌市2012—2013学年度高三新课标第二轮复习测试卷8


南昌市 2012—2013 学年度高三新课标第二轮数学 复习测试卷(八)
命题人:江西师大附中张园和 审题人:江西师大附中 朱涤非 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? {?1,0, a}, B ? {x 0 ? x ? 1} ,若 A A. (0,1) B. (??, 0)

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是
D. (1, +?)

C. ? 1 ?

2.已知复数 z1 ? ?2 + i , z2 的共轭复数 z2 ? 1 + i ,在复平面内复数

z1 所对应的点位于 z2

A.第一象限 来 ]B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (理)把 f ( x) ? cos x 的图像向右平移 m 个单位后,所得图像恰好为导函数 y ? f ?( x) 的图像,则 m 可 以为 A.

? 2

B.

3? 4

C.

?

D.

(文)为得到函数 y ? cos( x + A. 向左平移

?

3? 2

? ? 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位 6 6 5? 5? C. 向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位 6 6 1 4.“ m ? ”是“直线 (m + 2) x + 3my +1 ? 0 与直线 (m ? 2) x + (m + 2) y ? 3 ? 0 相互垂直”的 2
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知某几何体的三视图如下图所示,其中,主视图、左视图均由三角形与 半圆构成,俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体 的体积为 A.

3

) 的图像,只需将函数 y ? sin x 的图像

2? 1 + 3 2

B.

4? 1 + 3 6

C.

2? 1 + 6 6

D.

2? 1 + 3 2

6.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 20,则判断框中应填入的条件为 A. a ? 5? B. a ? 4 ? C. a ? 3? D. a ? 2 ? 7. (理)已知等比数列的前 n 项和为 Sn ? (2 ? ? )qn ?1(q ? 1), 则 (2? + x) 的展开
5

式中, x 的系数是 A.5 B.10 C.20 D.45 (文)若等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 + a11 ? 0 ,则数列 ?an ? 的前 n 项 和 Sn 取得最大值时的项数 n 是 A.5 B.6 C.5 或 6 D.6 或 7

4

y?2 ? ? 8. (理)设变量 x, y 满足约束条件 ? 3 x ? 3 y ? 0 ,目标函数 u ? x2 + y 2 ? ?x + 3y ? 2 3 ? 0 M 的最大值为 M ,最小值为 N ,则 = N 4 16 4 3 16 3 A. B. C. D. 3 3 3 3
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?x + y ? 0 ? (文)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y + 2 ? 0 ( k 为常数)表示的平面区域面积是 16 ,那么实 ?x ? k ?
数 k 的值为 A. ? 5 A. 2 ? 1 B. 2 2 B.1 C. 3 C. 2 D.5 9. 已知 | OA |?| OB |?| OC |? 1 ,且 OA ? OB, CB ? CA ? 0 ,则 | OA + OB ? OC | 的最大值为( )

D.2

? 1 ?x + , x ? 0 10. 已知函数 f ( x) ? ? ,则方程 f (2x2 + x) ? a(a ? 2) 的根的个数不可能为( ) x 3 ? ? x + 3, x ? 0
A.3 B.4 C. 5 D. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 题号 答案 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分共 25 分.把答案填在答题卷中的横线上.) 10

2 x 2 ? 3x ? 2 11.函数 f ( x) ? 的定义域是____________. log 2 ( x ? 1) lg x, x ? 0, ? ? 12. (理)设 f ( x) ? ? 若 f ( f (1)) ? 1 ,则 m =______. m x + ? 3t 2 dt , x ? 0, ? 0 ? (文)直线 y ? 4 x + b 是曲线 y ? x4 ?1 的一条切线,则实数 b 的值为_____. 5 13.若存在实数 x ? (1, ) ,使函数 g ( x) ? log2 (tx2 + 2x ? 2) 有意义,则 t 的取值范围为________. 2 14.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足: f ( x+2)=f ( x) + f (1) 且在区间 ?0,1? 上单调递增,那么,下列 关于此函数 f ( x ) 性质的表述:
①函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称; ②函数 y ? f ( x) 是周期函数; ③当 x ?? ?2,3? 时, f ?( x) ? 0 ; ④函数 y ? f ( x) 的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点. 其中正确表述的题号是 . 15. (理) (选做题:请在下面两题中任选一题作答,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分. )

? ?x ? t , ( t 为参数) ,以 Ox 的正半轴为极轴建立 ? ? y ? 3t 极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,则圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值是_____. 1 (2)对任意 x ? R ,且 x ? 0 ,不等式 | x + |?| a ? 5 | +1 恒成立,则实数 a 的取值范围是 . x 1 2 x2 y2 y 的准线与双曲线 ? ? 1 的右准线重合,则 m 的值是______. (文)抛物线 x ? m 12 4
(1)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ?

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三、解答题(本大题共 6 小题共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 6 cos (1)求 ? 的值;
2

?x
2

+ 3 sin ? x ? 3(? ? 0) ,在一个周期内的图像如图所示, A 为图像的最高点,
y A
f(x) = 2? 3 ?sin

B 、 C 为图像与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形.

(

π 4

?x +

π 3

)

(2)若 x ??0,1? ,求函数 f ( x ) 的值域.

B

O

C

x

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17. (本小题满分 12 分) (理)为方便市民出行,倡导绿色生活,我市增设了二十多处自行车租借点.已知租车的收费标准是每小 时 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车的概 率分别为 , ;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为 , ;两人租车时间都不会超过三小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? . (文)学校为了解高三学生的视力情况,随机抽查了一部分学生的视力,并将调查结果进行了分组,分组 区间为 ( 3.9, 4.2? , ( 4.2, 4.5? ,…, ( 5.1,5.4? .经过数据处理,得到如下频率分布表: (1)求频率分布表中未知量 n , x , y , z 的值; (2)从样本中视力在 ( 3.9, 4.2? 和

1 1 4 2

1 1 2 4

(5.1,5.4? 的所有同学中随机抽

取两人,求两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率.

分 组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合 计

频 4 5 25



频 率 0.08 0.10

y

x z
0.04 1.00

2

n

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18. (本小题满分 12 分) 如图,已知 BC 是半径为 1 的半圆 O 的直径, A 是半圆周上不同于 B , C 的点, F 为 AC 的中点.梯形 ACDE 中, DE ∥AC ,且 AC ? 2 DE ,平面 ACDE ⊥ 平面 ABC . (1)求证: DC ⊥ AB ; (2)求证: DF ∥ 平面 BAE ; (3) (理)若 VF ?OCD ? VE ? AOC ? 的余弦值. (文)若 AC 与 OF 交点为 G ,点 E 在底面内的射影为 G , AC ? 2 ,且 EA 与 DC 成 30 角,求三棱 锥 F ? OCD 的体积 VF ?OCD .

3 ,且 EA 与底面 ABC 成的角为 60 ,求二面角 C ? EA ? O 8

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19. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? (1)求 ? 的值;

1 m ?1 + ln x 在 ?1, +? ) 上为增函数,且 ? ? ( 0, ? ) , f ( x) ? mx ? ? ln x ,m ? R . x ? sin ? x

(2)若 f ( x) ? g ( x) 在 ?1, +? ) 上为单调函数,求 m 的取值范围.

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20. (本小题满分 13 分) 已知点 E(2,0)、 F (1, 0) ,动圆 P 经过点 F 且和直线 x ? ?1 相切,记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 w ,过 E 作斜率分别为 k1 , k2 的两条直线交曲线 w 于 A, B, C , D ,且 M , N 分别是线段 AB, CD 的中点. (1)求曲线 w 的方程; (2)若 k1 ? k2 ? ?1 ,求四边形 ABCD 面积的最小值; (3) (理)若 k1 + k2 ? ? ( ? ? 0, ? 为常数) ,问直线 MN 是否过定点?如果是,求出定点坐标;若不是, 说明理由.

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21. (本小题满分 14 分)

(理)已知各项均为正数的数列 ?an ? 满足 an+1
2

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 {bn } 满足 bn ?

2 ? 2an + an an+1 ,

且 a2

+ a4 ? 2a3 + 4 ,其中 n ? N * .

nan ,是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 b1 , bm , bn 成等比数列?若 (2n + 1) ? 2 n

存在,求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

(n + 1)2 + 1 5 1 ? Sn ? . ,记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,其中 n ? N * ,证明: 16 2 n(n + 1)an+2 n?1 (文)已知数列 {an } ( n ? N * )的各项满足: a1 ? 1 ? 3k , an ? 4 ? 3an?1 ( n ? 2 , k ? R ) .
(3) 令 cn ? (1) 判断数列 {an ?

4n } 是否成等比数列; 7
*

(2) 求数列 {an } 的通项公式; (3) 是否存在实数 k ,使得对任意 n ? N ,都有 an+1 ? an 成立?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在, 说明理由.

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南昌市 2012—2013 学年度高三新课标第二轮数学 复习测试卷(八)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1 2 3 4 5 6 7 题号 (理) D (理)B A C B C B 答案 (文) C (文)C 第 10 题参考解答: 8 (理) D (文)C 9 B 10 A
8

作出 f ( x ) 的图像知,当 2 ? a ? 3 时, f ( x) ? a 有 3 个根,一个负根,两个正根; 当 a ? 3 时, f ( x) ? a 有两个正根.
2 令 t ? 2 x + x ,则 t ? ?

6

4

2

1 . 8

15

10

5

5

10

(1)当 2 ? a ? 3 时, f (t ) ? a 有 3 个 t 根,一个负,两个正,设为 t1 ? 0, t2 ? 0, t3 ? 0 , ① 对 t2 , t3 分别对应着 2 个 x ,共 4 个解. ② 对 t1 ,当 t1 ? ? 当 t1 = ? 当?

2

4

6

1 时,没有 x 与之对应,这时方程 f (2x2 + x) ? a ( a ? 2 )的根有 4 个; 8
8

1 2 时,有一个 x 与之对应;这时方程 f (2x + x) ? a ( a ? 2 )的根有 5 个; 8

1 ? t1 ? 0 时,有两个 x 与之对应;这时方程 f (2x2 + x) ? a ( a ? 2 )的根有 6 个, 8
2 ∴ 方程 f (2x + x) ? a ( a ? 2 )的根的个数分别为 4,5,6.

(2)当 a ? 3 时,满足 f (t ) ? a 的 t 值有 2 个,且均为正数.每个 t 分别都对应着两个 x ,此时方程

f (2x2 + x) ? a ( a ? 2 )的根的个数为 4.
2 综上所述,方程 f (2x + x) ? a ( a ? 2 )的根的个数分别为 4,5,6,故选 A.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分共 25 分.) 11. (2, +?) ; 15. (理) (1) 12. (理)1, (文) ?4 ; 13. (?

1 , +?) ; 2

14.①②④;

3 (2) (4, 6) ; (文) ? 12 + 1, 2

第 14 题参考解答: 令 x ? ?1 ,则 f (?1 + 2) ? f (?1) + f (1) ,又 f (?1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 2 f (1) , f (1) ? 0 , 所以 f ( x + 2) ? f ( x) ,故函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期为 2 ,②正确; 再将上式中的 x 替换为 x ? 1 ,得 f ( x + 1) ? f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 所以,函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,①正确; 因为函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上单调递增,所以,函数 f ( x ) 在区间 [?1, 0] 上单调递减, 又函数的周期为 2 ,所以函数 f ( x ) 在区间 [?3, ?2] 上单调递减,此时 f ?( x) ? 0 ,③错误; 又因为函数 f ( x ) 在一个周期的区间 [?1,1] 上有且只有一个零点 x ? 0 ,且函数周期为 2 , 所以, x ? 0 + 2k , k ? Z 均为函数的零点,④正确.故答案为①②④. 三、解答题(本大题共 6 小题共 75 分. ) 16.解: (1)由已知可得: f ( x) ? 6 cos
2

?x

+ 3 sin ? x ? 3 ? 3cos ? x + 3 sin ? x ? 2 3 sin(? x + ) 2 3

?

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又由于正 ?ABC 的高为 2 3 ,所以 BC=4, 从而周期 T=8,即

2?

?
?
3

?8?? ?

?

(2)因为 x ??0,1? ,所以 所以,当

?
3

?

?
4

4



y A

f(x) = 2? 3 ?sin

(

π 4

?x +

π 3

)

x+

?
3

?

?
4

+

?
3



?
4

3 2 ? 当 x + ? ,即 x ? 时, f max ? 2 3 ? sin ? 2 3 4 3 2 3 2 所以当 x ??0,1? 时,函数 f ( x ) 的值域为 [3, 2 3] . 17.解: (理) (1)甲、乙两人所付费用相同即为 2 , 4 , 6 元. 1 1 1 1 1 1 ? ? ;都付 4 元的概率为 P2 ? ? ? ; 都付 2 元的概率为 P 1 ? 4 2 8 2 4 8 1 1 1 都付 6 元的概率为 P3 ? ? ? ; 4 4 16 1 1 1 5 + + ? . 故所付费用相同的概率为 P ? P 1+P 2 +P 3 ? 8 8 16 16 (2)依题意, ? 的可能取值为 4 , 6 , 8 , 10 , 12 . 1 1 1 1 1 5 P (? ? 4) ? ; P(? ? 6 ) ? ? + ? ? ; 8 4 4 2 2 16 1 1 1 1 1 1 5 P(? ? 8) ? ? + ? + ? ? ; 4 4 2 4 2 4 16 1 1 1 1 3 1 1 1 P(? ? 10) ? ? + ? ? ; P(? ? 12) ? ? ? . 4 4 2 4 16 4 4 16 故 ? 的分布列为 ? 8 10 6 4 12 1 5 5 3 1 P 8 16 16 16 16

x+

?
3

?

,即 x ? 0 时, f min ? 2 3 ? sin

?

B

?3;

O

C

x

?

?

?

故所求数学期望 E ? ? 4 ?

1 5 5 3 1 15 + 6 ? + 8 ? + 10 ? + 12 ? ? . 8 16 16 16 16 2
分 组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合 计 频 数 4 5 25 频 率 0.08 0.10

(文) (1)由表可知,样本容量为 n ,

2 25 ? 0.04 得 n ? 50 ,由 x ? ? 0.5 . n n y 14 ? 0.28 . 故 y ? 50 ? 3 ? 6 ? 25 ? 2 ? 14, z ? ? n 50 (2)设样本视力在(3.9,4.2]的 4 人为 a, b, c, d , 样本视力在(5.1,5.4]的 2 人为 e, f ,
由 从 6 人中任取两人的取法共有:

y

x z
0.04 1.00

2

n

(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ) , (b, e),(b, f ),(c, d ),(c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ) ,共 15 种,且每种取法是等可能的. 设事件 A 表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于 0.5” ,则事件 A 包含其中的 (a, b), (a, c), (a, d ) , (b, c),(b, d ),(c, d ),(e, f ) ,共 7 种, 7 故两人的视力差的绝对值低于 0.5 的概率为 P ( A) ? . 15
18.解: (1)由于 BC 是圆的直径,所以 AB⊥ AC. 又平面 ACDE⊥ 平面 ABC,
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所以 AB⊥ 平面 ACDE, DC ? 平面 ACDE, 所以 AB⊥ DC. (2)设 AC 与 OF 交点为 G,则由已知,得 AG ?

1 AC . 2

因为 AC=2DE,所以 AG=DE. 又 AG//AC,故 AEDG 为平行四边形,DG//EA. 又 AB⊥ AC,所以 OG//BA,从而平面 OFD//平面 EAB. 因为 DF ? 平面 OFD,所以 DF//平面 BAE. (3) (理)解法一: 如图建立空间直角坐标系. 由平面 ACDE⊥ 平面 ABC 知,点 E 在底面 ABC 内 的射影 H 在直线 AC 上,所以,∠ EAC= 60 . 因为 VF ?OCD ? VD? FOC ? VE ? AOC ,且 DE//AC, 所以 S?FOC ? S?AOC ,可得 ?AOC ? 2?FOC ? 60 .

3 . 4 3 3 因为 VF ?OCD ? VE ? AOC ? ,所以点 E 到平面 ABC 的距离为 EH= . 2 8 3 3 3 3 3 3 3 0 设 E ( x, y, z ) ,则 z ? , y ? 0 , x ? ? cot 60 ? ,因此 E ( , 0, ) , AE ? ( , 0, ) . 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 又 O( , , 0) ,所以 AO ? ( , , 0) . 2 2 2 2 ? 3 1 3 1 x+ y ?0 ?n1 ? AO ? ( x, y, z ) ? ( , , 0) ? ? 2 2 2 2 设 n1 ? ( x, y, z ) 是平面 OAE 的一个法向量,则 ? , ? n ? AE ? x, y, z ? ( 3 , 0, 3 ) ? 3 x + 3 z ? 0 ( ) 1 ? ? 2 2 2 2 令 x ? ? 3 ,则 y ? 3 , z ? 1 , n1 ? ? 3,3,1 .
于是, S?FOC ? S?AOC ?

(

)

又 n2 ? ( 0,1,0 ) 是平面 ACDE 的一个法向量,

n1 ? n2 (? 3,3,1) ? (0,1,0) 3 ? ? 13 . 13 | n1 || n2 | 13 ?1 3 13 . 所以,二面角 C-EA-O 的余弦值为 13 cos n1 , n2 ?
解法二: 由平面 ACDE⊥ 平面 ABC 知,点 E 在底面 ABC 内的射影 H 在直线 AC 上,所以,∠ EAC= 60 . 因为 VF ?OCD ? VD? FOC ? VE ? AOC ,且 DE//AC,所以 S?FOC ? S?AOC ,可得 ?AOC ? 2?FOC ? 60 .

3 . 4 3 3 因为 VF ?OCD ? VE ? AOC ? ,所以点 E 到平面 ABC 的距离为 EH= . 2 8 3 0 在直角三角形 EAH 中,∠ EAC= 60 ,故 AH=EH×cot 60 = . 2 3 0 又 AG ? AO ? cos 30 ? ,因此 H 与 G 重合. 2 作 GK ? EA 于 K,连结 OK,
于是, S?FOC ? S?AOC ? 因为 AB⊥ 平面 ACDE,OG//BA,所以 OG⊥ 平面 ACDE,
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由三垂线定理知, OK ? EA ,所以∠ GKO 即为所求二面角的平面角.

3 3 3 ? ? , 2 2 4 1 OG 2 3 0 ? , cos ?GKO ? 13 , 又 OG ? OC ? cos 60 ? ,于是 tan ?GKO ? 2 GK 3 13 3 E 13 . 所以,二面角 C-EA-O 的余弦值为 13 D 1 2 2 (文) 因为 AC ? 2 ,所以 GC ? , S?FOC ? ? OF ? CG ? . 2 4 2
在直角三角形 KAG 中, GK ? GA ? sin 60 ?
0

又因为 EA 与 DC 成角即为 EG 与 EA 成的角, 所以,在三角形 EAG 中,AG=DE= 所以 VF ?OCD ? VD ? FOC

1 1 sin ? ? x ? 1 + ≥0 在 ?1, +? ) 上恒成立,即 ≥0 . sin ? ? x2 x sin ? ? x2 ∵ θ∈ (0,π) ,∴sin ? ? 0 .故 sin ? ? x ? 1≥ 0 在 ?1, +? ) 上恒成立,
19.解: (1)由题意, g ?( x) ? ?

2 6 ,故 EG ? . 2 2 1 3 . ? ? S?FOC ? EG ? 3 12

F
G

A

C

O

B

π . 2 mx2 ? 2x + m m (2)由(1) ,得 f ( x) ? g ( x) ? mx ? ? 2ln x .?( f ( x) ? g ( x) )? ? . x x2 ∵ f ( x) ? g ( x) 在其定义域内为单调函数,∴mx 2 ? 2 x + m ≥ 0 或者 mx 2 ? 2 x + m ≤ 0 在[1,+∞)恒成立. 2x 2 2 2x mx 2 ? 2 x + m ≥ 0 等价于 m(1 + x2 ) ≥ 2 x ,即 m ≥ ? ,而 2 ,( )max=1,∴m ≥ 1 . 2 1 x +1 x + 1 1+ x x+ x x 2x mx 2 ? 2 x + m ≤ 0 等价于 m(1 + x2 ) ≤ 2 x ,即 m ≤ 在[1,+∞)恒成立, 1 + x2 2x 而 2 ∈ (0,1],∴m ≤ 0 . x +1 综上,m 的取值范围是 ( ??,0? ?1, +?) .
只须 sin ? ? 1 ? 1≥ 0 ,即 sin ? ≥ 1 ,只有 sin ? ? 1 .结合 θ∈ (0,π) ,得 ? ? 20.解: (1)由已知,点 P 到定点 F(1,0)与它到直线 x ? ?1 的距离相等,故其轨迹是以 F 为焦点的抛 物线,其方程为 y ? 4 x .
2

1 2 ,代入 y ? 4 x 中,得: y 2 ? 4t1 y ? 8 ? 0 , k1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 y1 + y2 ? 4t1 , y1 ? y2 ? ?8
(2)设 AB 所在直线的方程为 x ? t1 y + 2 ,其中 t1 ?

| AB |? (1 + t12 )[( y1 + y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? (1 + t12 )[16t12 + 32] ? 4 (1 + t12 )(t12 + 2)

1 2 2 ,同理可得 | CD |? 4 (1 + t2 )(t2 + 2) k2 又 k1 ? k2 ? ?1 ,故 t1 ? t2 ? ?1 ,于是四边形 ACBD 的面积为 1 1 2 2 S ? | AB | ? | CD |? ? 4 (1 + t12 )(t12 + 2) ? 4 (1 + t2 )(t2 + 2) 2 2
设 CD 所在直线的方程为 x ? t2 y + 2 ,其中 t2 ?
2 2 2 2 ? 8 (1 + t12 )(1 + t2 ) ? (2 + t12 )(2 + t2 ) ? 8 1 + (t12 + t2 ) + (t1t2 ) 2 ? 4 + 2(t12 + t2 ) + (t1t2 ) 2
2 2 ? 8 2 + (t12 + t2 ) ? 5 + 2(t12 + t2 ) ? 8 2 + 2t1t2 ? 5 + 4t1t2 ? 8 4 ? 9 ? 48 ,

当且仅当 | t1 |?| t2 |? 1 时等号成立.所以,四边形 ACBD 的面积的最小值为 48 .
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2 2 (3) (理)由(2)知, x1 + x2 ? t1 ( y1 + y2 ) + 4 ? 4t12 + 4 ,则 M (2t1 + 2, 2t1 ) ,同理 N (2t2 + 2, 2t2 ) .

2(t1 ? t2 ) 1 , ? 2 2 2(t1 ? t2 ) (t1 + t2 ) 1 MN 所在直线的方程为 y ? 2t1 ? ? [ x ? (2t12 + 2] ,即 y(t1 + t2 ) ? 2t1t2 ? x ? 2 . (t1 + t2 ) t +t 1 1 又 k1 + k2 ? + ? ? ,即 t1t2 ? 1 2 ,代入上式, ? t1 t2 t +t 2 得 y (t1 + t2 ) ? 2 ? 1 2 ? x ? 2 ,即 (t1 + t2 )( y ? ) ? x ? 2 . ? ? 2 ? 2 ?y ? 当 y ? ? 0 时,有 x ? 2 ? 0 ,即 ? ? 为方程的一组解, ? ? ?x ? 2 2 所以直线 MN 恒过定点 (2, ) . ?
所以 kMN ? 21.解:(理)(1) 因为 an+1 又 an ? 0 ,所以有 2an
2

? an+1 ? 0 ,所以 2an ? an+1 ,所以数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列. 由 a2 + a4 ? 2a3 + 4 得 2a1 + 8a1 ? 8a1 + 4 ,解得 a1 ? 2 .
故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 (n ? N * ) .
n

2 ? 2an + an an+1 ,即 (an+1 + an )(2an ? an+1 ) ? 0

(2) bn

?

nan (2n + 1) ? 2 n

=

n , 2n + 1

若 b1 , bm , bn 成等比数列,则 ( 由

m 2 1 n m2 n ) ? ( ) ,即 2 . ? 2m + 1 3 2n + 1 4m + 4m + 1 6n + 3

又 m ? N* ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .

m2 n 3 ?2m2 + 4m + 1 6 6 ,可得 ? ,所以 ?2m2 + 4m + 1 ? 0 ,解得:1 ? . ? m ? 1+ ? 2 2 n m 2 2 4m + 4m + 1 6n + 3

故当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,使得 b1 , bm , bn 成等比数列.

? 1? 1 ? n+2 (n + 1)2 + 1 1 n2 + 2n + 2 1 ? n2 + n 1 1 (3) cn ? ? ? ? + ? ? n+1 + ? ? n+2 n +1 n n +1 ? n +1 n +1 ? n(n + 1)2 2 n(n + 1) ? 2 n ? 2 (n + 1)2 ? 2 ? n(n + 1)2 n(n + 1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? ( 2 + + n+1 ) + ?( ? )+( ? )+ +( ? ) 2 2 3 n n +1 ? 2 2 2 2 ? 1? 2 2 ? 2 2 ? 2 3? 2 n ? 2 (n + 1) ? 2 ? 1 1 (1 ? n ) ? 1? 1 22 1 1 n + 2? 2 + 1 ?1 ? ? ? ? ?1 ? ( ) n +1 ? ? n +1 ? 1 2 2 ? 2 (n + 1) ? 2 ? 2 ? 2 n +1 ? ? 1? 2 1 n +1 n + 2 1 1 1 n +1 n + 2 1 1+ 2 3 ? ( ) n +1 (1 + ) 递减,∴ ? ( )1+1 ? ? 易知 ( ) ? 0< ( ) ? 2 n +1 2 n +1 2 n +1 2 1+1 8 5 1 1 n +1 n + 2 1 5 1 ] ? ,即 ? S n ? . ∴ ? [1 ? ( ) ? 16 2 2 n +1 2 16 2
(文) (1) an +1 ?

4 4 3 4n +1 4n +1 3 4n ? 4n ? 3an ? ? ?3an + ? 4n ? ?3(an ? ) , a1 ? ? 1 ? 3k ? ? ? 3k . 7 7 7 7 7 7 7
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1 4 4n 时, a1 ? ? 0 ,则数列 {an ? } 不是等比数列; 7 7 7 1 4 4n 当 k ? 时, a1 ? ? 0 ,则数列 {an ? } 是公比为 ?3 的等比数列. 7 7 7 n 1 4 3 3 4n ? ( ? 3k ) ? (?3) n?1 , an ? ( ? 3k ) ? (?3) n ?1 + . (2)由(1)可知当 k ? 时, an ? 7 7 7 7 7 n 1 4 当 k ? 时, an ? ,也符合上式. 7 7 3 4n n ?1 所以,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ( ? 3k ) ? (?3) + . 7 7 4n +1 3 4n 3 3 ? 4n 12 ? (?3)n?1 n n ?1 + ( ? 3k ) ( ?3) ? ? ( ? 3k ) ( ?3) ? ? + 12 ? (?3)n?1 k . (3) an +1 ? an ? 7 7 7 7 7 7 3 ? 4n 12 ? 3n ?1 1? 4 ? ? + 12 ? 3n ?1 k ? 0 ,即 k ? ?1 ? ( )n ?1 ? 恒成立, ① 当 n 为奇数时,有 7 7 7? 3 ? 4 n ?1 4 1?1 由 1 ? ( ) ? 1 ? ( ) ? 0 ,得 k ? 0 . 3 3 3 ? 4n 12 ? 3n ?1 1? 4 ? + ? 12 ? 3n ?1 k ? 0 ,即 k ? ?1 + ( )n ?1 ? 恒成立, ② 当 n 为偶数时,有 7 7 7? 3 ? 4 n ?1 4 2?1 7 1 由 1 + ( ) ? 1 + ( ) ? ,得 k ? . 3 3 3 3 1 故 k 的取值范围是 (0, ) . 3
当k ?

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