2014-2015学年天津市武清区高二(下)期中数学试卷(理科)

2014-2015 学年天津市武清区高二(下)期中数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 1. (4 分)若 i 为虚数单位,则复数 等于( ) A. ﹣ i B. ﹣ i C. ﹣ i D. ﹣ i 2. (4 分) 用数学归纳法证明等式: 1?n+2? (n﹣1) +3? (n﹣2) +…+n?1= n (n+1) (n+2) (n∈N*) ,当 n 取第一个数时,左式为( A.1 B.2 C.3 D.4 ) ) 3. (4 分) A. B.1﹣ sinxdx 等于( C. D.﹣ , 对应的复数分别为 1﹣2i,﹣3+i,则 4. (4 分)已知 O 为坐标原点,向量 线段 AB 的长为( A.25 B.5 C. ) D.1 5. (4 分)函数 f(x)= 的单调递增区间是( ) A. (﹣∞,e) B. (0,e) C. ( ,+∞) D. (e,+∞) 6. (4 分)若 a= + ,b= + ,c= + ,则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 7. (4 分)函数 f(x)的导函数 f′(x)=x(x﹣1) (x﹣2) (x﹣3) ,则函数 f(x) 的极大值点为( A.0,2 B.1,3 ) C.0,3 D.1,2 ) 8. (4 分)设 z∈C,则|z|=1 是 z= 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9. (4 分)化简 an= (n∈N*) ,由计算得 a1=3,a2=33,a3=333,则 下列说法正确的是( ) A.由 a1,a2,a3 的值得正确结果 an=3n 的推理属于合情推理 B.由 a1,a2,a3 的值得正确结果 an= C.由 a1,a2,a3 的值得正确结果 an= D.由 a1,a2,a3 的值得正确结果 an= 的推理属于归纳推理 的推理属于类比推理 的推理属于演绎推理 10. (4 分)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′(x) ,且 2f(x)+xf′(x)>x2, 下面的不等式在 R 内恒成立的是( A.f(x)>0 B.f(x)<0 ) D.f(x)<x C.f(x)>x 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分). 11. (4 分)已知 i 是虚数单位,则 i2015= . . 12. (4 分)已知函数 f(x)=(x+a)2,若 f′(1)=1,则实数 a= 13. (4 分)已知实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的二根为 x1,x2,则由根与系 数的关系有 x1+x2=﹣ ,若实系数一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 的三根为 x1,x2, x3,用类比的方法可得 x1+x2+x3= . 14. (4 分)曲线 y=x3﹣3x2+x﹣3 的一条切线方程为 2x+y+m=0,则实数 m 的值 为 . 15. (4 分)用数学归纳法证明 f(n)=3?52n+1+23n+1(n∈N*)能被 m(m∈N*且 m>1)整除时,经计算得 f(1)=391=17×23,f(k+1)=af(k)+b?23k+1(k∈ N*) ,则 a+b+m= . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答写出文字说明、证明过程或演算 过程. 16. (12 分)已知 i 是虚数单位,m2+m﹣2+(2m2+3m﹣2)i(m∈R)为纯虚数. (1)求 m 的值; (2)设 z=3m+(4﹣2m)i,且(x﹣i)z+(y+z)i=x+y+1,求实数 x,y 的值. 17. (12 分)已知函数 f(x)=4x3﹣3x2﹣18x+15 (1)求函数 f(x)的极大值和极小值; (2)求函数 f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值. 18. (12 分) (1)用反证法证明直线与平面平行的判定定理(如图 1) :已知直线 a,b,平面 α,若 b? α,a?α,a∥b,则 a∥α; (2)如图 2,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,求证:CD1∥平面 A1BC1. 19. (12 分)已知 i 是虚数单位,z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R) . (1)求证:|z1z2|=|z1||z2|; (2)用(1)的结论证明| |= ,并求出复数 (θ∈R)的模. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x2﹣3x+3,直线 l:y=x. (1)求曲线 y=f(x)与直线 l 围成的封闭图形的面积; (2)若方程 ex=af(x)恰有三个解,求实数 a 的取值范围. 2014-2015 学年天津市武清区高二 (下) 期中数学试卷 (理 科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的. 1. (4 分)若 i 为虚数单位,则复数 等于( ) A. ﹣ i B. ﹣ i C. ﹣ i D. ﹣ i 【解答】解: 故选:D. = , 2. (4 分) 用数学归纳法证明等式: 1?n+2? (n﹣1) +3? (n﹣2) +…+n?1= n (n+1) (n+2) (n∈N*) ,当 n 取第一个数时,左式为( A.1 B.2 C.3 D.4 ) 【解答】解:n=1 时,左边=1×1=1. 故选:A. 3. (4 分) A. B.1﹣ sinxdx 等于( C. ) D.﹣ =﹣ +1= . 【解答】解: 故选:C. sinxdx=(﹣cosx) 4. (4 分)已知 O 为坐标原点,向量 线段 AB 的长为( ) , 对应的复数分别为 1﹣2i,﹣3+i,则 A.25 B.5 C. , D.1 对应的复数分别为 1﹣2i,﹣3+i, 【解答】解

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