2006年浙江省高考数学试卷及答案(理科)

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绝密★考试结束前

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和 答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 如果事件 A, B 互斥 ,那么 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体 的高 锥体的体积公式 V ? 如果事件 A, B 相互独立,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

1 Sh 其中 S 表示 3

锥体的底面积, h 表示锥体的高

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P ,那 么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率
k P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2,..., n) n

球的表面积公式

S ? 4? R2
球的体积公式

4 V ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径

台体的体积公式

1 V ? h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下面积, h 表 示台体的高 柱体体积公式 V ? Sh

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一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.设集合 A ? {x | ?1 ≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B= (A)[0,2] 2. 已知 (B)[1,2] (C)[0,4] (D)[1,4]

m ? 1 ? ni ,其中 m,n是实数, i是虚数单位,则 m ? ni ? 1? i
(B) 1-2i (C)2+i (D)2-i

(A)1+2i

3.已知 0<a<1, loga m ? loga n ? 0 ,则 (A)1<n<m (B) 1<m<n (C)m<n<1 (D) n<m<1

? x ? y ? 2 ? 0, ? 4.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?x ? 2 ?
(A) 4 2 5.若双曲线 (B)4 (C) 2 2 (D)2

1 x2 ? y 2 ? 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m= 3 m
(B)

(A)

1 2

3 2

(C)

1 8

(D)

9 8

6.函数 y =

1 sin2x+sin2x,x ? R 的值域是 2
(B)[-

(A)[-

1 3 , ] 2 2

3 1 , ] 2 2

(C)[ ?

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

(D)[ ?

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

a2 ? b2 7. >b>c”是“ab< “a ”的 2
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

8.若多项式 x 2 ? x10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1) 9 ? a10 ( x ? 1)10 , 则a9 ? (A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10

9.如图,O 是半径为 l 的球心,点 A、B、C 在球面上,OA、OB、OC 两两垂直, E、F 分别是大圆弧 (A) 与 的中点,则点 E、F 在该球面上的球面距离是 (C)

? 4

(B)

? 3

? 2

(D)

2? 4

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10.函数 f:{1,2,3} ?{1,2,3}满足 f(f(x))= f(x),则这样的函数个数共有 (A)1 个 (B)4 个 (C)8 个 (D)10 个

非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题:本大题共4小题,每小题 4 分,共 16 分。 11.设 S n 为等差数列{ an }的前 n 项和,若 S 5 ? 10, S10 ? ?5 ,则公差为 12.对 a,b ? R,记 max{a,b}= ? (用数字作答) 。

?a , a ? b ,函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x ? R)的最小值是 b, a<b ?
2



13.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a| 2 ? | b | 2 +|c| 的值是 14.正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB∥平面α ,则正四面体上的所有点在平面α 内的射影构成的 图形面积的取值范围是 。

三.解答题:本大题共 6 小题,每小题 14 分,共 84 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.如图,函数 y ? 2 sin(?x ? ? ), x ? R ,(其中 0≤ ? ≤ (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM与PN的夹角。

? )的图象与 y 轴交于点(0,1) 。 2

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16.设 f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c.若a ? b ? c ? 0, f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证: (Ⅰ)a>0 且-2<

b <-1; a

(Ⅱ)方程 f ( x) ? 0 在(0,1)内有两个实根.

17.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA =AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点. (Ⅰ)求证:PB⊥DM; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角。

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18.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装有 2 个红球,n 个白球。现从甲,乙两袋中各任取 2 个球。 (Ⅰ)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率; (Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为

3 ,求 n. 4

19.如图,椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0) 、B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T,且 a2 b

椭圆的离心率 e=

3 。 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF2 的中点,求证:∠ATM=∠AF 1 T。

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20.已知函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ,数列{x n |(x n >0)}的第一项 x1 =1,以后各项按如下方式取定:曲线

y ? f (x) 在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n ))两点的直线平行(如图) 。求证:
当 n ? N 时,
*

2 2 (Ⅰ) xn ? xn ? 3xn?1 ? 2xn?1 ;

(Ⅱ) ( )

1 2

n ?1

1 ? xn ? ( ) n?2 2

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数学(理科)试题参考答案
一.选择题. 题号 答案 二.填空题. 11. -1 三.解答题.
15.解: (I)因为函数图像过点(0,1) ,所以 2 sin ? ? 1 ,即 sin ? 因为 0 ? ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





















12.

3 2

13.4

14.[

2 1 , ] 4 2

?

1 2

?

?
2

,所以 ?

?

?
6



(II)由函数 y

? 1 1 5 ? 2sin( ?x ? ) 及其图象,得 M (? ,0) , P( ,2) , N ( ,0) 6 6 3 6

所以 PM

1 1 ? (? ,?2) , PN ? ( ,?2) ,从而 2 2
PM ? PN PM ? PN
=

cos ? PM , PN ??

15 15 ,故 ? PM , PN ?? arccos 。 17 17

16.证明: (I)因为 f (0) >0,f (1) >0,所以 c > 0,3a + 2b + c > 0 由条件 a + b + c = 0,消去 b,得 a > c >0 由条件 a + b + c = 0,消去 c,得 a + b < 0,2a + b > 0,故 ? 2 ?

b ? ?1 a

(II)抛物线 在?2 ?

f ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 的顶点坐标为 (?

b 3ac ? b 2 , ) 3a 3a

b 1 b 2 1 ? ?1 的两端乖以 ? ,得 ? ? ? a 3 3a 3 3
b a 2 ? c 2 ? ac )?? ? 0, 3a 3a

又因为 f (0) >0,f (1) >0,而 f (? 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0,?

b b )与(? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a

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故方程 f ( x) ? 0 在(0,1)内有两个实根。 17.解: 方法一: (I)因为 N 是 PB 的中点,PA=AB,所以 AN⊥PB。 因为 AD 平面 PAB,所以 AD⊥PB,从而 PB⊥平面 ADMN, 因为 DM ? 平面 ADMN,所以 PB⊥DM (II)取 AD 的中点 G,连结 BG、NG,则 BG∥CD, 所以 BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等。 因为 PB⊥平面 ADMN,所以∠BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角。 在 RtΔ BGN 中, sin ?BGN ?

BN 10 ? BG 5 10 。 5

故 CD 与平面 ADMN 所成的角是 arcsin 方法二:

如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A-XYZ,设 BC=1,则 A(0,0,0) , P(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(2,1,0) ,M(1,

1 ,1) ,D(0,2,0) 2

PD B M ? ? 0( ? 2)(1, ? 22 1 · ,, ) ? ? ( , 1 (Ⅰ)因为 PB ? DM? (2, 0,) 2)( ,1)
所以 PB⊥ DM。

?? ??? ???? ? ? ? ?

3 3 2 2

?0

(Ⅱ)因为 PB ? AD ? (2,0, ?2) ? (0, 2,0) ? 0 ,所以 PB⊥AD, 又因为 PB⊥DM,所以 PB⊥平面 ADMN, 因此 ? PB ? DC ? 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角。 因为 cos ? PB ? DC ??

??? ??? ? ?

PB ? DC PB ? DC

=

10 5 10 5

所以 CD 与平面 ADMN 所成的角为 arcsin

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18.解: (Ⅰ)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A。

P( A) ?

2 2 C2 C2 1 1 1 ? 2? ? ? . 2 C4 C5 6 10 60

(Ⅱ)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B, “取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 B1 , “取到的 4 个球全是白球”为事件 B2 。 由题意,得 P( B) ? 1 ?

3 1 ? 4 4

1 1 C 11C 1 Cn2 C 2 2 CC 1a 1 C 1CC C C2 C2 2n 2 ; P( B1 ) = 22 22 2 ? 22n ? 2 2? ? 22 22 n ? ? ? 22 3(n ? 2)(n ? 1) C C44 Can??22 C4 4 CC n? 2 C a?2

P( B2 ) =

2 C2 2 C4

?

2 Cn 2 C n?2

?

n(n ? 1) ; 6(n ? 2)(n ? 1)
1 2n2 n(n ? 1) ? ;? 3(n ? 2)(n ? 1) 6(n ? 2)(n ? 1) 4
3 (舍去) 故 n ? 2 。 , 7

所以 P( B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ?

化简,得 7n2 ?11n ? 6 ? 0, 解得 n ? 2 ,或 n ? ?

19.解: (Ⅰ)过 A、B 的直线方程为

x ? y ?1 2

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 ? b 因为由题意得 ? a 有惟一解, ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?
即 (b ?
2

1 2 2 a ) x ? a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0 有惟一解, 4
2 2

所以 ? ? a2b2 (a2 ? 4b2 ? 4) ? 0(ab ? 0), 故 a ? 4b ? 4 =0 又因为 e? c

a 2 ? b2 3 3 ? , 所以 a 2 ? 4b2 ,即 2 a 4 2
2

从而得 a ? 2, b ?
2

1 x2 , 故所求的椭圆方程为 ? 2 y 2 ? 1 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 c ?

6 6 6 , 0), F2 ( , 0) , 所以 F1 (? 2 2 2

从而 M(1+

6 ,0) 4

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? x2 2 ? ? 2y ? 1 1 2 由 ? ,解得 x1 ? x2 ? 1, 因此 T ? (1, ) 2 ? y ? ? 1 x ?1 2 ?
因为 tan?AF T ? 1

1 2 6 ,得 ? 1 ,又 tan ?TAM ? , tan?TMF2 ? 2 2 6

2 tan?ATM ? 6 1?

? 1

1 2 6

?

6 ? 1 ,因此, ?ATM ? ?AF1T 2

20.证明: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? 3x 2 ? 2x
2 所以曲线 y ? f (x) 在 ( xn?1 , f ( xn?1 ))处的切线斜论 k n?1 ? 3xn?1 ? 2xn?1
2 2 2 因为过(0,0)和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn ,所以 xn ? xn = 3xn?1 ? 2xn?1

(II)因为函数 h( x) ? x 2 ? x 当 x> 0 时单调递增,
2 2 2 而 xn ? xn = 3xn?1 ? 2xn?1 ? 4xn?1 ? 2xn?1 = (2xn?1 ) 2 ? 2xn?1

所以 xn ? 2 xn?1 ,即

x n ?1 1 x x x 1 ? ,因此, xn ? n ? n?1 ? ? ? 2 ? ( ) n?1 xn 2 xn?1 xn?2 x1 2
2

2 2 又因为 xn ? xn ≥ 2( xn?1 ? xn?1 ) ,令 y n ? xn ? xn ,则

y n?1 1 ? yn 2

2 因为 y1 ? x1 ? x1 ? 2 ,所以 y n ? ( )

1 2

n ?1

1 ? y1 ? ( ) n ? 2 , 2

因此 xn ? x n ? x n ? ( )
2

1 2

n?2

,故 ( )

1 2

n ?1

1 ? xn ? ( ) n?2 2

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