陕西省高中数学 第三章 推理与证明 推理与证明中的创新题拓展资料素材 北师大版选修1-2


推理与证明中的创新题 推理与证明在高考中是无处不在,不可避免的。因为数学就是一种推理,将题目中的要 求与自己所学的知识进行比较, 归结转化为自己熟悉的知识, 将熟悉的内容与题目中的新事 物进行比较,找到异同点得到结论,然后证明所得的结论,就是推理与证明的解题过程。下 面根据几个具体的题目来说明他们的应用。 1:做下面实验,假设若干杯甜度相同的糖水,经过下面操作后,糖水的甜度(浓度) 是否改变? 1)①:将所有杯糖水倒在一起 ②:将任意多杯糖水倒在一起 2) :将某杯水中加入一小勺糖,糖全部溶化类比这一试验,你能得到数学上怎样的关系 是? 分析:1)上述实验表示,将任意多杯甜度相同的糖水,倒在一起后,糖水的甜度不变, a c m a ? c ??? m , , ? , 看作倒前糖水的甜度,则倒后甜水的甜度为 从而 b d n b ? d ??? n a c m a ? c ??? m a c m ? ??? 得 ? ? ? ? ? (b ? d ??? n ? 0) b d n b ? d ??? n b d n b b?m 2) :设某杯水甜度为 ,加入糖的质量为 m ( m ? 0)由于糖全溶化后甜度为 , a a?m b?m b ? 糖变甜了,则 (a ? b, m ? 0) a?m a 由此类比若将 解:1)得出数学上某些定理 a c m a ? c ??? m a c m ? ? ? ? ,则 ? ? ??? b d n b ? d ??? n b d n b?m b ? 2)得不等式:若 a、b ? 0 ,且 a ? b 、 m ? 0 则 a?m a 若 点评: 本题由实验过程猜测实数的某些定理及不等式关系, 这用了归纳推理及类比推理 的方法,有助于培养学生的实验能力及合情推理能力 2:1997 年 11 月 8 日中央电视台正在播放十分壮观的长江三峡工程大江截流的实况, 截流从上午 9:00 开始,当时龙口的水面宽度 40 米,水深若干米,每隔一段时间播音员报 告龙口的水面宽度和工程的进展情况,现记录部分时段公布的数据如下: 时间 龙口宽 9:00 40m 10:00 39m 11:00 … 12:00 34m … 16:00 工程进度 数据列 1m a1 … a 2 ? a3 预计下午 16:00 合拢,现根据截至 12:0 的部分数据 1)学生甲将工程进度模拟成等差数列, a1 =1 , a 2 ? a3 =5 2)学生乙将工程进度模拟成等比数列, a1 =1 , a 2 ? a3 =5 试问:通过计算,学生甲和学生乙的结果分别说明的什么?(指解是否如期合拢) 分析:本题主要根据甲、乙分别对工程进度猜想的数列模式进行运算,学生运算的结果 与实际情况相比较,寻找更合理的结论。 解:学生甲的方法:将工程进度 ?an ? 的模拟成等差数列 以 a1 =1, a 2 ? a3 = 2a1 ? 3d ? 5 ∴ d ? 1 ∴ S 7 ? 7a1 ? 21d ? 28 ? 40 说明按甲模拟的结果不能如期合拢 学生乙的方法:将工程进度 ?an ? 模拟成公比为 q 的等比数列 由 a1 =1, a 2 ? a3 = a1q ? a1q 2 ? 5 得q ? ? 1 ? 21 ? 1.8 2 ∴ S7 ? 1 ? (1 ? 1.8 7 ) ? 75.3 ? 40 1 ? 1.8 说明按乙模拟的结果可以提前完成 点评:生活中,通过报纸、电视、广播、网络等手段,可获取相当多的数据与信息,若 其可看作数学问题,则可用合

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