江苏省高一数学下学期期末考试试题苏教版

高一下学期期末考试数学试题
一、填空题: (本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在答卷相应位置上) 1.某运动员在某赛季的得分如右边的茎叶图,该运动员得分的方差为 ▲ . 1 2 89 012

2.连续抛掷一颗骰子两次,则 2 次掷得的点数之和为 6 的概率是 ▲ . 3.两根相距 6 米的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 2 米 的概率是 ▲ . 4.根据如图所示的伪代码,输出的结果 S 为 ▲ .

5.若 a>1 则 y= a ?

1 的最小值为 ▲ . a ?1

6.在△ABC 中,若 a=2bcosC,则△ABC 的形状为 ▲ . 7.我校高中生共有 2700 人,其中高一年级 900 人,高二年级 1200 人,高三年级 600 人, 现采取分层抽样法抽取容量为 135 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ▲ . 8.不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 ?x | 2 ? x ? 3?,则不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为
2 2

▲ . 9.设 x>0,y>0,x+y=4,则 u ?

1 1 ? 的最小值为 ▲ . x y

10.在△ABC 中,∠A=60 ,b=1,这个三角形的面积为 3 ,则△ABC 外接圆的直径是 ▲ . 11.等差数列 ?bn ? 中, b3 ? 5 , b5 ? 9 ,数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an?1 ? bn ?n ? 2? , 则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ▲ .

0

12.若实数 a,b 满足 ab ? 4a ? b ? 1 ? 0?a ? 1? ,则 ?a ? 1??b ? 2? 的最小值为 ▲ . 13.在等差数列 ?an ? 中,若 S 2 ? 4 , S 3 ? 9 ,则 a4 的最大值为 ▲ . 14.已知数列 ?an ? 满足

an?1 ? an ? 1 ,且 ? n (n 为正整数) a2 ? 6 ,则数列 ?an ? a n?1 ?an ? 1

的通

1

项公式为 an =

▲ .

二、解答题(本题共 6 个小题,每题 15 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16. (1)从集合{0,1,2,3}中任取一个数 x,从集合{0,1,2}中任取一个数 y,求 x>y 的概率。 4.8 (2)从区间[0,3]中任取一个数 x,,从区间[0,2]中任取一个数 y,求 x>y 的概率。 17.在△ABC 中,∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别为 a,b,c,且 a ? bc ? b ? c (1)求∠A
2 2 2

的大小; (2)若 b=2,a= 3 ,求边 c 的大小; (3)若 a= 3 ,求△ABC 面积的最大值。 18.已知函数 ? x ? ?

?a ? 1?x ? 3
x ?1

A

D

(1)当 a=1 时,解关于 x 的不等式 f ?x ? ? 1 (2)当 a ? R 时,解关于 x 的不等式 f ?x ? ? 1 (3)不等式 f ?x ? ? x ? a 对任意 x ? 1 恒成立,求 a 的取值范围

B

C

19.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部 2 分) ,这两栏的面积之和为 18000cm ,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度 为 5cm. (1)怎样确定广告的高与宽的尺寸 (单位:cm) ,能使矩形广告面积最小? (2)如果左栏矩形 ABCD 要满足

AB ?k BC

(k 是常数,且 k>1),怎样确定广告的 高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形 广告面积最小.

2

3

∴设数列 ?bn ? 公差为 d ,则得,

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 6b1 ? 15d ∴ 6b1 ? 15d =87,

18.(1) ?1,2?

1? (2) a=0 时 ?- ?,

4

a<0 时 ? - ?, ? ? ?1,???

? ?

2? a?

0<a<2 时 ?1, a=2 时 ? a>2 时 ? (3)a<1

? 2? ? ? a?

?2 ? ,1? ?a ?

(2)设 BC=x

则0 ? x ?

30 10 k

当k ?

8 60 10 时,广告宽 ? 25 高 30 10k ? 20 ,可使广告面积最小 5 k

当1 ? k ?

8 时,广告的高为 140cm,宽为 175 时,可使广告面积最小。 5

20. (I)解:∵an+1=2 an+1(n∈N), ∴an+1+1=2(an+1), ∴| an+1| 是以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列。 n ∴an+1=2 , n 既 an=2 -1(n∈N)。 b1-1 b2-2 bn-1 bn (II)证法一:∵4 4 …4 =(a+1) , k1+k2+…+kn nk ∵4 =2 , ∴2[(b1+b2+…+bn)-n]=nbn, 2[(b1+b2+…+bn+1)-(n+1)]=(n+1)bn+1 ②-①,得 2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn, 即 (n-1)bn+1-nbn+2=0.

① ② ③

5

nbn+2=(n+1)bn+1+2=0. ④ ④-③,得 nbn+2-2nbn+1-nbn=0, 即 bn+2-2bn+1+b=0, * ∴bn-2-bn+1=bn(n∈N ), ∴{bn}是等差数列. 证法二:同证法一,得 (n-1)bn+1=nbn+2=0 令 n=1,得 b1=2. 设 b2=2+d(d∈R),,下面用数学归纳法证明 bn=2+(n-1)d. (1)当 n=1,得 b1=2. (2)假设当 n=k(k≥2)时,b1=2+(k-1)d,那么 bk+1=

k 2 k 2 b? ? (2 ? (k ? 1)d ) ? ? 2 ? (( k ? 1) ? 1)d . k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. * 根据(1)和(2),可知 bn=2(n-1)d 对任何 n∈N 都成立. ∵bn+1-bn=d, ∴{bn}是等差数列.

6


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