2019-2020年高中数学第二章基本初等函数幂函数教案新人教A版必修1

2019-2020 年高中数学第二章基本初等函数幂函数教案新人教 A 版必修 1

一.教学目标:

1.知识技能

(1)理解幂函数的概念;

(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用.

2.过程与方法

类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质.

3.情感、态度、价值观

(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;

(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二.重点、难点

重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质

难点:从幂函数的图象中概括其性质

5.学法与教具

(1)学法:通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质 ;

(2)教学用具:多媒体

三.教学过程:

引入新知

阅读教材 P90 的具体实例(1)~(5),思考下列问题.

(1)它们的对应法则分别是什么?

(2)以上问题中的函数有什么共同特征?

让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论

答:1、(1)乘以 1

(2)求平方

(3)求立方

(4)求算术平方根

(5)求-1 次方

2、上述的问题涉及到的函数,都是形如:,其中是自变量,是常数.

探究新知

1.幂函数的定义

一般地,形如(R)的函数称为幂孙函数,其中是自变量,是常数.

如等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.

2.研究函数的图像

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

一.提问:如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最后,教师利用电

脑软件画出以上五个数数的图像.

4

2

y=x3

y=x-1

-5

0

5

10

15

-2

-4

-6
让学生通过观察图像,-8 分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引导学生用类比研

-10

究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像,填 P91 探究中的表格

定义域

R

R

R

奇偶性







非奇非偶



在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限 在第Ⅰ象限

单调增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 单调递减

定点

(1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)

3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:); (2)>0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象逐渐 上升). 特别地,当>1,>1 时,∈(0,1),的图象都在图象的下方,形状向下凸越大,下凸的程度越大(你 能找出原因吗?) 当∠α <1 时,∈(0,1),的图象都在的图象上方,形状向上凸,α 越小,上凸的程度越大(你能说 出原因吗?) (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 在第一家限内,当向原点靠近时,图象在轴的右方无限逼近轴正半轴,当慢慢地变大时,图象在轴上 方并无限逼近轴的正半轴. 例题: 1.证明幂函数上是增函数 证:任取<则

f (x1) ? f (x 2) ? x1 ? x2
=

=

因<0,>0

所以,即上是增函数.

思考:

我们知道,若 y ? f (x) ? 0, 若 f (x1) ? 1 得,你能否用这种作比的方法来证明上是增函数,利用这种 f (x2 )
方法需要注意些什么?

2.利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小

(1) (2) (3)

分析:利用幂函数的单调性来比较大小.

5.课堂练习

画出的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性.

6.归纳小结:提问方式

(1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的?

(2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗?

作业:P92

习题 2.3 第 2、3 题

小结与复习

一.教学目标 1.知识与技能 (1)理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. (2)能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法 通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观 (1)提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. (2)培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点 重点:指数函数与对数函数的性质。 难点:灵活运用函数性质解决有关问题。 三、学法与教具 1、学法:讲授法、讨论法。 2、教具:投影仪。 四、教学设想 1、回顾本章的知识结构

整数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
定义 图象与性质

指数 指数函数

定义
对数 运算性质

对数函数

定义 图象与性质

2、指数与对数

指数式与对数式的互化

幂值

真数

= N= b

底数

指数←→对数值 提问:在对数式中,a,N,b 的取值范围是什么? 例 1:已知=,54b=3,用的值 解法 1:由=3 得=b

∴== log54 27 ? log54 3 ? a ? b ? a ? b

log54 2 ?1

2 ? log54 27 2 ? a

解法 2:由



所以

即:

所以 542x?ax ? 54a?b ,即2x ? ax ? a ? b
因此得:

(1)法 1 是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果.

法 2 是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但法 2 运算的技巧性较大。

2.指数函数与对数函数

问题 1:函数 y ? ax与y ? logax 中,a与x 分别必须满足什么条件.
问题 2:在同一直角坐标系中画出函数的图象,并说明两者之间的关系.

问题 3:根据图象说出指数函数与对数函数的性质.

例 2:已知函数的图象沿轴方向向左平移 1 个单位后与的图象关于直线对称,且,则函数

的值域为

.

分析:函数关于直线对称的函数为

∴ g(19) ? log3 18 ? 2 ? log3 2 ∴ a ? log3 2, ? y ? 3ax ? (3log3 2 )x ? 2x


小结:底数相同的指数函数与对数函数关于对称,它们之间还有一个关系式子:

aloga N ? N( a ? 1, a ? 0, N ? 0)



3:已知

f

(x)

?

loga

1? 1?

x x

(a

?

0且 a

? 1)

(1)求的定义域

(2)求使的的取值范围

分析:(1)要求的定义域,

则应有

1? 1?

x x

?

0

?

?1? ??1?

x x

? ?

0 0



?1 ??1

? ?

x x

? ?

0 0

(2)注意考虑不等号右边的

0

化为,则(2)小题变为

loga

1? 1?

x x

?

loga

1, 再分a>1和0<a<1

两种情况分别求出.

建议:通过提问由学生作答

课堂小结:

1.指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式,它们之间可以互化,这种等

价互化也是指数运算和对数运算的常用方法.

2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图象关于对称,它们在各自的定

义域内增减性是一致的,通过函数图象,利用数形结合,记作指数函数与对数函数的性质.

作业:P90 A 组 3 7 P91 B 组 3 4

2019-2020 年高中数学第二章基本初等函数教案新人教 A 版必修 1
一、课标要求: 教材把指数函数,对数函数,幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例 和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,体会建立和研究一个函数模型 的基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题.
1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3. 理解指数函数的概念和意义,掌握 f(x)=ax 的符号、意义,能借助计算器或计算机 画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点). 4. 通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型. 5. 理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数 转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 6. 通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的 概念,掌握 f(x)=logax 符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或 计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊 点). 7. 知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0, a≠1),初步了解反函 数的概念和 f- -1(x)的意义.
1
8. 通过实例,了解幂函数的概念,结合五种具体函数 y ? x, y ? x3, y ? x?1, y ? x 2 的
图象,了解它们的变化情况 . 二、编写意图与教学建议: 1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养
学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的 作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.
2. 在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容做了比较,让 学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁 移与互逆作用.
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念,目的在于强化指数函数与对数函

数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展 .

4. 教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安

排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生学习的负担.

5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学

学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..

6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真

研读.

三、教学内容与课时安排的建议

本章教学时间约为 14 课时.

2.1 指数函数:

6 课时

2.2 对数函数:

6 课时

2.3 幂函数:

1 课时

小结:

1 课时

§2.1.1 指数(第 1—2 课时)
一.教学目标: 1.知识与技能:(1)理解分数指数幂和根式的概念; (2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; (3)掌握分数指数幂的运算性质; (4)培养学生观察分析、抽象等的能力. 2.过程与方法: 通过与初中所学的知识进行类比,分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质. 3.情态与价值 (1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; (2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; (3)让学生体验数学的简洁美和统一美.
二.重点、难点 1.教学重点:(1)分数指数幂和根式概念的理解; (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; 2.教学难点:分数指数幂及根式概念的理解
三.学法与教具 1.学法:讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2.教具:多媒体
四、教学设想:
第一课时
一、复习提问: 什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? 归纳:在初中的时候我们已经知道:若,则叫做 a 的平方根.同理,若,则叫做 a 的立
方根. 根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方
根为,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8 的立方根为―2;零的平方根、 立方根均为零. 二、新课讲解
类比平方根、立方根的概念,归纳出 n 次方根的概念. n 次方根:一般地,若,则 x 叫做 a 的 n 次方根(throot),其中 n >1,且 n∈N*, 当 n 为偶数时,a 的 n 次方根中,正数用表示,如果是负数,用表示,叫做根式.n 为奇数 时,a 的 n 次方根用符号表示,其中 n 称为根指数,a 为被开方数. 类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数时,一个数的 n 次方根有多少个?当 n 为奇 数时呢?
a为正数:???n为奇数, a的n次方根有一个,为n a ??n为偶数, a的n次方根有两个,为? n a

a为负数:?????nn为 为奇 偶数 数,,

a的n次方根只有一个,为n a a的n次方根不存在.

零的 n 次方根为零,记为 举例:16 的次方根为,等等,而的 4 次方根不存在. 小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数, 还要分清 n 为奇数和偶数两种情况. 根据 n 次方根的意义,可得:

肯定成立,表示 an 的 n 次方根,等式一定成立吗?如果不一定成立,那么等于什么? 让学生注意讨论,n 为奇偶数和 a 的符号,充分让学生分组讨论. 通过探究得到:n 为奇数,
n 为偶数,
如 3 (?3)3 ? 3 ?27 ? ?3, 4 (?8)4 ?| ?8 |? 8
小结:当 n 为偶数时,化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就避 免出现错误:
例题:求下列各式的值 (1) 分析:当 n 为偶数时,应先写,然后再去绝对值. 思考:是否成立,举例说明. 课堂练习:1. 求出下列各式的值
(1) 7 (?2)7 (2) 3 (3a ? 3) 3 (a ?1) (3) 4 (3a ? 3) 4

2.若 a2 ? 2a ?1 ? a ?1, 求a的取值范围 .

3.计算 3 (?8)3 ? 4 (3 ? 2)4 ? 3 (2 ? 3)3

三.归纳小结:

1.根式的概念:若 n>1 且,则 x是a的n次方根,n为奇数时,x= n a ,

为偶数时,;

2.掌握两个公式: n为奇数时,(n

a)n , n为偶数时,n

an

?| a |?

?a (a ? 0) ???a (a ? 0)

3.作业:P69 习题 2.1 A 组 第 1 题

提问:

第二课时

1.习初中时的整数指数幂,运算性质?
an ? a ? a ? a ??? a, a0 ? 1 (a ? 0) , 00无意义

am ? an ? am?n ; (am )n ? amn

(an )m ? amn , (ab)n ? anbn

什么叫实数?

有理数,无理数统称实数.

2.观察以下式子,并总结出规律:>0









小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形

式,(分数指数幂形式).

根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如:

m
即: n am ? a n (a ? 0, n ? N *, n ? 1)

为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:

m
a n ? n am (a ? 0, m, n ? N *)

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.

?m
即: a n ?

1
m

(a

?

0, m, n ?

N*)

an

规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式

n

11

1

的一种新的写法,而不是 a m ? a m ? a m ??? a m (a ? 0)

由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数 幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:

(1) ar ? as ? ar?s (a ? 0, r, s ?Q)

(2) (ar )S ? ars (a ? 0, r, s ?Q)

(3) (a ? b)r ? arbr (Q ? 0,b ? 0, r ? Q)

若>0,P 是一个无理数,则 P 该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本 P62——P62.
即:的不足近似值,从由小于的方向逼近,的过剩近似值从大于的方向逼近. 所以,当不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近. 当的过剩似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,(如课本图所示) 所以,是一个确定的实数.
一般来说,无理数指数幂 a p (a ? 0, p是一个无理数) 是一个确定的实数,有理数指
数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和 过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考:的含义是什么? 由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同, 实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即:
ar ? as ? ar?s (a ? 0, r ? R, s ? R)

(ar )s ? ars (a ? 0, r ? R, s ? R)

(a ? b)r ? arbr (a ? 0, r ? R)

3.例题

(1).(P60,例 2)求值

解:①

2
83

2
? (23)3

3? 2
?2 3

? 22 ? 4



?1
25 2

?

(52

?
)

1 2

2?(? 1 )
?5 2

? 5?1

?

1

5

③ ( 1 )?5 ? (2?1)?5 ? 2?1?(?5) ? 32 2



(16

)

?

3 4

?

(

2

4?( ?
)

3 4

)

?

( 2)?3

?

27

81

3

38

(2).(P60,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式(>0)

解: a3.

a

?

1
a3 ? a2

?

3? 1
a2

?

7
a2

2
a2 ? 3 a2 ? a2 ? 3a

2? 2
? a3

8
? 3a

1

4

41

2

a3 a ? a ? a3 ? a 3 ? (a )32 ? a 3

分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算. 课堂练习:P63 练习 第 1,2,3,4 题

补充练习: 1. 计算:的结果

2. 若 a3 ? 3,

a10

?

384,

求a3

?[( a10 a3

1
)7 ]n?3的值

小结: 1.分数指数是根式的另一种写法. 2.无理数指数幂表示一个确定的实数. 3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.
作业:P69 习题 2.1 第 2 题

第三课时

一.教学目标

1.知识与技能:

(1)掌握根式与分数指数幂互化;

(2)能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简,求值.

2.过程与方法:

通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.

3.情感、态度、价值观

(1)培养学生观察、分析问题的能力;

(2)培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

二.重点、难点:

1.重点:运用有理指数幂性质进行化简,求值.

2.难点:有理指数幂性质的灵活应用.

三.学法与教具:

1.学法:讲授法、讨论法.

2.教具:投影仪

四.教学设想:

1.复习分数指数幂的概念与其性质

2.例题讲解

例 1.(P60,例 4)计算下列各式(式中字母都是正数)

21

11

15

(1) (2a 3b2 )(?6a 2b3 ) ? (?3a 6b6 )

(2) (先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析、提问、解答) 分析:四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的. 整 数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算 顺序. 我们看到(1)小题是单项式的乘除运算;(2)小题是乘方形式的运算,它们应让如

何计算呢? 其实,第(1)小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算顺序进行. 第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算.

2?1?1 1?1?5
解:(1)原式=[2 ? (?6) ? (?3)]a 3 2 6b2 3 6

= =4 (2)原式= = 例 2.(P61 例 5)计算下列各式 (1) (2)>0) 分析:在第(1)小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难计算,但把根式先 化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,同样,第(2)小题也是先把根式转化为分数 指数幂后再由运算法则计算. 解:(1)原式= = = = =

(2)原式=

a2
1

2

2? 1 ? 2
?a 2 3

5
? a6

? 6 a5

a2 ?a3

小结:运算的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,

也不能既有分母,又含有负指数. 课堂练习:

化简:

(1) (2) (3) 归纳小结:

1. 熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础.

2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.

作业:P65 习题 2.1

A组 第4题

B组

第2题

2.1.2 指数函数及其性质(2 个课时)

一. 教学目标: 1.知识与技能 ①通过实际问题了解指数函数的实际背景; ②理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 2.情感、态度、价值观 ①让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题,分析问题的能力. 3.过程与方法 展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质.
二.重、难点 重点:指数函数的概念和性质及其应用. 难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用.
三、学法与教具: ①学法:观察法、讲授法及讨论法. ②教具:多媒体.

第一课时

一.教学设想: 1. 情境设置
①在本章的开头,问题(1)中时间与 GDP 值中的 y ? 1.073x( x ? x ? 20)与问题(2)

中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(

1 2

)5

1 30

]t

,请问这两个函数有什么共同特征.

②这两个函数有什么共同特征

把P=[(

1 2

t
)5730

]变成P

?

[(

1

)

1 5730

2

]t

,从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量

为指数,即都可以用(>0 且≠1 来表示).

二.讲授新课

指数函数的定义

一般地,函数(>0 且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为 R.

提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8) (>1,且)

小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为>0,是任意一个实数时,是一个确定

的实数,所以函数的定义域为实数集 R.

若a

?

0,

??当x ???当x

? ?

0时,ax等于0 0时,a x无意义

若<0,如

y

?

(?2) x ,

先时,对于x=

1 6

,

x

?

1 等等,在实数范围内的函数值不存在. 8

若 =1, 是 一 个 常 量 , 没 有 研 究 的 意 义 , 只 有 满 足 的 形 式 才 能 称 为 指 数 函 数 ,

1

a为常数,象y=2-3x,y=2x , y ? xx , y ? 3x?5, y ? 3x ?1等等,







y ? x ( a且 ? 0 的a 形式,所?以1 不a是指) 数函数 .

我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研 究. 下面我们通过
先来研究>1 的情况 用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数的图象

1

2

4

y

y=2x

-
-

-

0

x

-

-

再研究,0<<1 的情况,用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.

1

2

4

y

-

0

x

-

-

-
-

从图中我们看出 y ? 2x与y ? (1)x的图象有什么关系? 2

通过图象看出 y ? 2x与y ? (1)x的图象关于y轴对称, 实质是上的 2

与y=(

1 2

)x上点(-x,

y)关于y轴对称.

讨论:的图象关于轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?

② 利 用 电 脑 软 件 画 出 y ? 5x , y ? 3x , y ? (1)x , y ? (1)x 的 函 数 图 象 .

3

5

8

6

4

2

-5

0

-2

5

10

-4

-6

-8
问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

8 6 4 2

-1 0

-5

5

0

-2

-4

-6

从图上看(>1)与(0<<1)两函数图象的特征.

-8

问题 2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、 奇偶性.
问题 3:指数函数(>0 且≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系.

图象特征

函数性质

>1

0<<1

>1

0<<1

向轴正负方向无限延伸

函数的定义域为 R

图象关于原点和轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都在轴上方

函数的值域为 R+

函数图象都过定点(0,1)

=1

自左向右, 图象逐渐上升

自左向右, 图象逐渐下降

增函数

减函数

在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1

在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1

>0,>1

>0,<1

在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1

在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1

<0,<1

<0,>1

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

(1)在(>0 且≠1)值域是[ f (a), f (b)]或[ f (b), f (a)];

(2)若 x ? 0, 则f(x)? 1; f(x)取遍所有正数当且仅当x ?R;
(3)对于指数函数(>0 且≠1),总有 (4)当>1 时,若<,则<; 例题: 例 1:(P66 例 6)已知指数函数(>0 且≠1)的图象过点(3,π ),求

1
分析:要求 f (0), f (1), f (?3)的值,只需求出a, 得出f(x)=(? 3 )x , 再把 0,1,3 分
别代入,即可求得 提问:要求出指数函数,需要几个条件? 课堂练习:P68 练习:第 1,2,3 题
补充练习:1、函数 f (x) ? (1)x的定义域和值域分别是多少? 2
2、当 x ?[?1,1]时,函数f (x) ? 3x ? 2的值域是多少?
解(1) (2)(-,1)

例 2:求下列函数的定义域: (1) (2) 分析:类为的定义域是 R,所以,要使(1),(2)题的定义域,保要使其指数部分有 意义就得 . 3.归纳小结 作业:P69 习题 2.1 A 组第 5、6 题
1、理解指数函数 y ? ax (a ? 0), 注意a ? 1与0 ? a ? 1两种情况。
2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论 的数学思想 .

第 2 课时
教学过程:
1、复习指数函数的图象和性质 2、例题
例 1:(P66 例 7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.73
( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 解法 1:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出的图象, 在图象上找出横坐标分别为 2.5, 3 的点,显然,图象上横坐标就为 3 的点在横坐标为 2.5 的点的上方,所以 .

8 6 4 2

-10

-5

0 -2

-4

-6

-8

5

10

解法 2:用计算器直接计算: 所以,
解法 3:由函数的单调性考虑 因为指数函数在 R 上是增函数,且 2.5<3,所以, 仿照以上方法可以解决第(2)小题 .
注:在第(3)小题中,可以用解法 1,解法 2 解决,但解法 3 不适合 . 由于 1.70.3=0.93.1 不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到
1,把这两数值分别与 1 比较大小,进而比较 1.70.3 与 0.93.1 的大小 . 思考:

1、已知 a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8, 按大小顺序排列.

2. 比较(>0 且≠0).

指数函数不仅能比较与它有关的值的大小,在现实生活中,也有很多实际的应用.

例 2(P67 例 8)截止到 xx 年底,我们人口哟 13 亿,如果今后,能将人口年平均均增 长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?

分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题:

xx 年底

人口约为 13 亿

经过 1 年 经过 2 年 经过 3 年

人口约为 13(1+1%)亿 人口约为 13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2 亿 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3 亿

经过年

人口约为 13(1+1%)亿

经过 20 年

人口约为 13(1+1%)20 亿

解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过年后,我国人口数为亿,则

当=20 时, 答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. 小结:类似上面此题,设原值为 N,平均增长率为 P,则对于经过时间后总量
y ? N (1? p)x , 像y ? N (1? p)x 等形如y ? kax (K ? R ,>0 且≠1)的函数称为指数型函
数. 思考:P68 探究: (1)如果人口年均增长率提高 1 个平分点,利用计算器分别计算 20 年后,33 年后的
我国人口数 . (2)如果年平均增长率保持在 2%,利用计算器 2020~2100 年,每隔 5 年相应的人口数 . (3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势? (4)如何看待计划生育政策? 3.课堂练习 (1)右图是指数函数① ② ③ ④的图象,判断与 1 的大小关系;
Y=

8 6 4 2

-10

-5

-2

-4

-6

5

10

(2)设其中>0,≠1,确定为何值时,有:



②>

(3)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢与漂洗次数的函数关系

式,若要使存留的污垢,不超过原有的 1%,则少要漂洗几次(此题为人教社 B 版 101 页

第 6 题).

归纳小结:本节课研究了指数函数性质的应用,关键是要记住>1 或 0<<时的图象,

在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用,形如(a>0 且≠1).

作业:P69 A 组第 7 ,8 题

P70 B 组 第 1,4 题

对数(第一课时)
一.教学目标: 1.知识技能: ①理解对数的概念,了解对数与指数的关系; ②理解和掌握对数的性质; ③掌握对数式与指数式的关系 . 2. 过程与方法: 通过与指数式的比较,引出对数定义与性质 . 3.情感、态度、价值观 (1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力. (2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 . (3)在学习过程中培养学生探究的意识. (4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力.
二.重点与难点: (1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质 (2)难点:推导对数性质的
三.学法与教具: (1)学法:讲授法、讨论法、类比分析与发现 (2)教具:投影仪
四.教学过程:

1.提出问题

思考:(P72 思考题)中,哪一年的人口数要达到 10 亿、20 亿、30 亿……,该如何解 决?

即: 18 ? 1.01x , 20 ? 1.01x , 30 ? 1.01x , 在个式子中,分别等于多少?

13

13

13

象上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数(引

出对数的概念).

1、对数的概念

一般地,若,那么数叫做以 a 为底 N 的对数,记作

叫做对数的底数,N 叫做真数.

举例:如:,读作 2 是以 4 为底,16 的对数.

,则,读作是以 4 为底 2 的对数.

提问:你们还能找到那些对数的例子

2、对数式与指数式的互化

在对数的概念中,要注意:

(1)底数的限制>0,且≠1 (2) 指数式对数式

幂底数←→对数底数

指 数←→对数

幂 ←N→真数

说明:对数式可看作一记号,表示底为(>0,且≠1),幂为 N 的指数工表示方程(>

0,且≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为(>0,且≠1)幂为 N,求幂指数的

运算. 因此,对数式又可看幂运算的逆运算.

例题:

例 1(P73 例 1)

将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.

(1)54=645

(2)

(3)

(4) (5) (6)

注:(5)、(6)写法不规范,等到讲到常用对数和自然对数后,再向学生说明.

(让学生自己完成,教师巡视指导)

巩固练习:P74 练习 1、2 3.对数的性质:

提问:因为>0,≠1 时,

则 由1、0=1

2、1=

如何转化为对数式

②负数和零有没有对数?

③根据对数的定义,=?

(以上三题由学生先独立思考,再个别提问解答)

由以上的问题得到



(>0,且≠1)

② ∵>0,且≠1 对任意的力,常记为. 恒等式:=N
4、两类对数 ① 以 10 为底的对数称为常用对数,常记为. ② 以无理数 e=2.71828…为底的对数称为自然对数,常记为.
以后解题时,在没有指出对数的底的情况下,都是指常用对数,如 100 的对数等于 2,即.

说明:在例 1 中, log10 0.01应改为lg 0.01, loge 10应改为ln10 .

例 2:求下列各式中 x 的值 (1) (2) (3) (4) 分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出 x.

?2
解:(1) x ? (64) 3

?

(43

)

?

2 3

?

3?(? 2 )
43

?

4?2

?

1

16

1

1

1

1

(2) x6 ? 8, 所以(x6 )6 ? (8)6 ? (23)6 ? 22 ? 2

(3)10x ? 100 ? 102 , 于是x ? 2

(4)由? ln e2 ? x, 得 ? x ? ln e2 ,即e-x ? e2

所以
课堂练习:P74 练习 3、4 补充练习:1. 将下列指数式与对数式互化,有的求出的值 .
(1) (2) (3) (4) (5) (6)

2.求 aloga b?logb c?logc N的值(a,b,c ? R+ , 且不等于 1,N>0).

3.计算的值.

4.归纳小结:对数的定义

>0 且≠1)

1 的对数是零,负数和零没有对数

对数的性质

>0 且≠1

作业:P86 P88

习题

2.2 A 组 1、2 B组 1

一.教学目标:

对数(第二课时)

1.知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,求值、化简, 并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 二.教学重点、难点 重点:对数运算的性质与对数知识的应用 难点:正确使用对数的运算性质 三.学法和教学用具 学法:学生自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具:投影仪 四.教学过程 1.设置情境 复习:对数的定义及对数恒等式
(>0,且≠1,N>0), 指数的运算性质.

am ? an ? am?n;

am ? an ? am?n

(am )n ? amn ;

n
m an ? am

2.讲授新课 探究:在上课中,我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的 关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?如我们知道,那如何表示,能用对 数式运算吗?

如: am ? an ? am?n , 设M ? am , N ? an。于是 由对数的定义得到

M ? am ? m ? loga M , N ? an ? n ? loga N
MN ? am?n ? m ? n ? loga MN
?loga M ? loga N ? loga MN (放出投影)
即:同底对数相加,底数不变,真数相乘 提问:你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗?

(让学生探究,讨论) 如果>0 且≠1,M>0,N>0,那么:

(1) loga MN ? loga M ? loga N

(2) loga

M N

? loga

M

? loga

N

(3) loga M n ? n loga M (n ? R)

证明: (1)令
则:

又由

?m ? loga M , n ? loga N

即: loga

M

? loga

N

?

m

?

n

?

loga

M N

N
(3) n ? 0时, 令N ? loga M n ,则M ? a n

即 loga

M N

? loga

M

? loga

N

当=0 时,显然成立.

提问:1. 在上面的式子中,为什么要规定>0,且≠1,M>0,N>0? 2. 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗? 例题:1. 判断下列式子是否正确,>0 且≠1,>0 且≠1,>0,>,则有

(1) loga x ? loga y ? loga (x ? y) (2) loga x ? loga y ? loga (x ? y)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7) 例 2:用,,表示出(1)(2)小题,并求出(3)、(4)小题的值.

(1) (2) (3) (4)

分析:利用对数运算性质直接计算:

(1) loga

xy z

?

loga

xy

? loga

z

? loga

x ? loga

y ? loga

z

(2) loga

x2
3

y z

?

loga

x2

y ? loga 3 z ? loga x2 ? loga

y ? loga 3 z

1

1

= 2 loga x ? 2 loga y ? 3 loga z

(3) log2 (47 ? 25 ) ? log2 47 ? log2 25 ? 14 ? 5 ? 19

(4) 点评:此题关键是要记住对数运算性质的形式,要求学生不要记住公式. 让学生完成 P79 练习的第 1,2,3 题 提出问题: 你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗? >0,且≠1,>0,且≠1,>0

先让学生自己探究讨论,教师巡视,最后投影出证明过程.

设 M ? logc a, N ? logc b, 则a ? cM , b ? cN

1

1

N

且 a M ? c, 所以cN ? (a M )N ? a M ? b

即: N M

?

log

a

b,

又因为

N M

?

logc b logc a

所以: 小结:以上这个式子换底公式,换的底 C 只要满足 C>0 且 C≠1 就行了,除此之外, 对 C 再也没有什么特定的要求. 提问:你能用自己的话概括出换底公式吗? 说明:我们使用的计算器中,“”通常是常用对数. 因此,要使用计算器对数,一定要 先用换底公式转化为常用对数. 如:

即计算的值的按键顺序为:“”→“3”→“÷”→“”→“2” →“=” 再如:在前面要求我国人口达到 18 亿的年份,就是要计算
所以

x

?

log1.01

18 13

?

lg 18 13
lg1.01

?

lg18 ? lg13 lg1.01

?

1.2553 ?1.139 0.043

=

练习:P79

练习 4

让学生自己阅读思考 P77~P78 的例 5,例的题目,教师点拨.

3、归纳小结

(1)学习归纳本节 (2)你认为学习对数有什么意义?大家议论. 4、作业 (1)书面作业:P86 习题2.2 第 3、4 题 P87 第 11、12 题 2、思考:(1)证明和应用对数运算性质时,应注意哪些问题?
(2) log2 (?3)(?5)等于log2 (?3) ? log2 (?5)吗?
§2.2.2 对数函数及其性质(第一、二课时)
一.教学目标 1.知识技能 ①对数函数的概念,熟悉对数函数的图象与性质规律. ②掌握对数函数的性质,能初步运用性质解决问题. 2.过程与方法 让学生通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数的性质. 3.情感、态度与价值观 ①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力; ②培养学生严谨的科学态度.
二.学法与教学用具 1.学法:通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质; 2.教学手段:多媒体计算机辅助教学.
三.教学重点、难点 1、重点:理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质. 2、难点:底数 a 对图象的影响及对数函数性质的作用.
四.教学过程 1.设置情境 在 2.2.1 的例 6 中,考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代,对于每一个 C14
含量 P,通过关系式,都有唯一确定的年代与之对应.同理,对于每一个对数式中的,任 取一个正的实数值,均有唯一的值与之对应,所以的函数.
2.探索新知 一般地,我们把函数(>0 且≠1)叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0, +∞). 提问:(1).在函数的定义中,为什么要限定>0 且≠1.

(2).为什么对数函数(>0 且≠1)的定义域是(0,+∞).组织学生充分讨论、交

流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解.

答:①根据对数与指数式的关系,知可化为,由指数的概念,要使有意义,必须规定

>0 且≠1.

②因为可化为,不管取什么值,由指数函数的性质,>0,所以.

例题 1:求下列函数的定义域

(1)

(2)

(>0 且≠1)

分析:由对数函数的定义知:>0;>0,解出不等式就可求出定义域.

解:(1)因为>0,即≠0,所以函数的定义域为.

(2)因为>0,即<4,所以函数的定义域为<.

下面我们来研究函数的图象,并通过图象来研究函数的性质:

先完成 P81 表 2-3,并根据此表用描点法或用电脑画出函数 再利用电脑软件画出

1

2

4

6

8

12

16

-1

0

1

2

2.58

3

3.58

4

y



x

注意到:,若点的图象上,则点的图象上. 由于()与()关于轴对称,因此,的图象 与的图象关于轴对称 . 所以,由此我们可以画出的图象 .
先由学生自己画出的图象,再由电脑软件画出与的图象. 探究:选取底数>0,且≠1)的若干不同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应的对数 函数的图象.观察图象,你能发现它们有哪些特征吗?
.作法:用多媒体再画出,,和

4 2

-5

0

5

-2

提问:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗?函数的图象有何特征,

性质又如何?

-4

先由学生讨论、交流,教师引导总结出函数的性质. (投影)

图象的特征 (1)图象都在轴的右边 (2)函数图象都经过(1,0)点 (3)从左往右看,当>1 时,图象逐渐上 升,当 0<<1 时,图象逐渐下降 .
(4)当>1 时,函数图象在(1,0)点右 边的纵坐标都大于 0,在(1,0)点左边 的纵坐标都小于 0. 当 0<<1 时,图象正 好相反,在(1,0)点右边的纵坐标都小 于 0,在(1,0)点左边的纵坐标都大于 0 .

函数的性质
(1)定义域是(0,+∞) (2)1 的对数是 0 (3)当>1 时,是增函数,当
0<<1 时,是减函数. (4)当>1 时
>1,则>0 0<<1,<0 当 0<<1 时 >1,则<0 0<<1,<0

由上述表格可知,对数函数的性质如下(先由学生仿造指数函数性质完成,教师适当

启发、引导):

>1

0<<1

图 象

(1)定义域(0,+∞);



(2)值域 R;



(3)过点(1,0),即当=1,=0;

(4)在(0,+∞)上是增函数

例题训练: 1. 比较下列各组数中的两个值大小

在(0,+∞)是上减函数

(1)

(2)

(3) (>0,且≠1)

分析:由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成:

(1)解法 1:用图形计算器或多媒体画出对数函数的图象.在图象上,横坐标为 3、4

的点在横坐标为 8.5 的点的下方:

所以,

解法 2:由函数+上是单调增函数,且 3.4<8.5,所以.

解法 3:直接用计算器计算得:,

(2)第(2)小题类似

(3)注:底数是常数,但要分类讨论的范围,再由函数单调性判断大小.

解法 1:当>1 时,在(0,+∞)上是增函数,且 5.1<5.9.

所以,

当 1 时,在(0,+∞)上是减函数,且 5.1<5.9.

所以,

解法 2:转化为指数函数,再由指数函数的单调判断大小不一,

令 令则

当>1 时,在 R 上是增函数,且 5.1<5.9

所以,<,即<

当 0<<1 时,在 R 上是减函数,且 5.1>5.9

所以,<,即>

说明:先画图象,由数形结合方法解答

课堂练习:P85 练习 第2,3题

补充练习

1.已知函数的定义域为[-1,1],则函数的定义域为

2.求函数的值域.

3.已知<<0,按大小顺序排列 m, n, 0, 1

4.已知 0<<1, b>1, ab>1.

比较 loga

1 b

, log a

b, log b

1 的大小 b

归纳小结:

② 对数函数的概念必要性与重要性;

②对数函数的性质,列表展现.

对数函数(第三课时)
一.教学目标: 1.知识与技能 (1)知识与技能 (2)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解.

2.过程与方法 学生通过观察和类比函数图象,体会两种函数的单调性差异. 3. 情感、态度、价值观 (1)体会指数函数与指数; (2)进一步领悟数形结合的思想. 二.重点、难点: 重点:指数函数与对数函数内在联系 难点:反函数概念的理解 三.学法与教具: 学法:通过图象,理解对数函数与指数函数的关系. 教具:多媒体 四.教学过程: 1.复习 (1)函数的概念 (2)用列表描点法在同一个直角坐标点中画出的函数图象.` 2.讲授新知



-3 -2 -1

0

1

2



1

2

4

3



8





-3 -2 -1

0

1

2

3





1

2

4

8



图象如下:

y

0

x

探究:在指数函数中,为自变量,为因变量,如果把当成自变量,当成因变量,那么 是的函数吗?如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由.
引导学生通过观察、类比、思考与交流,得出结论. 在指数函数中,是自变量, 是的函数(),而且其在 R 上是单调递增函数. 过轴正半 轴上任意一点作轴的平行线,与的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系,,即对 于每一个,在关系式的作用之下,都有唯一的确定的值和它对应,所以,可以把作为自变

量,作为的函数,我们说 x ? log2 y是y ? 2x (x ? R)的反函数 .

从我们的列表中知道,是同一个函数图象.

3.引出反函数的概念(只让学生理解,加宽学生视野)

当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量,而把

这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数为反函数.

由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数.

如的反函数,但习惯上,通常以表示自变量,表示函数,对调中的,这样是指数函数

的反函数.

以后,我们所说的反函数是对调后的函数,如的反函数是.

同理,>1)的反函数是>0 且.

课堂练习:求下列函数的反函数

(1)

(2)

归纳小结:

1. 今天我们主要学习了什么?

2.你怎样理解反函数?

课后思考:(供学有余力的学生练习)

我们知道>0 与对数函数>0 且互为反函数,探索下列问题.

1.在同一平面直角坐标系中,画出的图象,你能发现这两个函数有什么样的对称性

吗?

2.取图象上的几个点,写出它们关于直线的对称点坐标,并判断它们

是否在的图象上吗?为什么?

3.由上述探究你能得出什么结论,此结论对于>0 成立吗?

幂函数
一.教学目标: 1.知识技能 (1)理解幂函数的概念; (2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用. 2.过程与方法 类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质. 3.情感、态度、价值观 (1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法; (2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

二.重点、难点

重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质

难点:从幂函数的图象中概括其性质

5.学法与教具

(1)学法:通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质 ;

(2)教学用具:多媒体

三.教学过程:

引入新知

阅读教材 P90 的具体实例(1)~(5),思考下列问题. (1)它们的对应法则分别是什么?

(2)以上问题中的函数有什么共同特征?

让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论

答:1、(1)乘以 1

(2)求平方

(3)求立方

(4)求算术平方根

(5)求-1 次方

2、上述的问题涉及到的函数,都是形如:,其中是自变量,是常数.

探究新知

1.幂函数的定义

一般地,形如(R)的函数称为幂孙函数,其中是自变量,是常数.

如等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.

2.研究函数的图像

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

一.提问:如何画出以上五个函数图像

引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最

后,教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.

4

2

y=x3

y=x-1

-5

0

5

10

15

-2

-4

-6
让学生通过观察图像,-8 分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引 导学生用类比研究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像,填 P91-10探究中的表格

定义域

R

R

R

奇偶性







非奇非偶



在第Ⅰ象限 单调增减性 定点

在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

在第Ⅰ象限 单调递减 (1,1)

3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:); (2)>0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看, 函数图象逐渐上升). 特别地,当>1,>1 时,∈(0,1),的图象都在图象的下方,形状向下凸越大,下 凸的程度越大(你能找出原因吗?) 当∠α <1 时,∈(0,1),的图象都在的图象上方,形状向上凸,α 越小,上凸的程 度越大(你能说出原因吗?) (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 在第一家限内,当向原点靠近时,图象在轴的右方无限逼近轴正半轴,当慢慢地变大 时,图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴. 例题: 1.证明幂函数上是增函数 证:任取<则
f ( x1 )? f ( x2 )? 1x? 2x
= = 因<0,>0 所以,即上是增函数. 思考:
我们知道,若 y ? f (x) ? 0, 若 f (x1) ? 1 得,你能否用这种作比的方法来证明上是增 f (x2 )
函数,利用这种方法需要注意些什么? 2.利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小 (1) (2) (3)
分析:利用幂函数的单调性来比较大小. 5.课堂练习

画出的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性.

6.归纳小结:提问方式

(1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的?

(2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗?

作业:P92

习题 2.3 第 2、3 题

小结与复习
一.教学目标 1.知识与技能 (1)理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. (2)能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法 通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观 (1)提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. (2)培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点 重点:指数函数与对数函数的性质。 难点:灵活运用函数性质解决有关问题。 三、学法与教具 1、学法:讲授法、讨论法。 2、教具:投影仪。 四、教学设想 1、回顾本章的知识结构

整数指数幂 有理数指数幂

指数

定义
对数 运算性质

无理数指数幂 定义
图象与性质

指数函数

对数函数

定义 图象与性质

2、指数与对数

指数式与对数式的互化

幂值

真数

= N= b

底数

指数←→对数值 提问:在对数式中,a,N,b 的取值范围是什么? 例 1:已知=,54b=3,用的值 解法 1:由=3 得=b

∴== log54 27 ? log54 3 ? a ? b ? a ? b

log54 2 ?1

2 ? log54 27 2 ? a

解法 2:由 设 所以 即:
所以 542x?ax ? 54a?b ,即2x ? ax ? a ? b
因此得: (1)法 1 是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法 2 是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但法 2 运算的技巧性较 大。

2.指数函数与对数函数
问题 1:函数 y ? ax与y ? logax 中,a与x 分别必须满足什么条件.
问题 2:在同一直角坐标系中画出函数的图象,并说明两者之间的关系.

问题 3:根据图象说出指数函数与对数函数的性质.

例 2:已知函数的图象沿轴方向向左平移 1 个单位后与的图象关于直线对称,且,则

函数的值域为

.

分析:函数关于直线对称的函数为

∴ g(19) ? log3 18 ? 2 ? log3 2 ∴ a ? log3 2, ? y ? 3ax ? (3log3 2 )x ? 2x


小结:底数相同的指数函数与对数函数关于对称,它们之间还有一个关系式子:

aloga N ? N (a ? 1, a ? 0, N ? 0)



3:已知

f

(x)

?

loga

1? 1?

x x

(a

?

0且 a

? 1)

(1)求的定义域

(2)求使的的取值范围 分析:(1)要求的定义域,

则应有 1? 1?

x x

?

0

?

?1? ??1?

x x

? ?

0或 0

?1 ??1

? ?

x x

? ?

0 0

(2)注意考虑不等号右边的 0 化为,则(2)小题变为

loga

1? 1?

x x

?

loga

1, 再分a>1和0<a<1 两种情况分别求出.

建议:通过提问由学生作答

课堂小结:

1.指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式,它们之间可以互化,这

种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法.

2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图象关于对称,它们在各自

的定义域内增减性是一致的,通过函数图象,利用数形结合,记作指数函数与对数函数的

性质.

作业:P90 A 组 3 7 P91 B 组 3 4


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