专题6:概率与统计、推理与证明、算法初步、复数(文)

专题六:概率与统计、推理与证明、算法初步、复数
【一、基础知识归类: 】
1、概率(范围) :0≤P(A) ≤1(必然事件:P(A)=1,不可能事件:P(A)=0) 2、互斥事件有一个发生的概率:A,B 互斥: P(A+B)=P(A)+P(B);A、B 对立:P(A)+ P(B)=1 3、三种常用抽样方法(等概率 抽样) . 4、频率分布直方图:组的 频率f ?

n 抽样) : (1)简单随机抽样、系统抽样(等距抽样) 、分层抽样(等比例 N n 频率 (频数和样本容量的比) ;小长方形面积=组距× =频率, (面积 N 组距

和为 1) ; 频率分布折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图;

? ? a ? bx ,过定点 P( x, y) . 5、回归直线 y
6、回归分析中回归效果的判定: ⑴ 总偏差平方和:

?(y
i ?1
?

n

i

? y) 2 ;

⑵ 残差: ei ? yi ? yi ;
n

?

⑶ 残差平方和:

? ( yi ? yi) 2 ;
i ?1

n

?

⑷ 回归平方和:

? ( yi ? y) 2 - ? ( yi ? yi) 2 ;
i ?1 i ?1

n

?

⑸ 相关指数 R ? 1 ?
2

? ( yi ? yi ) 2 ?(y
i ?1 i ?1 n

n

?


i

? yi )

2

注:①R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; ②R 越接近于 1, ,则回归效果越好. 7、独立性检验(分类变量关系) :随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱.
?纯虚数(a ? 0) 8、复数 a ? bi (a, b ? R ) ?虚数(b ? 0) ? ? ? ?实数(b ? 0) ?
2 2

2

?非纯虚数(a ? 0)



9、复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d . 10、共轭复数: a ? bi 与 a ? bi (a,b ? R ) 互为共轭复数. 11、复数 z ? a ? bi 的模: | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 .

【二、专题练习: 】

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,总分 60 分) 1.将一正方体骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次 成等差数列的概率为( .. A. )

1 9

B.

1 12

C.

1 15

D.

1 18
2x

2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子, 记骰子落地后朝上的点数分别为 x、y,则 log A.

y ? 1的概率为(



1 6

B.

5 36

C.

1 12

D.

1 2

3.某服装加工厂某月生产 A 、 B 、 C 三种产品共 4000 件,为了保证产品质量,进行抽样检验,根据分层 抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量(件)

A

B
2300 230

C

由于不小心,表格中 A 、 C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产 品的样本容量多 10 ,根据以上信息,可得 C 的产品数量是 A.80 4.复数 B. 800 ) B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i ) D.0 ) D. 第四象限 ) C.90 ( )

D.900

3?i 等于( 1? i

A. 1 ? 2i 5.复数 ( A.-i

2i 2 ) (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( 1? i
B. -1 C. 1

6.在复平面内,复数 z ? i(1 ? 2i) 对应的点位于( A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

7.从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘,积是偶数的概率是 ( A.

5 6

B.

2 3


C.

1 2

D.

1 3

8. a ? b是a ≥ b成立的( A 充分而不必要条件 C 充分必要条件 9.给出以下四个命题:

B 必要而不充分条件 D 即不充分也不必要条件

① “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ② “全等三角形的面积相等”的否命题; ③ “若 q ? ?1 ,则 x ? x ? q ? 0 有实根”的逆否命题;
2

2

④ “不等边三角形的三内角相等”的逆否命题. 其中真命题是 A.① ② B.② ③ ( C.① ③ ) ) D.③ ④

10.如图,程序框图所进行的求和运算是 (

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 2 4 6 20 1 1 1 B.1 ? ? ? ... ? 3 5 19 1 1 1 1 C. ? ? ? ... ? 2 4 6 22 1 1 1 1 D. ? 2 ? 3 ? ... ? 50 2 2 2 2
A.

1 2?
11.下面是求

1 2 ?? 1 ? 2

(共 6 个 2)的值的算法程序框图,下面的判断框中应填(



A. i ? 5

B. i ? 6

C. i ? 5 )

D. i ? 5

12.给出右面的程序框图,那么输出的数是( A.2450 B .2550 C.5050

D.4900

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.(2009 杭州学军中学第七次月考)在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P, 的距离至少有一个小于 1 的概率是 . 则使点 P 到三个顶点

14. 设复数 z1 ? 1 ? i ,z 2 ? ?2i 在复平面内对应的点分别是 z 1 , 则 z1 , z2 , z 2 两点之间的距离____________.

15.若 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ,定义由如下框图表述的运算

3

(函数 f ?1 ( x)是函数f ( x) 的反函数) ,若输入 x ? ?2 时,输出

y?

1 1 , 则输入x ? 时,输出 y= 4 8

.

16. (广雅金山佛一中 2011 年 2 月文)已知

根据这些结果,猜想出一般结论是



三、解答题(共 6 个小题,总分 74 分) 17. (广东省珠海一中 2011 年 2 月高三第二学期第一次调研文)为了解高中一年级学生身高情况,某校按 10%的比例对全校 700 名高中一年级学生按性别进行抽样检查,测得身高频数分布表如下表 1、表 2. 表 1:男生身高频数分布表
身高(cm) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190)

频数

2

5

14

13

4

2

表 2::女生身高频数分布表
身高(cm) [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180)

频数

1

7

12

6

3

1

(1)求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图; (2)估计该校学生身高在 165 : 180cm 的概率; (3) 从样本中身高在 180:190cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185 : 190cm 之间的概率.
频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
160 165 170 175 180 185 190

身高/c m

男生样本频率分布直方图

18.某初级中学有三个年级,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 初二年级 初三年级

4

女生 男生

370 380

z 370

200 300

已知在全校学生 中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从中任选 2 名学 生,求至少有 1 名女生的概率; (3) 用随机抽样的方法从初二年级女生中选出 8 人, 测量它们的左眼视力, 结果如下: 1.2, 1.5, 1.2, 1.5, 1.5, 1.3, 1.0, 1.2.把这 8 人的左眼视力看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超 过 0.1 的概率.

19. (广雅金山佛一中 2011 年 2 月文)雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出 20 名 学生作为样本,其选报文科理科的情况如下表所示.

5

男 文科 理科 2 10

女 5 3
[

(Ⅰ )若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出 3 人召开座谈会,试求 3 人中既有男生也有女生的概 率;
[来源:21 世纪教育网

(Ⅱ )用假设检验的方法分析有多大的把握认为雅山中学的高三学生选报文理科与性别有关?

n(ad ? bc)2 参考公式和数据: K ? (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d )
2

p( K 2 ? k )
k

0.15 2.07

0.10 2.71

0.05 3.84

0.025 5.02

0.010 6.64

0.005 7.88

0.001 10.83

20.(1)已知: a , b, x 均是正数,且 a ? b ,求证: 1 ? (2)当 a , b, x 均是正数,且 a ? b ,对真分数

a? x a ? ; b? x b

a ,给出类似上小题的结论,并予以证明; b
6

(3)证明:△ ABC 中 , 结论)

sin A sin B sin C ? ? ? 2 (可 直接应用第(1)、(2)小题 sin B ? sin C sin C ? sin A sin A ? sin B

(4)自己设计一道可直接应用第(1)、(2)小题结论的不等式证明题,不要求写出证明过程.

21. 【2010· 湖南师大附中第二次月考试卷】某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况,随机抽取了 500 户 居民去年的月均用电量(单位:kw/h),将所得数据整理后,画出频率分布直方图如下,其中直方图从左到右 前 3 个小矩形的面积之比为 1︰2︰3,试估计: (Ⅰ)该乡镇月均用电量在 39.5~43.5 内的居民所占百分比约是多少? (Ⅱ)该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少?(精确到 0.01) 频率 组距

0.0875 0.0375
35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5

月均用电量

22. 根据如图所示的程序框图, 将输出的 x、 y 值依次分别记为 x1 , x2 , (Ⅰ )求数列 {xn } 的通项公式 xn ;

, xn ,

, x2008 ;y1 , y2 ,

, yn ,

, y2008 ,

(Ⅱ )写出 y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{yn}的一个通项公式 yn,并证明你的结论;

7

(Ⅲ )求 zn ? x1 y1 ? x2 y2 ? L ? xn yn (n ? N * , n ? 2008).

参考答案
一、选择题 1. 【解析】选 B.一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 6 个,其中为等差数列有三类: (1)公差为 0 的有 6 个; (2)公差为 1 或-1 的有 8 个; (3)公差为 2 或-2 的有 4 个,[来源:学科网]
8
3

共有 18 个,成等差数列的概率为 2.C

18 1 ? 6 3 12
1 ,再由 A 产品的样本容量比 C 产品 的样本 10

3. 【解析】选 B.因为分层抽样是按比抽取,由 B 产品知比为 容量多 10 ,易得 C 产品的样本容量为 800. 4. 【解析】选 C. 5.C

3 ? i (3 ? i )(1 ? i ) 3 ? 2i ? i 2 4 ? 2i ? ? ? ? 2?i . 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 1? i2 2
6.A

7. 【解析】选 A.从集合{1,3,6,8}中任取两个数的结果有: (1,3) 、 (1,6) 、 (1,8) 、 (3,6) 、 (3,8) 、 (6,8) ;其中积是偶数的有: (1,6) 、 (1,8) 、 (3,6) 、 (3,8) 、 (6,8) ; ∴ 积是偶数的概率是 P ?

5 . 6

8. 【解析】选 A, a ? b ? a ? b或a=b . 9. 【解析】选 C.只有(1) (3)正确. 10. 【解析】选 A. 该程序框图的算法功能为计算

1 1 1 1 ? ? ? ... ? 的值. 2 4 6 20

11. 【解析】选 A.由算法程序框图可知,该程 序共循环 5 次. 12. 【解析】选 A.该程序框图算法功能为 2+4+6+8+ 二、填空题 13.答案: +98 的值.

3? 6

14. 【解析】依题意得 z , z( ,则 | z1 z 2 |? 12 ? 32 ? 10 . 答案: 10 ( , 1 ) , ? 2) 1 1 2 0 15. 【解析】

1 1 x ? ?2时,y ? .? a ? 2.? f ?1 ( x) ? log 2 x, ?当x ? 时,y ? ?3. 4 8

答案:-3

16. cos

π 2π cos 2n ? 1 2n ? 1

cos

nπ 1 ? n 2n ? 1 2

三、解答题 17. (1)样本中男生人数为 40 ,由分层抽样比例为 10%可得全校男生人数为 400.----2 分 频率分布直方图如右图示:--------------------------------------------------4 分 (2)由表 1、表 2 知,样本中身高在 165 : 180cm 的学生人数为: 5+14+13+6+3+1=42,样本容量为 70 ,所以样本中学生身高在
0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
160 165 170 175 180 185 190

频率 组距

42 3 165 : 180cm 的频率 f ? ? -- ----------- -------6 分 70 5
故由 f 估计该校学生身高在 165 : 180cm

身高/cm

9

男生样本频率分布直方图

的概率 p ?

3 .----------------------------8 分 5

(3)样本中身高在 180 : 185cm 之间的男生有 4 人, 设其编号为① ② ③ ④ 样本中身高在 185 : 190cm 之间的男生有 2 人, 设其编号为⑤ ⑥ 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为:
2 3 1 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5 6 4 5 6 5 6

--12 分 故从样本中身高在 180 : 190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15,求至少有 1 人身高在 185 : 190cm 之间的可能结果数为 9,因此,所求概率 p ? 18. 【解析】(1)由

9 3 ? .---------------14 分 15 5

z ? 0.19 ,解得 z ? 380 . 370 ? 380 ? z ? 370 ? 200 ? 300

(2) 设所抽样本中有 m 名女生,因为用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为 5 的样本,所以

5 m ? ,解得 m=2;也就是抽取了 2 名女生,3 名男生,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3;则从中任 200 ? 300 200
选 2 名的所 有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3),共 10 个;其中至少有 1 名女生的基本事件有 7 个: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1),

7 . 10 1 10.4 ? 1.3 , (3) 样本的平均数为 x ? (1.2 ? 1.5 ? 1.2 ? 1.5 ? 1.5 ? 1.3 ? 1.0 ? 1.2) ? 8 8
(S2 ,B2), (S2 ,B3), (S1, S2);所以任选 2 名学生,至少有 1 名女生的概率为 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.1 的数为 1.2, 1.2, 1.3, 1.2.这 4 个数,总的个数为 8,所以该数与样 本平均数之差的绝对值不超过 0.1 的概率为

4 ? 0.5 . 8

19.解: (Ⅰ )设样本中两名男生分别为 a,b,5 名女生分别为 c,d,e,f,g,则基本事件空间为; (abc)(abd) (abe) (abf) (abg) (acd) (ace) (acf) (acg) (ade) (adf) (adg) (aef) (aeg) (afg) (bcd) (bce) (bcf) (bcg) (bde) (bdf) (bfg) (cde) (cdf) (bdg) (bef) (beg) ……3 分

(cdg) (cef) (ceg) (cfg) (def) (deg) (dfg) (efg)共 35 种,

其中,既有男又有女的事件为前 25 种,……………………………………………4 分 故 P(“抽出的 3 人中既有男生也有女生”)=

25 5 = .…………………………6 分 35 7

20 ? ? 50 ? 6 ? (Ⅱ )k ? =4.43 7 ?13 ?12 ? 8
2

………………………………………………9 分 ………………………………………………10 分
10

? 3.841,

对照参考表格,结合考虑样本是采取分层抽样抽出的,可知有 95%以上的把握认为学生选报文理科与 性别有关. 20.【解析】(1) ………………………………………………12 分

a ? x ? b ? x ? 0,? 1 ?

a? x , b? x



a ? x a x(b ? a) a? x a ? ? ? 0,? 1 ? ? . b ? x b b( b ? x ) b? x b

b b? x b b b? x a ? b,? ? 1, 应用第(1)小题结论,得 1 ? ? , 取倒数,得 ? ? 1. a a? x a a a? x a b c ? ? ? 2. (3)由正弦定理,原题? △ ABC 中,求 证: b?c c?a a?b a b c , , 证明:由(2)的结论得, a, b, c ? 0, 且 均小于 1, b?c c?a a?b a 2a b 2b c 2c ? ? , ? , ? , b?c a?b?c c?a a?b?c a?b a?b?c a b c 2a 2b 2c ? ? ? ? ? ? 2. b?c c?a a?b a?b?c a?b?c a?b?c a b c d ? ? ? ? 2. (4)如得出:四边形 ABCD 中,求证: b?c?d c?d ?a a?b?d a?b?c
(2) 如得出:凸 n 边形 A1A2A3┅ An 中,边长依次为 a1 , a2 ,

, an , 求证:

a1 a2 ? a3 ?

? an

?

a2 a1 ? a3 ?

? an

?

?

an ? 2. a1 ? a2 ? ? an?1

如得出: {an } 为各项为正数的等差数列, ( d ? 0) ,求证:

a1 a2 ? ? a2 a3

?

a2 n?1 a2 a4 ? ? ? a2 n a3 a5

?

a2 n . a2 n?1

21.解: (Ⅰ)设直方图从左到右前 3 个小矩形的面积分别为 P,2P,3P. 由直方图可知,最后两个小矩形的面积之和为(0.0875+0.0375)× 2=0.25. 因为直方图中各小矩形的面积之和为 1,所以 P+2P+3P=0.75,即 P=0.125. 所以 3P+0.0875× 2=0.55. 由此估计,该乡镇居民月均用电量在 39.5~43.5 内的居民所占百分比约是 55%. (Ⅱ)显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内,且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为 0.5-P -2P=0.5-0.375=0.125,设样本数据的中位数为 39.5+x. 因为正中间一个矩形的面积为 3P=0.375,所以 x︰2=0.125︰0.375,即 x=

2 ≈0.67. 3

从而 39.5+x≈40.17, 由此估计,该乡镇居民月均用电量的中位数约是 40.17(kw/h). 22.解析: (Ⅰ )由框图,知数列 {xn } 中,x1 ? 1, xn?1 ? xn ? 2 ∴xn ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1(n ? N*, n ? 2008) ……2 分

……3 分

11

(Ⅱ )y1=2,y2=8,y3=26,y4=80. 由此,猜想 yn ? 3n ?1(n ? N*, n ? 2008). 证明:由框图,知数列{yn}中,yn+1=3yn+2 ∴ yn?1 ? 1 ? 3( yn ? 1) ∴ ……5 分

yn ?1 ? 1 ? 3, y1 ? 1 ? 3. yn ? 1

∴ 数列{yn+1}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列.……7 分 ∴ y n +1=3· 3n 1=3n


∴ y n =3n-1( n ? N *, n ? 2008 ) (Ⅲ )zn= x1 y1 ? x2 y 2 ? ? ? xn y n

……8 分

=1× (3-1)+3× (32-1)+…+(2n-1) (3n-1) =1× 3+3× 32+…+(2n-1)· 3n-[1+3+…+(2n-1)] ……9 分 记 Sn=1× 3+3× 32+…+(2n-1)· 3n,① 则 3Sn=1× 32+3× 33+…+(2n-1)× 3n+1 ② ① -② ,得-2Sn=3+2· 32+2· 33+…+2·3n-(2n-1)· 3n+1 =2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)· 3n+1 =2× ……10 分

3(1 ? 3 n ) ? 3 ? (2n ? 1)· 3 n ?1 = 3n?1 ? 6 ? (2n ? 1)· 3n?1 ? 2(1 ? n)· 3n?1 ? 6 1? 3
……12 分 ……13 分 ……14 分

∴S n ? (n ? 1)· 3n?1 ? 3. 又 1+3+…+(2n-1)=n2 ∴zn ? (n ?1) ? 3n?1 ? 3 ? n2 (n ? N*, n ? 2008) .

12


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