广东省中山市2017-2018学年高一下学期期末水平测试数学试题(含精品解析)

广东省中山市 2017-2018 学年高一下学期期末水平测试

数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知扇形的圆心角为 2 ,半径为 2 ,则这个扇形的面积是( )

A. 4

B.

【答案】A

C. 2

D. 1

【解析】分析:直接利用扇形面积公式

即可.

详解:

.

故选:A.

点睛:涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构

简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.弧长和扇形面积公式:

.

2. 已知

,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】分析:直接利用诱导公式即可.

详解:

.

故选:B.

点睛:利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—

—脱周——化锐.特别注意函数名称和符号的确定.

3. 下列各组向量中,能作为平面上一组基底的是( )

A.



B.



C.



【答案】D

D.



【解析】分析:只有两向量不共线才可以作为基底,判定各组向量是否共线即可. 详解:只有两向量不共线才可以作为基底,

A,

,共线,不能作为基底;

B,零向量不能作为基底;

C,

,共线,不能作为基底;

D, 不共线,可作为基底.

故选:D.

点睛:本题考查了向量共线的判定、基底的定义,属于基础题,熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关

键.

4. 如图所示,向量





, 、 、 在一条直线上,且

,则( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】根据向量加法的三角形法则得到

化简得到



故答案为:D。

5. 如图,在半径为 4 的大圆中有三个小半圆 , , ,其半径分别为 1,2,1,若在大圆内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】分析:求出图中阴影部分的面积,再由阴影部分的面积比上大圆的面积即可.

详解:

.



在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是

.

故选:A.

点睛:本题考查几何概型,关键是明确测度比为面积比,是基础题.

6. 执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 5,则输 出的值为( )

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

【答案】C

【解析】试题分析:第一次循环后:



第二次循环后:



第三次循环后:



第四次循环后:



第五次循环后:

,所以输出 11. 故 C 正确.

考点:算法.

【易错点晴】本题主要考查的是程序框图,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“ ”,否则很容易

出现错误.在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到

输出条件即可.

7. 在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)如图所示:

若将运动员按成绩好到差编为 1-35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间 运动员人数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B

上的

【解析】分析:对各数据分层为三个区间,然后根据系统抽样方法从中抽取 7 人,得到抽取比例为 ,然后 各层按照此比例抽取.

详解:由已知将各个数据分为三个层次是

,根据系统抽样方法从中抽

取 7 人,得到抽取比例为 ,

成绩在区间

中共有 20 名运动员,抽取人数为

人.

故选:B.

点睛:本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法,关键是正确分层,明确抽取比例.

8. 已知函数

(,,

)的部分图象如图所示,为了得到



图象,只需将 的图象( )

A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度

C. 向右平移 个单位长度 【答案】B

D. 向右平移 个单位长度

【解析】由图像可得 ,

,即 ,则 .

∴函数

将 代入,则

,即

.



∴ ,则 ∵

∴要得到 的图象,需将函数 的图象向左平移 个单位长度. 故选 B. 点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以 也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 而言. 9. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是 中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法,我们用近代术语解释为:把阳爻“-----”当作数字“1”,把阴爻“--- ---”当作数字“0”,则八卦代表的数表示如下:

以此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“ A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 【答案】B

”表示的十进制数是( )

【解析】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“ ”表示二进制数的 010001, 转化为十进制数的计算为 1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17. 故选:B.

10. 已知



是以原点 为圆心的单位圆上的两点,

( 为钝角),若





的值为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】分析:根据题意表示出

,根据向量数量积的运算求得

的值,求得 的值.

详解:由题意可得



是钝角,



依题意

,则







是以原点 为圆心的单位圆上,

,进而根据



故选:D. 点睛:本题主要考查平面向量的运算,平面向量数量积的应用,根据条件转化为向量数量积,以及利用两

角和差的余弦公式是解决本题的关键,注重了对学生基础知识的考查.

11. 过点

作直线

( , 不同时为 0)的垂线,垂足为 ,点

的取值范围是( )

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】分析:化已知直线为

,即有

PQ 为直径的圆上运动,求得圆心和半径,由圆的性质可得最值.

详解:由直线

( , 不同时为 0)

化为



,解方程可得定点 Q,可得 M 在以



,解得



直线经过定点





为直角三角形,斜边为 PQ,

M 在以 PQ 为直径的圆上运动,

可得圆心为

,半径为



则 与 M 的最大值为



N 与 M 的最小值为 ,

则 的取值范围是

.

故选:A.

点睛:本题考查直线恒过定点,以及圆的方程的应用,圆外一点与圆上的点的距离的最值求法,考查运算

能力,属于中档题.

12. 已知函数

(其中 , 为常数)的图像关于直线 对称且

上单调,则 可能取数值的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A

,在区间

【解析】分析:由题意直线 取数值的个数.

是对称轴,

, 在区间

上单调,根据三角函数的性质可求

详解:由题意函数

(其中 , 为常数)的图像关于直线 对称且



上单调,即在

上是同一单调区间.

当 时,函数 取得最大值或最小值,即

①,

,即







上是同一单调区间,

,即 , ,

, 在区

由①②解得:



经检验: 可取数值为 2,6,其个数为 2 个.

故选:A.

点睛:本题考查了三角函数图象及性质的综合运用能力和计算能力,属于中档题.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13. 设向量



,若 与 垂直,则 的值为__________.

【答案】 【解析】分析:根据题意,由向量垂直的判定方法列出方程求解即可得到答案.

详解:根据题意,向量





若 与 垂直,则



解得 .

故答案为: . 点睛:本题考查向量数量积的坐标计算公式,关键是得到关于 x 的方程. 利用向量垂直或平行的条件构造 方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 14. 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%,现部门通过设计模拟实验的方法研究三 天中恰有两天下雨的概率:先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示下雨, 其余 6 个数字表示不下雨:产生了 20 组随机数:

907

966

191

925

271

932

812

458

569

683

431

257

393

027

556

488

730

113

537

989

则这三天中恰有两天降雨的概率约为__________.
【答案】 【解析】分析:由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数,在 20 组 随机数中表示三天中恰有两天下雨的共有 5 组随机数,根据概率计算公式,得到结果. 详解:由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191、271、932、812、393,共有 5 组随机数,
,所求概率为 .
故答案为: . 点睛:本题考查模拟方法估计概率,解题主要依据是等可能事件的概率,注意列举法在本题的应用.

15. 当曲线

与直线

有两个相异的交点时,实数 的取值范围是__________.

【答案】 【解析】分析:将曲线方程化简,可得曲线表示以

为圆心、半径 的圆的上半圆,再将直线方程化

为点斜式,可得直线经过定点 且斜率为 k,作出示意图,设直线与半圆的切线为 AD,半圆的左端点为

,当直线的斜率 k 大于 AD 的斜率且小于或等于 AB 的斜率时,直线与半圆有两个相异的交点,由

此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算,可得实数 k 的取值范围.

详解:化简曲线

,得



曲线表示以 为圆心、半径 的圆的上半圆,

直线

可化为



直线经过定点 且斜率为 k,

又 半圆

与直线

有两个相异的交点,

设直线与半圆的切线为 AD,半圆的左端点为



当直线的斜率 k 大于 AD 的斜率且小于或等于 AB 的斜率时,

直线与半圆有两个相异的交点,

由点到直线的距离公式,当直线与半圆相切时满足



解得 ,即



又 直线 AB 的斜率



直线的斜率 k 的范围为

.

故答案为: .

点睛:本题给出直线与半圆有两个不同的交点,求直线的斜率 k 的取值范围,着重考查了直线的方程、圆

的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.

16. 平面四边形

中,





,则

的最小值为__________.

【答案】 【解析】分析:通过建立坐标系,设

,利用数量积的坐标运算得出数量积关于 a,b 的函数,求

出函数的最小值.

详解:设 AC 与 BD 的交点为 O,以 O 为原点,AC,BD 为坐标轴建立平面直角坐标系,



,则







时,

故答案为: .

, 取得最小值 .

点睛:本题考查平面向量数量积的运算,求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运 算;利用数量积的几何意义.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知点

,圆

.

(1)求过点 的圆的切线方程;

(2)若直线

与圆相交于 、 两点,且弦 的长为 ,求 的值.

【答案】(1) 或

;(2)

【解析】分析:(1)根据点到直线的距离等于半径进行求解即可,注意分直线斜率不存在和斜率存在两

种情况;

(2)根据直线和圆相交时的弦长公式进行求解.

详解:(1)由圆的方程得到圆心 ,半径 ,当直线斜率不存在时,方程 与圆相切,

当直线斜率存在时,设方程为

,即



由题意得:

,解得 ,

∴ 方程为

,即



则过点的切线方程为 或

.

(2)∵ 圆心到直线

的距离为





,解得:

.

点睛:本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据直线和圆相切和相交时的弦长公式是解决本题的关

键.

18. 已知 , ,

.

(1)求向量 与 向量的夹角;

(2)求 .

【答案】(1) ;(2) 【解析】分析:(1)利用数量积性质及其定义即可得出;

(2)利用数量积运算性质即可得出.

详解:(1)∵

















,由于



∴ 向量 与向量 的夹角为 .

(2)∵





.

点睛:(1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对

要引起足够

重视,它是求距离常用的公式.

(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中,灵活运用运算律,就会达到简化运

算的目的.

19. “你低碳了吗?”这是某市为倡导建设节约型社会而发布的公益广告里的一句话,活动组织者为了了

解这则广告的宣传效果,随机抽取了 120 名年龄在



,…,

的市民进行问卷调查,由此

得到的样本的频率分布直方图如图所示.

(1)根据直方图填写频率分布统计表;

(2)根据直方图,试估计受访市民年龄的中位数(保留整数);

(3)如果按分层抽样的方法,在受访市民样本年龄在

中共抽取 5 名市民,再从这 5 人中随机选 2 人

作为本次活动的获奖者,求年龄在



的受访市民恰好各有一人获奖的概率.

分组

频数

频率

18

0.15

30

0.2

6

0.05

【答案】(1)33;(2)

【解析】分析:(1)利用频率 得答案;

,频数和为 120 及频率分布直方图中频率=纵坐标 组距即可求

(2)由频率分布直方图估计样本数据的中位数,规律是:中位数,出现在概率是 0.5 的地方;

(3)样本年龄在

中的有 24 人,在

中的有 6 人,则按分层抽样的受访市民年龄在

中有

人,分别记为 , , , ,在 详解:(1)

中的有

分组

频数

18

30 42

24

6

人,记为 ,利用列举法即可得到答案.
频率 0.15 0.25 0.35 0.2 0.05

(2)受访市民年龄的中位数为:

(3)样本年龄在

中的有 24 人,在

(岁). 中的有 6 人,则按分层抽样的受访市民年龄在

中有

人,分别记为 , , , ,在

中的有

人,记为 ,

从已抽取的 5 人中任选 2 人的所有可能为 , , , , , , , ,

, ,共 10 种,记“年龄在



的受访市民恰好各有一人获奖”为事件 A,则事件 A 包

括 , , , 共 4 种,故年龄在



的受访市民恰好各有一人的概率为

. 点睛:本题主要考查频率分布直方图、中位数、分层抽样方法等基础知识,在解决频率分布直方图的问题 时,要注意直方图中的纵坐标,直方图中求频率等于纵坐标乘以组距.同时也考查了利用列举法求概率.

20. 设函数

,.

(1)求函数 的单调递减区间;

(2)将函数 的图像向右平移 个单位长度后得到函数 的图像,求函数在区间 上的取值范围.

【答案】(1)

, ;(2)

【解析】试题分析:(1)对 进行化简整理得 得出 的解析式,在根据整体法求解最小值.

,由 计算出 ;(2)先根据平移

试题解析:(1)由已知得





得:

.所

以函数的单调减区间

(2)将函数 图像向右平移 个单位长度后得到函数

.因为

,所以



所以当

时,

考点:1、三角函数

. 的图像;2、正弦函数的单调性;3、三角函数的周期性.

21. 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价,将产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数

据(

),如表所示:

试销单价 (元)

4

5

6

7

8

9

产品销量 (件)

84

83

80

75

68

已知 . (1)求的值 ; (2)已知变量 , 具有线性相关性,求产品销量 关于试销单价 的线性回归方程

,可供选择的数





.

(3)用 表示(2)中所求的线性回归方程得到的与 对应的产品销量的估计值,当销售数据 (

)对应的残差的绝对值 据中的“好数据”.

时,则将销售数据 称为一个“好数据”,试求这 6 组销售数

参考数据:线性回归方程中 , 的最小二乘法估计公式分别是

【答案】(1) ;(2)

;(3) , ,



.

【解析】试题分析:(Ⅰ)由 (Ⅱ)求出回归系数,可得线性回归方程

= ,可求出 q 的值; ;

(Ⅲ)分别求出 检验是否满足 试题解析:

,从而判断是否为“好数据”。

(1)





(2)



(3)

,所以 ,所以 ,所以 ,所以 所以

是好数据; 不是好数据 是好数据 不是好数据 是好数据

所以好数据为

所以

不是好数据

22. 定义非零向量

的“相伴函数”为

( ),向量

称为函数

的“相伴向量”(其中 为坐标原点),记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 .

(1)已知 围;

( ),求证:

,并求函数 的“相伴向量”模的取值范

(2)已知点

( )满足

,向量 的 “相伴函数” 在 处取得最大

值,当点 运动时,求 的取值范围. 【答案】(1) ;(2)

【解析】分析:(1)依题意,将

可化为



即可得证,同时利用向量模的概念可求得 围;

,利用正弦函数的性质可求得 的取值范

(2)由 率,由几何意义知 详解:(1) ∴ 的相伴向量

可求得

时 取得最大值,其中

,再利用二倍角的正切可求得 的范围.



,∴



, 为直线 OM 的斜





,∴

(2) 的相伴函数

,∴


. ,

其中 当

, ,即

, , 时 取得最大值,









为直线 的斜率,又满足













.

点睛:本题考查两角和与差的正弦函数,考查二倍角的正切与向量的模,考查综合分析与解不等式的能力, 难度大,属于难题.


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