河北省2014年高考理科数学试题(word版含答案)


河北省 2014 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项: 1. 本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,则 A ? B ?
2

A. [?2, ?1]

B. [?1, 2)

C. [?1,1]

D. [1, 2)

2、

(1 ? i )3 ? (1 ? i ) 2
A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i

3、设函数 f ( x ) 、 g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数。则下列结论中正确的是 A. f ( x ) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

4、已知 F 为双曲线 C: x2 ? my 2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A.

3

B. 3

C.

3m

D. 3m

5、4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六周日都有同学参加公益活动的概率为 A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6、如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的 始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 做直线 OA 的垂线,垂足 为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ( x ) ,则

y ? f ( x) 在 [0, ? ] 的图像大致为
-1-

7、执行右面的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3, 则输出的 M ? A.

20 3 7 2

B.

16 5 15 8

C.

D.

8、设 ? ? (0,

?

? 1 ? sin ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A. 3? ? ? ? C. 2? ? ? ?

?
2

B. 3? ? ? ? D. 2? ? ? ?

?
2

?
2

?
2

9、不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D, 有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4
p 2 : ?( x, y) ? D , x ? 2 y ? 2 p 4 : ?( x, y) ? D , x ? 2 y ? ?1
C. p1, p 4 D. p1, p 3

p1 : ?( x, y) ? D , x ? 2 y ? ?2
p 3 : ?( x, y) ? D , x ? 2 y ? 3
其中的真命题是 A. p 2, p 3 B. p1, p 2

10、已知抛物线 C: y ? 8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若
2

FP ? 4FQ , 则 | QF |?
A.

7 2

B. 3

C.

5 2
-2-

D. 2

11、已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 1,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x 0 ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. (2, ??) B. (1, ??) C. (??, ?2) D. (??, ?1)

12、如图网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体 的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 A. 6 2 C. 4 2 B. 6 D. 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22) 题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13、 ( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为_______. (用数字填写答案)

14、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为_______.

15、已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

.

a ? 2, b、 2 ?) ( s n i b 16、 已知 a 、 B、 C 的对边, 且( c 分别为 ?ABC 三个内角 A、
则 ?ABC 面积的最大值为_______.

s n i A)? ( B ) s n i? c ? b

C

,

答案: 一、选择题 1—5 ADCAD 二、填空题 13. ?20 14. A

6—10 CDCBB

11. C

12. B

15.

? 2

16.

3

-3-

三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由。 解: (Ⅰ)由题设, an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 两式相减得 an?1 (an?2 ? an ) ? ?an?1 ,而 an?1 ? 0 , ? an? 2 ? an ? ? (Ⅱ) a1a2 ? ? S1 ?1 ? ?a1 ? 1 ,而 a1 =1,解得 a2 ? ? ?1 ,又 a3 ? ? ? a1 ? ? ? 1 令 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 ? ? 4 。此时 a1 =1, a 2 ? 3 , a 3 ? 5 , an? 2 ? an ? 4

? { an }是首项为 1,公差为 2 的等差数列。 即存在 ? ? 4 ,使得{ an }为等差数列。
18. (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直 方图:

(Ⅰ) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表) ; (Ⅱ) 由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,其中 ? 近似为样本平均数
2

2

x , ? 2 近似为样本方差 s 2 .
(ⅰ)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ;
-4-

(ⅱ)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数,利用(ⅰ)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) ,则 P(? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544. 解: (Ⅰ) x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02

? 200

s2 ? (?30)2 ? 0.02 ? (?20)2 ? 0.09 ? (?10)2 ? 0.22 ? 0 ? 0.33 ?102 ? 0.24 ? 202 ? 0.08 ? 302 ? 0.02
? 150
(Ⅱ) (ⅰ) Z ~ N (200,150) ,

? ? 150 ? 12.2

P(187.8 ? Z ? 212.2) ? P(200 ? ? ? Z ? 200 ? ? ) ? 0.6826
(ⅱ) X ~ B(100,0.6826) , ? EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26

19. (本小题满分 12 分) 如图三棱柱 ABC ? A 侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . 1B 1C1 中, (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC, 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值. 解: (Ⅰ) 连接 BC1 , 交 B1C 于点 O, 连接 AO 。 侧面 BB1C1C 为菱形

? BC1 ? B1C ,O 为 BC1 、 B1C 的中点
而 AB ? B1C ,

? B1C ? 平面ABO , 而 AO ? 平面ABO ? B1C ? AO , 又 O 为 B1C 的中点 ? AC ? AB1

(Ⅱ)以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

AC ? AB1 ? AO ? OC ? OB1
-5-

?CBB1 ? 60o , ? ?CBB1 为等边三角形, A(0, 0,
C (0, ?

3 3 ) , B(1, 0, 0) , B1(0, , 0) , 3 3

3 3 3 3 3 , ? ) , A1B1 ? AB ? (1, 0, ? ) , B1C1 ? BC ? (?1, ? , 0) , 0) , AB1 ? (0, 3 3 3 3 3
? ?n ? AB1 ? 0 ? ?n ? A1B1 ? 0

设 n ? ( x, y, z ) 为平面 AA1 B1 的法向量,则 ?

? 3 3 y? z?0 ? ? 3 3 即? , 取 n ? (1, 3, 3) ?x ? 3 z ? 0 ? 3 ? ? 3 y?0 ?? x ? ? 3 即? , 取 m ? (1, ? 3, 3) 3 ?x ? z?0 ? 3 ?

? ?n ? B1C 1 ? 0 设 m ? ( x, y, z ) 为平面 A1 B1C 1 的法向量,则 ? ? ?n ? A1B1 ? 0
m?n 1 ? | m || n | 7

cos ? m, n ??

1 ? 二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值为 。 7

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的 a b 2
斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 解:

? 0 ? (?2) 2 2 3 ? ? ?kAF ? x2 ? c ? 0 c 3 ,解得 a ? 2 , (Ⅰ) ? c ? 3 ,故 b ? 1 , E 的方程为: ? y 2 ? 1 4 ?c ? 3 ? 2 ?a

-6-

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . x

(Ⅰ) 求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

-7-

请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做 的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线 交于点 E,且 CB=CE .(Ⅰ) 证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC, 证明:△ADE 为等边三角形.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ) 写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值. 解:(Ⅰ) C: ?
o

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

l : 2x ? y ? 6 ? 0

(Ⅱ)P 到直线 l 的距离为 d ?

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 6 | , 5

| PA | ?

d 2 5 22 5 2 5 ,最小值为 ? | 4cos ? ? 3sin ? ? 6 | ,从而, | PA | 的最大值为 sin 30 5 5 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 解: (Ⅰ) ab ?

1 1 2 3 3 ? ? ,得 ab ? 2 , a3 ? b3 ? 2 a3b3 ? 4 2 , a ? b 最小值为 4 2 a b ab

(Ⅱ) 2a ? 3b ? 2 6ab ? 4 3 ? 6 ,故不存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 。

-8-


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