高中数学必修4教学课件:(2.5.1平面几何中的向量方法)_图文

2.5 2.5.1 平面向量应用举例 平面几何中的向量方法 问题提出 ? 1 ? 5730 p?? ? ?2? t 1.用有向线段表示向量,使得向量可以 进行线性运算和数量积运算,并具有鲜 明的几何背景,从而沟通了平面向量与 平面几何的内在联系,在某种条件下, 平面向量与平面几何可以相互转化. 2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相 似等,是平面几何中常见的问题,而这 些问题都可以由向量的线性运算及数量 积表示出来.因此,平面几何中的某些问 题可以用向量方法来解决,但解决问题 的数学思想、方法和技能,需要我们在 实践中去探究、领会和总结. 探究(一):推断线段长度关系 思考1:如图,在平行四边形ABCD中,已 知AB=2,AD=1,BD=2,那么对角线AC的 长是否确定? D C A B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A D ?b,则向量 A C 思考2:设向量A B ?a, ? ? ? ? 等于什么?向量 DB 等于什么? ? ? ? ? ? ? ? ? A C =a+b, DB =a-b 思考3:AB=2,AD=1,BD=2,用向量语言 怎样表述? D C b |a|=2,|b|=1,|a-b|=2. A a B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 思考4:利用 | A C | ?(A C ) ,若求| A C | 需要解决什么问题? 思考5:利用|a |=2 , | b |=1 , | a - b |=2 , ? ? ? ? 如何求a· b? | A C | 等于多少? ? ? ? ? 1 a? b ? , | AC | ? 6 2 思考6:根据上述思路,你能推断平行四 边形两条对角线的长度与两条邻边的长 度之间具有什么关系吗? 平行四边形两条对角线长的平方和等于 两条邻边长的平方和的两倍. 思考7:如果不用向量方法,你能证明上 述结论吗? 探究(二):推断直线位置关系 思考1:三角形的三条高线具有什么位置 关系? 交于一点 思考2:如图,设△ABC的两条高AD与BE 相交于点P,要说明AB边上的高CF经过点 A P,你有哪些办法? E 证明PC⊥AB. B F P D C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 思考3:设向量 PA ?a, PB ? b, PC ?c, 那么PC⊥BA可转化为什么向量关系? A F a P E c· ( a - b) = 0 . B b D c C 思考4:对于PA⊥BC,PB⊥AC,用向量观 点可分别转化为什么结论? a· ( c- b ) = 0 , b · ( a- c) = 0 . 思考5:如何利用这两个结论: a· (c - b ) = 0 , b · ( a - c )= 0 推出c· ( a- b) = 0 ? 思考6:你能用其它方法证明三角形的三 条高线交于一点吗? A E F P D C B 探究(三):计算夹角的大小 思考1:如图,在等腰△ABC中,D、E分 别是两条腰AB、AC的中点,若CD⊥BE, 你认为∠A的大小是否为定值? A D E 三角形.gsp B C 思考2:设向量 用哪个向量原理求∠A的大小? A ? ? ? ? ? ? ? ? A C ?b,可以利 A B ?a, a D b E a? b cos A ? | a || b | C B 思考3:以a,b为基底,向量 何表示? ? ? ? ?1 BE ? b ? a 2 a D ? ? ? ?? ? ? ? BE , CD 如 A b E ? ? ? ?1 CD ? a ? b 2 B C 思考4:将CD⊥BE转化为向量运算可得 什么结论? a· b 2 = (a2+b2) 5 思考5:因为△ABC是等腰三角形,则 |a|=|b|,结合上述结论: a· b= 2 2+b2 ( a 5 ),cosA等于多少? A a? b 4 cos A ? ? | a || b | 5 B a D b E C 理论迁移 例1 如图,在平行四边形ABCD中,点E、 F分别是AD、DC的中点,BE、BF分别与AC 相交于点M、N,试推断AM、MN、NC的长 度具有什么关系,并证明你的结论. D E A M F N C 结论:AM=MN=NC B 三等分.gsp 例2 如图,△ABC的三条高分别为AD,BE, CF,作DG⊥BE,DH⊥CF,垂足分别为G、 H,试推断EF与GH是否平行. A E 结论:EF∥GH B F G D PH C 小结作业 1.用向量方法解决平面几何问题的基本 思路:几何问题向量化 向量运算关 系化 向量关系几何化. 2.用向量方法研究几何问题,需要用向 量的观点看问题,将几何问题化归为向 量问题来解决.它既是一种数学思想,也 是一种数学能力.其中合理设置向量,并 建立向量关系,是解决问题的关键. 作业: P113习题2.5A组:1,2. B组:3.

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