[k12精品]云南省玉溪一中2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)

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玉溪一中 2018-2019 学年上学期高二年级期末考试

文科数学

第I卷

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.若集合

,集合

,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可.

【详解】由 A 中不等式可得 ,即



所以



故选 C.

【点睛】该题考查的是有关集合的运算,属于简单题目.

2.若实数 , 满足约束条件

,则

的最小值为 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题意,画出约束条件对应的可行域,分析目标函数的类型,确定最优解,解方程组 求得最优解的坐标,代入求得最大值. 【详解】由题意画出可行域如图所示:

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可得

,画出直线 ,

上下移动的过程中,可以发现当直线

过点 A 时取得最小值,

解方程组

,得 ,

此时



故答案是 .故选 D.

【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题,涉及到的知识点有约束条件对应可行域的画法,

线性目标函数可转化为截距来解决,属于简单题目.

3.下列命题中,真命题是( )

A.

B.

C.

的充要条件是

【答案】D 【解析】 A:根据指数函数的性质可知

B:当

时,

D.

是 的充分条件

恒成立,所以 A 错误. ,所以 B 错误.

C:若

时,满足

,但

不成立,所以 C 错误.

D:



,由充分必要条件的定义,

,是

D 正确.

故选 D.

【此处有视频,请去附件查看】

的充分条件,则

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4.有线性相关关系的变量 有观测数据

,若

,则

()

A.

B.

【答案】D

【解析】

【分析】

先计算

C.

D.

,代入回归直线方程,可得

,已知它们之间的线性回归方程是 ,从而可求得结果.

【详解】因为

,所以



代入回归直线方程可求得



所以



故选 D.

【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题,涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心

点,利用相关公式求得结果,属于简单题目.

5.若数列 是递增的等比数列,

,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据数列 是等比数列,得到

,结合

的两个根,再根据 是递增数列,确定

,从而得到 是方程 ,再根据等比数列的性质,

得到

,求得结果.

【详解】因为数列 是等比数列,所以



又因为

,所以 是方程

的两个根,

因为数列 是递增数列,所以



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所以有



故选 C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等比数列的性质,熟练掌握基础 知识是正确解题的关键.

6.函数

,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用分段函数化简求解函数值即可得结果.

【详解】因为函数







故选 B. 【点睛】该题考查的是有关分段函数求函数值的问题,在解题的过程中,注意判断自变量所 属的区间,从而正确代入相关的函数解析式.

7.函数



)的图象向右平移 个单位以后,到

的图像,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数图象的平移变换法则,可求出平移后函数的解析式,进而根据诱导公式,得到 所 满足的条件,再结合 的范围,确定出最后的结果.

【详解】把函数

的图象向右平移 个单位后得到:



所以有

,即



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因为

,所以 ,

故选 B.

【点睛】该题考查的是有关三角函数图象的变换,涉及到的知识点有图象的左右平移,诱导

公式,数量掌握基础知识是正确解题的关键.

8. 是直线

上任意一点,点 在圆

上运动,则 的最小值是 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求出圆心到直线的距离与半径比较大小,得到直线与圆是相离的,根据圆上的点到直线

的距离的最小值等于圆心到直线的距离减半径,求得结果.

【详解】因为圆心 到直线

的距离为



所以直线

与圆

是相离的,

所以 的最小值等于圆心到直线的距离减去半径,





故选 D.

【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题,涉及到的知识点有直线与圆的位置关系,点到

直线的距离公式,圆上的点到直线的距离的最小值问题,属于简单题目.

9.已知函数

,若在区间 上任取一个实数 ,则使

成立的概率为

()

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】

试题分析:由



.所以所求概率为

,故选 B.

考点:几何概型.

10.若曲线 A.

在点(0, b)处的切线方程是

, 则( )

B.

C.

D.

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【答案】A 【解析】 解析:∵

,∴ , 在切线

,∴

11.已知点

到双曲线



)渐近线的距离为 ,则该双曲线的离

心率为 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据双曲线的方程写出双曲线的一条渐近线方程,化成一般式,根据题意,利用点到直

线的距离公式求得

,化简得出

,从而求得双曲线的离心率.

【详解】双曲线

的一条渐近线是 ,即



由点 到双曲线

的距离为 ,

可得

,即

,所以



所以

,所以



故选 B.

【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题,涉及到的知识点有双曲线的渐近线,点

到直线的距离公式,双曲线中 的关系,属于简单题目.

12.设 , , , 是球面上四点,已知



,球的表面积为 ,则四

面体

的体积的最大值为 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的条件,确定出

是以 为斜边的等腰直角三角形,从而求得



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外接圆的半径为 ,再根据球的表面积求得球的半径

,从而求得球心到截面的距

离,再利用三棱锥的体积公式分析得出四面体的体积取最大值时顶点的位置,从而求得结果.

【详解】根据条件

,可得



所以 是以 为斜边的等腰直角三角形,

所以 的外接圆的半径为 ,

又因为球的表面积为 ,所以有

,解得



从而能够求得球心到截面 ABC 的距离为



此时四面体

的底面

的面积为



可以确定点 D 到底面 ABC 的距离的最大值为



所以四面体的体积的最大值为



故选 A.

【点睛】该题考查的是有关球内接三棱锥的体积的最值的问题,涉及到的知识点有直角三角

形的外接圆的半径,球的表面积公式,球中的特殊直角三角形,椎体的体积公式,属于中档

题目.

第 II 卷

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.

13.已知向量





.若

,则 ________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先由 的坐标,利用向量的坐标运算可得

,接下来由向量平行的坐标运算

可得

,求解即可得结果.

【详解】因为

,所以



因为





所以

,解得 ,

即答案为 .

【点睛】该题是一道关于向量平行的题目,关键是掌握向量平行的条件.

14.【2018 年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户,且不同龄段客户对其服务的评价有较大差

异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、

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分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是________. 【答案】分层抽样. 【解析】 分析:由题可知满足分层抽样特点 详解:由于从不同龄段客户中抽取,故采用分层抽样 故答案为:分层抽样。 点睛:本题主要考查简单随机抽样,属于基础题。

15.阅读如图所示的程序框图,若





,则输出的结果是________.

【答案】 【解析】 【分析】 首先分析程序框图的作用是输出三个数中的最大值,从而比较三个数的大小,求得结果. 【详解】根据题中所给的程序框图,可以判断出其作用是输出三者中的最大出那个数,

因为

,而



所以其最大值是,

故答案是:.

【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的求解问题,属于简单题目.

16.已知函数



,则

________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据题中所给的函数解析式,求得

,从而求得

.

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【详解】因为



所以

,从而得到



故答案是: .

【点睛】该题考查的是有关利用函数解析式求函数值的问题,涉及到的知识点有对数的运算

法则,属于简单题目.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 的内角 的对边分别为 ,已知

.

(1)求 (2)若

; 的面积为 ,

,求.

【答案】(1) (2)2

【解析】 【分析】 (1)利用三角形的内角和定理可知

,再利用诱导公式化简,再利用倍角公式化

简,从而求得

,之后借助于倍角公式和同角三角函数关系式,求得 的值;

(2)由(1)可知

,利用面积公式求得

,再利用余弦定理即可求得

.

【详解】(1)由

及题设得

,故

所以

(2)由



,又

,可得

由余弦定理及





【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有诱导公式,倍角公式,同角

三角函数关系式,三角形的面积公式,余弦定理,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

18.经销商销售某种产品,在一个销售季度内,每售出 该产品获利润 元;未售出的产品,

每 亏损 元.根据以往的销售记录,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图,

如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 该产品.用 (单位:,

)表示下一

个销售季度内的市场需求量, (单位:元)表示下一个销售季度内经销该产品的利润.

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(1)将 表示为 的函数; (2)根据直方图估计利润 不少于

元的概率.

【答案】(1)

(2)0.9

【解析】

【分析】

(1)由题意先分段写出,当

时,当

时,和利润值,最后利用分段函

数的形式进行综合即可;

(2)利用(1)求出利润不少于 32000 元时

,再利用频率分布直方图求得

的频率为 ,利用样本估计总体的方法得出利润 y 不少于 32000 的概率估计值.

【详解】(1)由题意得,当

时,





故函

数为

(2)由(1)知利润不少于 元相当于



由直方图可知需求量在

之间的频率为 ,

所以下一个销售季度经销利润不少于 元的概率估计值为

【点睛】该题考查的是有关频率分布直方图的问题,涉及到的知识点有应用分段函数解决实

际问题,利用频率分布直方图估计对应事件的概率,属于简单题目.

19.已知数列 , 是该数列的前 项和,

.

(1)求数列 的通项公式;

(2)设

,已为

,证明 .

【答案】(1)

(2)详见解析

【解析】

【分析】

(1)根据数列的项与和的关系,求得 的通项公式;

(2)利用(1)求得

,利用裂项相消法求和.

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【详解】(1)易知 当 时,由 (2)由

, 时也成立,得 可得

因为

,所以

【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有利用数列的项与和的关系求通项,

利用裂项相消法求和,属于简单题目.

20.四面体

及其三视图如图所示,过棱 的中点 作平行于 、 的平面分别交四面

体的棱 、 、 于点 、 、 .

(1)求证:四边形 是矩形; (2)求点 到面 的距离.

【答案】(1)详见解析(2)

【解析】

【分析】

(1)由三视图得到四面体 ABCD 的具体形状,然后利用线面平行的性质得到四边形 EFGH 的

两组对边平行,即可得到四边形为平行四边形,再由线面垂直的判定和性质得到



结合异面直线所成角的概念得到

,从而证得结论;

(2)利用线面平行时,直线上的点到平面的距离是相等的,将点 到面 的距离转化为

点 D 到面 的距离,求解即可.

【详解】(1)证明:由

,同理可得

所以

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,同理可得

所以

所以四边形 是平行四边形

由三视图可知

,所以

所以

,所以四边形 是矩形

(2)易知 点到面 的距离即 点到面

,又 的距离,



所以 点到面 的距离即 点到线 的距离 由(1)和 是 的中点可知 、 分别是 、 的中点, 又由三视图可知 是等腰直角三角形,

易得 点到线 的距离为 ,即 点到面 的距离

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有线面平行的性质,线面垂直 的判定和性质,点到平面的距离,属于中档题目.

21.已知抛物线 C:

过点 .直线过点 且与抛物线 交于两点 ,过点 作 轴

的垂线,该垂线分别交直线

于点 ,其中 为坐标原点

(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;

(2)证明:

.

【答案】(1)方程为 ,其焦点坐标为 ,准线方程为 ;(2)详见解析.

【解析】 【分析】 (1)根据抛物线过点

,代值求出 ,即可求出抛物线 C 的方程,焦点坐标和准线方程;

(2)设过点 的直线方程为





,根据韦达定理得



,假设直线 的方程为 ,所以

,直线 的方程为

,所以



最后利用中点坐标的关系,证得结果. 【详解】(1)易得 ,所以抛物线 C 的方程为

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其焦点坐标为 ,准线方程为 (2)由题意,假设直线的方程为





所以



可得



假设直线 的方程为 ,所以



直线 的方程为

,所以



故 是线段 的中点,所以

.

【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题,涉及到的知识点有抛物线的标准方程的求法,抛

物线的几何性质,直线与抛物线的关系,属于较难题目.

22.已知函数

为自然对数的底数.

(1)求函数 的极值;

(2)设函数

,若存在实数

,使得

成立,求实数

的取值范围.

【答案】(1)极大值为 1,无极小值(2)

【解析】 【分析】

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(1)先求出

,得知当所以当 x<0 时,f′(x)>0;当 x>0 时,f′(x)<0,从而求得

函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,从而求得函数的极值;

(2)假设存在实数

,使得

成立,则



,分别讨论①当 时,②当 时,③当



的情况,从而求得的范围.

【详解】(1)函数的定义域: ,



所以当 x<0 时,f′(x)>0;当 x>0 时,f′(x)<0,

故 f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减

所以

,无极小值.

(2)若存在实数

,使得

成立,则



可得

①当 时, ≤0, 在[0,1]上单调递减,



,即



②当 时, >0, 在[0,1]上单调递增,



,即



③当

时,

时,

, 单调递减;

时,

, 单调递增,

,由于

,故

,由(1)知

,所以



不可能成立;

综上所述,实数的取值范围是



【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有导数的运算,应用 导数研究函数的极值,应用导数研究函数的单调性和最值,以及分类讨论思想,属于较难题 目.

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