2011—2012学年江苏省无锡市第一中学高一下期中数学(艺术)试卷(带解析)

2011—2012 学年江苏省无锡市第一中学高一下期中数学(艺术)试卷 (带解析) 一、填空题 1.不等式 【答案】 【解析】 根据代数式 ,取根的两边得: 的解集为_________________________. 2.等比数列 【答案】 中,若 , ,则 的值为 . 【解析】等比数列 中, , = ,若 , 那么角 A 3.设 的三个内角 、 、 所对边的长分别是 , , 且 的大小为 . 【答案】 【解析】根据正弦定理: A 最大,为 4.已知等差数列 【答案】 【解析】等差数列 = 。 中, 满足 则数列 又 ,大边对大角,所以 通项公式为 . 5.若存在实数 x,使得 【答案】 【解析】 ,则实数 a 的取值范围是______________. 存在实数 x 使之成立,所以 6.已知数列 【答案】 64 【解析】 , =64 ,则 的最大值是_____________. 的前 项和为 ,若 ,则 . 7.如果实数 x,y 满足约束条件 【答案】 7 【解析】 约束条件 表示的区域是 ,令 其中 z 可看成直线在 y 轴上的截距,当直线过点 A 时,z 最大为 3+4=7 8. 在等比数列 【答案】8 【解析】等比数列 9.记等差数列 __________. 【答案】 7 的前 n 项和为 若 , 中 若 ,且公差 ,则当 取最大值时, 中, ,且 ,则 的最小值为______. 的前 n 项和为 【解析】等差数列 ,所以从第八项起为负数,所以当 10.若 【答案】 9 【解析】 取最大值时, . 7 最小值为 =9 当且仅当 时取等。 11.已知 的一个内角为 ____________. 【答案】 ,且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 的面积 为 【解析】设三角形三边分别是 b-4,b,b+4,据余弦定理得: ,三边分别是 6,10,14, 。 12.如图,某观测站 C 在城 A 的南偏西 的方向,从城 A 出发有一条走向为南偏东 的公路, 在 C 处观测到距离 C 处 km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去,行驶了 6km 后到达 D 处,测得 C,D 两处的距离为 2km,这时此车距离 A 城 _______km. 【答案】4 【解析】 据余弦定理: 13.已知函数 是 【答案】 【解析】当 x , . ,若 ,(其中 ),则实数 的取值范围 即是函数 ,在 x 时为增函数, 14.把数列 依次按第一个括号一个数,第二个括号两 个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,……按此规律下去, 即( ),( , ),( , , . ),( , , , ), 则第 6 个括号内各数字之和为 【答案】 【解析】根据题意:第 6 个括号前有 5 个括号,共 1+2+3+4+5=15 个数,所以第 6 个括号第 一个数是 , = 二、解答题 1.(本题 14 分)在 中,角 、 、 的对边分别是 , , ,已知 ,求 . . . (1)求角 的值;(2)若 【答案】(1) 【解析】 ;(2) 可以化为边或角,本题化为边是: 若 ,求 时用余弦定理即可。 ,可知 , , 比较简单;(2) 解:(1)由 (2) 2.(本题 14 分)已知 a,b 实数,设函数 (1)若关于 x 的不等式 (2)设 b 为已知的常数,且 【答案】(1) ; 的解集为 . . ,求实数 的值; ,求满足条件的 a 的范围. (2)当 时, 无解;当 时, ;当 时, . 的两根; 【解析】根据解二次不等式的口诀小于 0 取根中间,得 ,解关于 a 的不等式。 解:(1)由题可知 的解集为 , 则 的两根,由韦达定理可知 解得 (2)当 时, 无解;当 时, 满足 ;当 时, , . 的前 n 项和为 ,求 的通项 3.(本题 14 分)已知等差数列 公式及 ;(2)若 ,求数列 的前 n 项和 . 【答案】(1) 【解析】 条件 项公式及 ; 解:(1)设等差数列 所以 所以 (2) 因为 因此 故 . 所以 , . (2) 。 中有 3 个变量,根据通项公式,转化为 ,裂项求和。 的首项为 ,公差为 ,由于 ,解得 , 两个变量,从而得出 的通 , , 所以,数列 的前 n 项和为 。 在点 O 处交汇,且它们的夹角为 .已 上分别选择 两处作为交汇点(异于 . 4. (本题 16 分)如图,在 城周边已有两条公路 知 , 与公路 夹角为 .现规划在公路 点 O)直接修建一条公路通过 城.设 , (1) 求出 关于 的函数关系式并指出它的定义域; (2) 试确定点 A,B 的位置,使△ 的面积最小. 【答案】解:(1) (2)当 OA=4 【解析】 面积相等法,建立 ,OB= , . 的面积最小. 时,使△ 的关系式, ,根据 得 ; ,分子分母的 x 的次数不等,要转化为 x 的次数相等,然后用均值定理。 解:(1) 整理得 , , 过 C 作 OB 平行线与 OA 交于 D, 故 (2) .定义域为 . , 当且仅当 所以当 时, 有最小值为 . 即 时取等. 答:当 OA=4 ,OB= 时,使△ 的面积最小. 5.(本题 16 分) 已知公差不为 0 的等差数列{ (1)求数列{ }的前 4 项的和为 20,且 成等比数列; }通项公式;(2)设 ,求数列{ }的前 n 项的和 ; 使得 成立?若存在,求出所有解;若 (3)在第(2)问的基础上,是否存在 不存在,请说明理由. 【答案】(1) 【解析】 根据条件等差数列{ }的前 4 项的和为 20,且 ,解得; .(2) ;(3)无解. 成等比数列,转化为关于 的方程 是差比数列,求和用错位相减法,注意次数的对齐;

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