贵阳市2016届高三数学第四次月考试题理科附答案

贵阳市 2016 届高三数学第四次月考试题 (理科附答案)

贵阳第一中学 2016 届高考适应性月考卷(四) 理科数学试卷 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合,,则() A.(1,4)B.(2,4)C.(1,2)D. 2.设偶函数 f(x)对任意,都有,且当时,,则() A.10B.C.-10D. 3.已知函数,若将其图象向右平移个单位后所得的图象 关于原点对称,则的最小值为() A.B.C.D. 4.已知函数的图象如图所示,则函数的单调减区间为() A.B.C.D. 5.若实数 x,y 满足不等式组(k 为常数),且的最大值 为 12,则实数 k=() A.0B.-4C.-9D.任意实数 6.已知点 G 是△ABC 的重心,若,,则的最小值是()

A.B.C.D. 7.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为,则展开 式中常数项是() A.-10B.10C.-45D.45 8.若按如图所示的算法流程图运行后,输出的结果是, 则输入的 N 的值可以等于() A.4B.5C.6D.7 9.已知数列,满足,且,是函数的两个零点,则等于() A.24B.32C.48D.64 11.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分 的概率为 b,不得分的概率为 c,,已知他投篮一次得分 的期望值是 2,则的最小值为() A.B.C.D. 12.已知定义在 R 上的可导函数 y=f(x)的导函数为,满足, 且为偶函数,,则不等式的解集为() A.B.C.D. 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸 上) 13.已知函数若方程有且仅有两个不等的实根,则实数 m 的取值范围是_______. 14.已知 F 是椭圆的左焦点,P 是椭圆上的一点,PF⊥x

轴,OP∥AB(O 为原点,A 为右顶点,B 为上顶点),则 该椭圆的离心率是______. 15.如图,它满足①第 n 行首尾两数均为 n,②表中的递 推关系类似杨辉三角,则第 n 行的第 2 个数是___对一定 义域为 D 的函数和常数 c,若对任意正实数,使得恒成立, 则称函数为“敛 c 函数”,现给出如下函数: ①;②;③;④. 其中为“敛 1 函数”的有________(写序号). 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列的前 n 项和为,,且,数列满足,,对任意, 都有. (Ⅰ)求数列,的通项公式; (Ⅱ) 令,若对任意的,不等式恒成立,试求实数的取值 范围. 18.(本小题满分 12 分) 某学校高一年级在上学期依次举行了“法律、环保、交 通”三次知识竞赛活动,要求每位同学至少参加一次活 动,高一 (1) 班学生 50 名学生在上学期参加该项活动的 次数统计如图所示. (Ⅰ) 从该班中任意选两名学生,求他们参加活动的次数

不相等的概率; (Ⅱ) 从该班中任意选两名学生,用表示这两人参加活动 次数之差对的绝对值,求随机变 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 上的点. (Ⅰ)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ) 若 E 是 PB 的中点,且二面角 P-AC-E 的余弦值为, 求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的标准方程为,M 为抛物线 C 上一动点,为 其对称轴上一点,直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N. 当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时, △MON 的面积为. (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)记,若 t 值与 M 点位置无关,则称此时的点 A 为 “稳定点”,试求出所有“稳定点”,若没有,请说明 理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数,,其中 e 是自然对数的底数. (Ⅰ),使得不等式成立,试求实数 m 的取值范围;

(Ⅱ)若 x-1,求证:. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E, DE=1. (Ⅰ)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长. 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 极轴,建立极坐标系.已知曲线 (t 为参数) , (为参数) . (Ⅰ) 化,的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么 曲线; (Ⅱ)若上的点 P 对应的参数方程为,Q 为上的动点,求 PQ 中点 M 到直线的距离的最小值. 24.(本小题满分 10 分)【选修 4-5:不等式选讲】 设对于任意实数 x,不等式恒成立. (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m 取最大值时,解关于 x 的不等式:. 贵阳第一中学 2016 届高考适应性月考卷(四) 理科数学参考答案

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 123456789101112 答案 BBCBCCDBDCDD 【解析】 1.根据题意,可求得,所以,故选 B. 2.因为,故有,函数是以 6 为周期的函数,,故选 B. 3.由题意,将其图象向右平移个单位后解析式为,则, 即,所以的最小值为,故选 C. 4.根据题意有,所以,从而有其单调减区间为,故选 B. 5.根据已知的不等式组作图,如图 1 所示,当 直线平移至时 z 最大为 12,将 x=3, y=3 代入直线 2x+y+k=0 得:6+3+k=0,,故选 C. 6.在△ABC 中,延长 AG 交 BC 于 D,∵点 G 是△ABC 的重 心,∴AD 是 BC 边上的中线,且.∵,∴.∵,,∴,∴ ,∴的最小值是,故选 C. 7.因为展开式的通项公式为,所以 ,令,所以常数项为,故选 D. 8.,故选 B. 9.依题意有 anan+1=2n,所以 an+1an+22n+1,两式 相除得,所以 a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4, a6,…成等比数列,而 a1=1,a2=2,所以 a10=2×24=32,

a11=1×25=32.又因为 an+an+1=bn,所以 b10=a10+a11=64,故选 D. 10.由三视图知该几何体为棱锥,如图 2,其中 平面 ABCD.四面体的四个面中面 SBD 的面积最 大,三角形 SBD 是边长为的等边三角形,所以此四 面体的四个面中面积最大的为,故选 C. 11.故选 D. 12.首先构造函数,研究的单调性,结合原函数的性质 和函数值,即可求解.∵为偶函数,∴的图象关于 x=0 对称,∴的图象关于 x=1 对称,∴,又∵,∴.设 (x∈R),则又∵,∴,∴,∴单调递减,∵,∴,即, 又∵,∴,∴x>0,故选 D. 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 13141516 答案 ②③④ 【解析】 13.方程错误!未找到引用源。有且仅有两个不等的实 根等价于函数 的图象与函数的图象有两个交点,如图 3.易知函数过 定点且函数图象过点,,.当直线与曲线相切时,即在

直线 PC 位置时,.显然当直线在 x 轴(含 x 轴)与直线 PA 之间时有两个交点,即;当直线位于 PB (含 PB) 与 PC 之间时有两个交点,即. 综上知,. 14.把 xc 代入椭圆方程求得 y=±,∴|PF|=,∵OP∥AB, PF∥OB,∴△PFO∽△ABO,∴,求得 b=c,∴e=. 15.设第 n(n≥2)行的第 2 个数构成数列,则有 ,相加得,因此可知第 n 行第 2 个数是. 16.由新定义知,对任意正实数,使得恒成立,即恒有 解.对于函数①解得,,且,因为为任意正实数,所以 无解,故函数①不是“敛 1 函数”;对于函数②解得, 且,故函数②是“敛 1 函数”;对于函数③解得,,且, 故函数③是“敛 1 函数”;对于函数④解得,,故函数 ④是“敛 1 函数”.因此正确答案为②③④. 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵,∴(), 两式相减得,, ∴,即(), 又因为,,从而, ∴(),

时也符合, 故数列的通项公式().………………………………(4 分) 在数列中,由, 知数列是等比数列,首项、公比均为, ∴数列的通项公式.………………………………(6 分) (Ⅱ),① ∴,② 由①②,得, ∴,………………………………(8 分) 不等式, 即为, 即()恒成立.………………………………(10 分) 方法一: 设(), 当时,恒成立,则不满足条件; 当时,由二次函数性质知不恒成立; 当时,恒成立,则满足条件. 综上所述,实数 λ 的取值范围 是.………………………………(12 分) 方法二: 也即()恒成立, 令,

则, 由,单调递增且大于 0, ∴单调递增, ∴, ∴实数 λ 的取值范围是.……………………………… (12 分) 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 从该班任取两名学生,他们参加活动的次数恰 好相等的概率: , 故.…………………………………………(4 分) (Ⅱ) 从该班中任选两名学生,用表示这两名学生参加活 动次数之差的绝对值, 则的可能取值分别为:0,1, 2,………………………………………(5 分) P(=0)=, P(=1)= P(=2)=,……………………………………(7 分) 从而的分布列为: 012 P E+1+2=.…………………………………(8 分)

(Ⅲ) 因为函数在区间(3,5)上有且只有一个零点,且, 在区间(3,5)上为增函 数,……………………………………(9 分) 即, ,……………………………………………………(10 分) 又由于的取值分别为:2,3,4,5,6, 故,………………………………………(11 分) 故所求的概率为:.………………………(12 分) 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:平面 ABCD,平面 ABCD, ,……………………………………………(2 分) 又, 平面,……………………………………………(4 分) ∵平面 EAC, 平面平 面.………………………………………………………… …(6 分) (Ⅱ) 解:以为原点,建立空间直角坐标系如图 4 所示, 则,设, 则 ,取, 则,

为平面的法向量. 设为平面的法向量, 则,即 取, 则,………………………………………(8 分) 依题意,, 则……………………………………………(9 分) 于是………………………(10 分) 设直线与平面所成角为, 则, 即直线与平面所成角的正弦值 为.…………………………(12 分) 20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意,, , 抛物线 C 的标准方程 为.……………………………………………(4 分) (Ⅱ)设,设直线 MN 的方程为, 联立 得,, , ,……………………………………………(6 分)

由对称性,不妨设, (ⅰ)时,, 同号, 又, , 不论 a 取何值,t 均与 m 有关, 即时,A 不是“稳定 点”;……………………………………………(9 分) (ⅱ)时,, 异号, 又, , 仅当,即时,t 与 m 无关, 此时 A 即抛物线 C 的焦点,即抛物线 C 的对称轴上仅有焦 点这一个“稳定点”. ………………………………………………(12 分) 21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:由题意,,使得不等式成立, 等价于.………………………………(1 分) , 又当时,,, 所以在上单调递减,

所以, 故在区间上单调递减, 因此,时,,……………………………………………(5 分) 所以,则, 实数的取值范围是.………………………………(6 分) (Ⅱ)证明:当时,要证,只要证, 即证, 由于, 只要证. 下面证明时,不等式成立. 令,则, 当时,,单调递减; 当时,,单调递增. 所以当且仅当时,取最小值为 1.……………………………(8 分) 方法一: 令,则, 即,即, 由三角函数的有界性,, 即,所以,……………………………………………… (10 分)

而, 但当时,; 时,.………………………………(11 分) 所以,, 即, 综上所述,当时,成立.……………………………… (12 分) 方法二: 令,可将其看作点与点连线的斜率, 所以直线的方程为:, 由于点在圆上, 所以直线与圆相交或相切, 当直线与圆相切且切点在第二象限时, 直线取得斜率的最大值为 1.………………………………(10 分) 而当时,; 时,.………………………………………………(11 分) 所以,,即. 综上所述,当时,成立.……………………………… (12 分) 方法三: 令,则,

当时,取得最大值 1, 而,………………………………………………………… (10 分) 但当时,; 时,.……………………………………………………… (11 分) 所以,,即. 综上所述,当时,成立.…………………………(12 分) 22.(本小题满分 10 分)【选修 4−1:几何证明 选讲】 (Ⅰ)证明:如图 5,连接 OC,因为 OA=OC, 所以∠OAC=∠OCA,……………………………(2 分) 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC⊥CD, 又因为 AD⊥CD,所以 OC∥AD, 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以 AC 平分 ∠BAD.……………………………………………………… …(4 分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, ∴BC=CE,……………………………………(6 分) 如图 5,连接 CE,因为 ABCE 四点共圆,∠B=∠CED, 所以

cos∠B=cos∠CED,……………………………………(8 分) 所以, 所以 BC=2.……………………………………(10 分) 23.(本小题满分 10 分)【选修 4−4:坐标系与 参数方程】 解:(Ⅰ).………………………………(3 分) 为圆心是,半径是 1 的圆. 为中心是坐标原点,焦点在轴上,长半轴长是 8,短半 轴长是 3 的椭圆. ……………………………………………………………… (5 分) (Ⅱ)当时,, 故, 为直线,M 到的距离 ……………………………………………………………… (8 分) 显然,取得最小 值.…………………………………………………(10 分) 24.(本小题满分 10 分)【选修 4−5:不等式选 讲】 解:(Ⅰ)设,

则有………………………………………………………(1 分) 当时,有最小值 8;………………………………(2 分) 当时,恒等于 8;………………………………(3 分) 当时,有最小值 8.………………………………(4 分) 综上,有最小值 8,………………………………(5 分) 所以.………………………………(6 分) (Ⅱ)当 m 取最大值时 原不等式等价于:,………………………………(7 分) 等价于:或………………………………(8 分) 等价于: 或,………………………………………………………(9 分) 所以原不等式的解集为.……………………………… (10 分)


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