高中数学2.2直线的方程2.2.2直线方程的几种形式课堂探究新人教B版必修2-含答案

2.2.2 直线方程的几种形式 课堂探究 探究一 直线方程的点斜式 利用点斜式求直线方程的步骤如下: ①确定直线要经过的定点(x0,y0). ②明确直线的斜率 k. ③由点斜式直接写出直线方程. 注意:点斜式使用的前提条件是斜率存在;当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其 方程为 x=x0. 【典型例题 1】 求满足下列条件的直线的方程: (1)过点 P(-4,3),斜率 k=-2; (2)过点 P(2,-5),且与 x 轴平行; (3)过点 P(3,-1),且与 y 轴平行. 思路分析:利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答. 解:(1)直线过点 P(-4,3),斜率 k=-2,由点斜式得 y-3=-2(x+4),整理得所求 方程为 2x+y+5=0. (2)直线过点 P(2,-5),且与 x 轴平行,则斜率 k=0, 故所求直线方程为 y+5=0(x-2),即 y=-5. (3)直线与 y 轴平行,说明斜率不存在, 又因为直线过点 P(3,-1), 所以直线的方程为 x=3. 探究二 直线方程的斜截式 (1)由直线斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式中若点 P(x0,y0)为直线 l 与 y 轴 的交点,得到的直线方程即为斜截式,因此斜截式为点斜式的特殊情况. (2)直线与 x 轴垂直时,斜率不存在,不能用直线方程的斜截式表示.因此,斜截式方 程不能表示与 x 轴垂直的直线. (3)斜截式方程 y=kx+b 的特点:左端 y 的系数恒为 1,右端 x 的系数 k 和常数项 b 均 有明显的几何意义,k 是直线的斜率,b 是直线在 y 轴上的截距,截距实质上为直线与 y 轴 交点的纵坐标,直线与 y 轴的交点与原点的距离为|b|. 【典型例题 2】 (1)写出直线斜率为-1,在 y 轴上截距为-2 的直线的斜截式方程; (2)求过点 A(6,-4),斜率为- 4 的直线的斜截式方程; 3 (3)已知直线 l 的方程为 2x+y-1=0,求直线的斜率、在 y 轴上的截距以及与 y 轴交 1 点的坐标. 解:(1)易知 k=-1,b=-2,故直线的斜截式方程为 y=-x-2. (2)由于直线的斜率 k=- 4 ,且过点 A(6,-4),根据直线的点斜式方程得直线方程 3 为 y+4=- 4 4 (x-6),化成斜截式为 y=- x+4. 3 3 (3)直线方程 2x+y-1=0 可化为 y=-2x+1,由直线的斜截式方程知:直线的斜率 k =-2,在 y 轴上的截距 b=1,直线与 y 轴交点的坐标为(0,1). 探究三 直线方程的两点式 (1)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为 0(y1=y2)时,不能用两点式求出它的方程,若 x1=x2,y1≠y2,则直线方程为 x-x1=0;若 y1=y2,x1≠x2,则直线方程为 y-y1=0. (2)直线方程的两点式不能表示与坐标轴垂直的两类直线.若变形为(x2-x1)(y-y1)= (y2-y1)(x-x1),此时可表示过任意两点的直线的方程. 【典型例题 3】 (1)求过两点(2,-5)和(-2,3)的直线的两点式方程; (2)求过两点 A(0,0),B(1,1)的直线方程. 解:(1)由直线的两点式方程得所求直线的方程为 x?2 y?5 x?2 y ? (?5) = ,即 = . 8 ?4 3 ? ( ?5) ?2 ? 2 (2)由直线的两点式方程得直线 AB 的方程为 探究四 直线方程的截距式 对直线的截距式方程应注意以下几点: ①在方程 y?0 x?0 = ,即 y=x,也就是 x-y=0. 1? 0 1? 0 x y + =1 中,要求 a≠0,b≠0,即两个截距都不为 0,因此它不能表示过 a b 坐标原点或平行于 x 轴、y 轴的直线. ②当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时, 若选用截距式来求解, 注意截距都为 0, 即直线过原点这种情况. 【典型例题 4】 在 x,y 轴上的截距分别是-3,4 的直线方程是( A.4x+3y-12=0 B.4x-3y+12=0 ) C.4x+3y-1=0 D.4x-3y+1=0 解析:根据直线方程的截距式写出直线方程 选 B. 答案:B 探究五 直线方程的一般式 x y + =1,化简得 4x-3y+12=0,故 ?3 4 (1)直线的一般式方程与其他四种形式的转化: 2 (2)当直线方程 Ax+By+C=0 的系数 A,B,C 满足下列条件时,直线 Ax+By+C=0 有 如下性质: ①当 A≠0,B≠0 时,直线与两条坐标轴都相交; ②当 A≠0,B=0,C≠0 时,直线只与 x 轴相交,即直线与 y 轴平行,与 x 轴垂直; ③当 A=0,B≠0,C≠0 时,直线只与 y 轴相交,即直线与 x 轴平行,与 y 轴垂直; ④当 A=0,B≠0,C=0 时,直线与 x 轴重合; ⑤当 A≠0,B=0,C=0 时,直线与 y 轴重合. 【典型例题 5】 设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 思路分析: (1)从截距的定义入手, 因方程中含有变量 a, 故需要对截距进行分类讨论. (2) 中涉及图象过象限问题,可将方程转化为斜截式,从斜率和截距两方面进行综合考虑. 解:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零,当然相等. 所以 a=2,直线 l 的方程即 3x+y=0. 当 a≠2 时,截距存在且均不为 0, 所以 a?2 =a-2,即 a+1=1, a ?1 所以 a=0,直线 l 的方程为 x+y+2=0. (2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, 则? ??(a ? 1) ? 0, ??(a ? 1) ? 0, 或? 所以 a≤-1. ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0

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