山东省临沂市2013届高三二模文科数学试题


2013 年高考模拟试题

文科数学
2013.5 本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和 科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷

(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 z ? 1 ? i (i 是虚数单位) ,则 (A) 1 ? i (B) ? 1 ? i
2 z ? z 等于
2

(C) ? i

(D) ? 1 ? i

∣ 2.已知集合 A ? ? y y≥ 0 ? , A ? B = B, 则集合 B 可能是
∣ (A) ? y y = ? x , x≥ 0

?

?1? ∣ (B) ? y y = ? ? , x ? R ? ?2?

x

∣ (C) ? y y = ln x, x> 0 ?

(D)R

( + 3.下列函数中既是偶函数,又在区间 0, ? )上单调递增的函数是

(A) y ? x

3

(B) y ? | x | ? 1 (C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

x

4.某班共有 52 人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已 知 3 号、29 号、42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是 (A)10 (B)11
π 2

(C)12

(D)16

5.将函数 y ? sin x 的图象向右平移 对应的解析式为 (A) y ? 1 ? sin x
x

个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,则所得的图象

(B) y ? 1 ? sin x (B) ? 0,1 ?

(C) y ? 1 ? co s x (C) ? 1, e ?

(D) y ? 1 ? co s x (D) ? 0 , 2 ?

6.曲线 y ? e 在点 A 处的切线与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行,则点 A 的坐标为 (A) ? ? 1, e
?1

?

-1-

7.阅读如图所示的程序框图,若输入变量 n 为 100,则输出变量 S 为 (A)2500 (B)2550 (C)2600 (D)2650 8.给出如下四个命题: ①若“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a> b ,则 2 a > 2 b ? 1 ”的否命题为“若 a ≤ b ,则 2 a ≤ 2 b
2

? 1 ”;

③命题“任意 x ? R , x ? 1≥ 0 ”的否定是“存在 x 0 ? R , x 0 ? 1< 0 ”;
2

④在△ABC 中,“ A> B ”是“ sin A> sin B ”的充要条件. 其中不正确命题的个数是 ... (A)4 (B)3 (C)2
? 2 x ? y ? 4 ≤ 0, ? x ? y ≥ 0,

第 7 题图

(D)1

9.设第一象限内的点( x , y )满足 ?
1 a 1 b

若目标函数 z ? a x ? b y ( a> 0, b> 0 ) 的最

大值是 4,则 (A)3

?

的最小值为 (B)4 (C)8 (D)9

∣ ∣ 10.函数 y ? ln sin x ( ?π < x< π , 且 x ? 0 ) 的图象大致是

(A) (B) (C) (D) 11.多面体 MN-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,其正(主)视图和侧 (左) 视图如图,其中正(主) 视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则 AM 的长 M N 2 2 4
正(主)视图

D A (A) 3 12.已知 f ( x ) ? x ?
3

C B (B) 5
9 2
2

侧(左)视图

2

(C) 6

(D) 2 2

x ? 6 x ? a b c , a < b< c , 且 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? 0 ,现给出如下

0 0 0 结论:① f (0 ) f (1)> 0 ;② f (0) f(1) < ;③ f (0) f(2) > ;④ f (0) f(2) < .其中正确

结论的序号为: (A)①③ (B)①④ (C)②④ (D)②③

-2-

2013 年高考模拟试题

文科数学
2013.5

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上. 2 2 2 13.若△ABC 的边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 4, C=60°,则 a b 的值为 且 . 2 2 14.已知圆 C: x ? y ? 1 8 ,直线 l: 4 x ? 3 y ? 2 5, 则圆 C 上任一点到直线 l 的距离小 于 2 的概率为 . 15.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费 y (万元)有如下的统计资料: 2 3 4 5 6 使用年限 x 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
? ? ? 由资料可知 y 和 x 呈线性相关关系,由表中数据算出线性回归方程 y ? b x ? a 中的 ? ? 1 .2 3 , 据此估计,使用年限为 10 年时的维修费用是 b 万元.

16.已知双曲线 离为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a> 0 , b> 0 ) 的左顶点与抛物线 y ? 2 p x ( p> 0 ) 的焦点的距
2

4 , 且 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 与 抛 物 线 准 线 的 交 点 坐 标 为 ( ? 2 , ? 1) 则 双 曲 线 的 焦 距 , 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 x ? R , ? > 0, u ? (1 , s i n? x ? ( 小正周期为π . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ 0 , ] 上的值域.
2 π
? 2 )v , ? ) ( c o? x s
2

,

3 s i n 函数 f ( x ) ? u ? v ? ?x ),

1 2

的最

18. (本小题满分 12 分) 已知点(1,2)是函数 f ( x ) ? a ( a> 0 且 a ? 1) 的图象上一点,数列 ? a n ? 的前 n 项和
x

S n ? f ( n) ? 1 .

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ? a n ? 前 2013 项中的第 3 项,第 6 项,…,第 3k 项删去,求数列 ? a n ? 前 2013 项中剩余项的和. 19. (本小题满分 12 分) 如图,AD ? 平面 ABC,AD∥CE,AC=AD=AB=1,∠BAC=90°,凸 多面体 ABCED 的体积为
1 2
E D

,F 为 BC 的中点.
A B

(Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCE.

F 第 19 题图

C

-3-

20. (本小题满分 12 分) 某高校组织的自主招生考试,共有 1000 名同学参加笔 频率/组距 试,成绩均介于 60 分到 100 分之间,从中随机抽取 50 名 同学的成绩进行统计, 将统计结果按如下方式分为 4 组: 第 0.036 1 组[60,70) 第 2 组[70,80) 第 3 组[80,90) 第 4 组[90,100]. 0.03 , , , 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图, 且笔试成绩 0.014 在 85 分(含 85 分)以上的同学有面试资格. (Ⅰ) 估计所有参加笔试的 1000 名同学中, 有面试资格 o 6 70 8 90 100 的人数; 0 0 第 20 题图 (Ⅱ)已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格,且甲 的笔试比乙的高; 面试时, 要求每人回答两个问题, 假设甲、 乙两人对每一个问题答对的概率均为 率. 若甲答对题的个数不少于乙, 则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概

得分



1 2

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ln x ? a x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) a ? 若 的值.
1 2 ,g (x ) ?x ( f (x ) 1? ) ,( x1 ) >

, g ( x ) 在区间 ( k , k ? 1) 内存在极值, 且 求整数 k

22. (本小题满分 14 分) 如图, 已知椭圆 C: F2,离心率为
3 2

y
y b
2 2

x a

2 2

?

? 1( a> b> 0的左、 ) 右焦点分别为 F1、
Q M

A

N

l

,点 A 是椭圆上任一点,△AF1F2 的周长为 4 + 2 3 .

F1 O

F2

x

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
( (Ⅱ)过点 Q - 4 , 0 ) 任作一动直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,记 第 22 题图 ???? ???? ???? ? ???? M Q ? ? Q N ,若在线段 MN 上取一点 R,使得 M R ? ? ? R N ,则当直线 l 转动时,点 R 在某一

定直线上运动,求该定直线的方程.

-4-

2013 年高考模拟试题

文科数学参考答案及评分标准
2013.5 说明: 一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容参照评分标准酌情赋分. 二、当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确答案应得分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(C) 6.(B) 7.(B) 8.(D) 9.(B) 10.(C) 11.(C) 12.(D) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. 4 14.
1 4

15. 12.38

16. 2 5

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)依据题意, f ( x ) ? u ?v ?
? cos ? x ?
2

1 2

? (1, s in ( ? x ? 1 2

π 2

)) ? (c o s ? x ,
2

3 s in ? x ) ?

1 2

3 sin ? x ? c o s ? x ?

………………………………(1 分)

? ?

1 ? co s 2 ? x 2 1 2 co s 2 ? x ?
π 6

? 3 2

3 2

sin 2 ? x ?

1 2

sin 2 ? x

? s in ( 2 ? x ?

) .…………………………………………………(4 分)

? ? > 0, 函数的最小正周期 T=π ,
? 2? ? 2π T ? 2π π ? 2 ,? ? ? 1 .

………………………………………(6 分)
π 6 π )………………………………(7 分) 7 ≤ π ………………………(8 分) 6 6

x ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x ) ? s i n ( 2?

当 0≤ x ≤ 有?
1 2

π 2

时,可得
π 6

π 6

≤2x ?

≤ sin ( 2 x ?

)≤ 1 … … … … … … … … … … … … … … … … ( 1 1 分 ) π 1 2 ,1] … … … … … … ( 1 2 分 )

所 以 函数 y ? f ( x ) 在 [0, ] 上 的值 域是 [?
2

-5-

18.解: (Ⅰ)把点(1,2)代入函数 f ( x ) ? a ,得 a ? 2 .……………………(1 分)
x

? S n ? f ( n ) ? 1 ? 2 ? 1, … … … … … … … … … … … … … … … … ( 2 分 )
n

当 n ? 1 时 , a 1 ? S 1 ? 2 ? 1 ? 1; … … … … … … … … … … … … … ( 3 分 )
1

当 n≥ 2 时, a n ? S n ? S n ? 1
? ( 2 ? 1) ? ( 2
n n ?1

? 1)

? 2

n ?1

……………………………………………(5 分)

经验证可知 n ? 1 时,也适合上式,
? an ? 2
n ?1

. ……………… ………… ……………… ………… ……( 6 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ? a n ? 为等比数列,公比为 2,故其第 3 项,第 6 项,…,第 2013 项 也 为 等 比 数 列 , 首 项 a3 ? 2
3 ?1

? 4, 公 比 2 ? 8, a 2 0 1 3 ? 2
3

2012

为其第 67 1

项………………………………………………………………(8 分) ∴此数列的和为
4 (1 ? 8
671

)

1? 8

?

4(2

2013

? 1)

……………………(10 分)

7

又数列 ? a n ? 的前 2013 项和为
1 ? (1 ? 2 1? 2
2013

S 2013 ?

)

? 2

2013

? 1, … … … … … … … … … … … … … ( 1 1 分 )

∴ 所 求 剩 余 项 的 和 为 (2

2013

? 1) ?

4(2

2013

? 1)

?

3( 2

2013

? 1)

…(12 分)

7

7

19. (Ⅰ)证明:∵AD⊥平面 ABC,AC ? 面 ABC,AB ? 面 ABC, ∴AD⊥AC,AD⊥AB, ∵AD∥CE,∴CE⊥AC ∴四边形 ACED 为直角梯形.……………(1 分) 又∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,∴AB⊥面 ACED.
B G A F 第 19 题图 D

E

C

………………(2 分) ∴凸多面体 ABCED 的体积 V ?
1 3 ? S ACED ? A B

-6-

?

1 3

?

1 2

? ( 1? C E ? ? ?1 ) 1

1 2

,

求得 CE=2.……………………………………………………(3 分) 取 BE 的中点 G,连结 GF,GD, 则 GF∥EC,GF ?
1 2

CE=1,

∴GF∥AD,GF=AD,四边形 ADGF 为平行四边形, ∴ A F∥ D G . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 5 分 ) 又∵GD ? 面 BDE,AF ? 面 BDE, ∴AF∥平面 BDE.………………………………………………(7 分) (Ⅱ)证明:∵AB=AC,F 为 BC 的中点, ∴AF⊥BC.………………………………………………………( 8 分) 由(Ⅰ)知 AD⊥平面 ABC,AD∥GF,∴GF⊥面 ABC. ∵ A F ? 面 A B C , ∴ A F⊥ G F . … … … … … … … … … … … … … … ( 9 分 ) 又 BC ? GF=F,∴AF⊥面 BCE.…………………………………(10 分) 又∵DG∥AF,∴DG⊥面 BCE.……………………………(11 分) ∵DG ? 面 BDE,∴面 BDE⊥面 BCE.……………………(12 分) 20.解: (Ⅰ)设第 i ( i ? 1, 2, 3, 4 ) 组的频率为 f i ,则由频率分布直方图知
f 4 ? 1 ? (0 .0 1 4 ? 0 .0 3 ? 0 .0 3 6 ) ? 1 0 ? 0 .2 … … … … … … … … … … ( 2 分 )

所以成绩在 85 分以上的同学的概率 P≈

f3 2

+f4 ?

0 .0 3 6 ? 1 0 2

? 0 .2 ? 0 .3 8,

…………………………………(5 分) 故这 1000 名同学中,取得面试资格的约有 1000×0.38=380 人.…(6 分) (Ⅱ)设答对记为 1,打错记为 0,则所有可能的情况有: 甲 00 乙 00,甲 00 乙 10,甲 00 乙 01,甲 00 乙 11,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01, 甲 10 乙 11,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01,甲 01 乙 11,甲 11 乙 00,甲 11 乙 10, 甲
11



01 ,甲 11



11 ,共

16 个………………………………………(9 分)

甲答对题的个数不少于乙的情况有: 甲 00 乙 00,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01, 甲
11



00,甲 11



01,甲 11



10,甲 11


11 16

11,共

11 个……………(11 分)

故甲比乙优先获得高考加分资 格的概率为 2 1 . 解 : Ⅰ ) 由 已 知 x> 0 , f ? ( x ) ? (
1 x ?a ? 1 ? ax x

.…… …………………( 12 分)

.…………………………(1 分)

> 当 a≤ 0 时 , f ? ( x ) 0 ,函 数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 内 单 调 递 增 ; … … … ( 2 分 )

当 a> 0 时 , 由 f ? ( x )> 0, 得 1 ? a x> 0, ∴ 0 < x<

1 a

;……………(3 分)

-7-

由 f ? ( x )< 0, 得 1 ? a x< 0, ∴ x>
1 a

1 a

.……………………(4 分)

∴ f ( x) 在 (0, ) 内 单 调 递 增 , 在 ( , ? ? ) 内 单 调 递 减 . … … … … ( 5 分 )
a
1 2 x ? 1) ? x ln x ? x ? 1 2 x ( x>1)
2

1

(Ⅱ)当 a ?

1 2

时, g ( x ) ? x ( f ( x ) ? 1) ? x (ln x ?

∴ g ? ( x ) ? ln x ? x ? 2 ( x>1), … … … … … … … … … … … … … … … ( 6 分 ) 令 F ( x ) ? g ? ( x ) ? ln x ? x ? 2 ( x>1) , 则 F ?( x ) ?
1 x ? 1< 0 , ∴ F ( x ) 在 (1, ? ? ) 内 单 调 递 减 . … …… … … … …… ( 8 分)

∵ F (1) ? 1> 0, F ( 2 ) ? ln 2> 0,
F ( 3 ) g? ( 3 ) ? ? l?n 3 ? ? 3 2 ? >n 3 l 1 0,

F ( 4 ) ? g ? ( 4 ) ? ln 4 ? 4 ? 2 ? ln 4 ? 2< 0 . … … … … … … … … … … ( 9 分 )

∴ F ( x ) 即 g ? ( x ) 在(3,4)内有零点,即 g ? ( x ) 在(3,4)内存在极值. …………………………………(11 分) 又 ∵ g ( x ) 在 ( k , k ? 1) 上 存 在 极 值 , 且 k ? z , ∴ k = 3 . … … … … … ( 1 2 分 ) 22.解(Ⅰ)∵△AF1F2 的周长为 4 ? 2 3 , ∴ 2a ? 2c ? 4 ? 2 3 , 即 a ? c ? 2 ?
c a 3 2

3 .

……………………(1 分)

又 e?

?

, 解 得 a ? 2 ,c ?

3 ,b ? a ? c ? 1 . … … … … … ( 3 分 ) …
2 2 2

∴椭圆 C 的方程为

x

2

? y ? 1. … … … … … … … … … … … … ( 4 分 )
2

4

(Ⅱ)由题意知,直线 l 的斜率必存在, 设其方程为 y ? k ( x ? 4 ), M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ).
?x 2 ? y ?1 ? , 由? 4 ? y ? k ( x ? 4) ?
2

得 (1 ? 4 k ) x ? 3 2 k x ? 6 4 k ? 4 ? 0 . … … … … … … … … … … … … … ( 6 分 )
2 2 2 2

则 x1 ? x 2 ?

?32k 1 ? 4k

2 2

, x1 x 2 ?

64k ? 4
2

1 ? 4k

2

……………………………………(7 分)

-8-

由 M Q ? ? Q N ,得 ( ? 4 ? x1 , ? y1 , ) ? ? ( x 2 ? 4, y 2 ) ∴ ? 4 ? x1 ? ? ( x 2 ? 4 ), ∴ ? ? ?
x1 ? 4 x2 ? 4

???? ?

????

.……………………………………(8 分)
????

设点 R 的坐标为( x 0 , y 0 ) ,由 M R ? ? R N , 得 ( x 0 ? x1 , y 0 ? y 1 ) ? ? ? ( x 2 ? x 0 , y 2 ? y 0 ), ∴ x 0 ? x1 ? ? ? ( x 2 ? x 0 ),
x1 ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ? x2 ?

????

解 得 x0 ?

x1 ? ? x 2 1? ?

2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ( x1 ? x 2 ) ? 8

1?

x1 ? 4 x2 ? 4
2

. ………………(10 分)

而 2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ? 2 ?
?32k 1 ? 4k
2 2

64k ? 4 1 ? 4k
2

? 4?

?32k 1 ? 4k

2 2

? ?

8 1 ? 4k
2

,

( x1 ? x 2 ) ? 8 ?

?8?

8 1 ? 4k
2

,

?

8 1 ? 4k 8
2 2

∴ x0 ?

? ? 1, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 1 3 分 )

1 ? 4k

故点 R 在定直线 x ? ? 1 上. ………………………………………………(14 分)

-9-


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